자연계열 3번

[문제 3-1] 각 쌍을 $\displaystyle (a_i,b_i)$라 하면모든 카드는 한 번씩 사용되고 각 쌍을 고를 확률은 $\displaystyle \frac1{20}$이므로$\displaystyle \mathrm E(X)=\frac1{20}\sum_{i=1}^{20}(a_i+b_i)=0$이다.전체 카드의 합은 항상 $\displaystyle 0$이므로짝짓는 방법과 무관하다.

[문제 3-2] $\displaystyle \mathrm E(X)=0$이므로$\displaystyle \mathrm V(X)=\frac1{20}\sum_{i=1}^{20}(a_i+b_i)^2=\frac1{20}\sum_{i=1}^{20}(a_i^2+b_i^2)+\frac1{10}\sum_{i=1}^{20}a_ib_i$이다.첫째 합은 일정하므로$\displaystyle \sum a_ib_i$를 최대화하면 된다.

남은 수 중 가장 큰 두 수를 $\displaystyle u>v$라 하자.이들이 서로 다른 수 $\displaystyle x,y$와 짝지어져 있다면 $\displaystyle x,y<v$이고,$\displaystyle uv+xy-(ux+vy)=(u-y)(v-x)>0$이므로$\displaystyle (u,v),(x,y)$로 바꿀 때 곱의 합이 커진다.따라서 가장 큰 두 수는 서로 짝을 이루어야 한다.이를 반복하면$\displaystyle (20,19),(18,17),\ldots,(2,1),(-1,-2),\ldots,(-19,-20)$일 때 최대이다.

따라서$\displaystyle \mathrm V(X)=\frac1{10}\sum_{k=1}^{10}(4k-1)^2=\frac{16\cdot385-8\cdot55+10}{10}=573$이다.