자연계열 3번

연세대 신촌캠퍼스 2024학년도 수시 자연계열 3번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/yonsei_sinchon/2024su/jayeon_3

[문제 3] $\displaystyle 0$ 을 제외하고 $\displaystyle -20$ 부터 $\displaystyle 20$ 까지 $\displaystyle 40$ 개의 정수가 하나씩 적혀 있는 $\displaystyle 40$ 장의 카드들을 두 장씩 짝지어 $\displaystyle 20$ 쌍을 만들었다. 이 중 임의로 고른 하나의 쌍에서 두 카드에 적힌 숫자의 합을 확률변수 $\displaystyle X$ 라 하자. 다음 물음에 답하시오.

[문제 3-1] 확률변수 $\displaystyle X$ 의 평균 $\displaystyle \mathrm{E}(X)$ 의 값을 구하고, 그 값이 $\displaystyle 20$ 쌍을 만드는 방법과 상관없이 일정함을 보이시오. [5점]

[문제 3-2] 확률변수 $\displaystyle X$ 의 분산 $\displaystyle \mathrm{V}(X)$ 의 값이 최대가 되도록 $\displaystyle 20$ 쌍을 만드는 방법을 찾고, 이때의 $\displaystyle \mathrm{V}(X)$ 의 값을 구하시오. [10점]

이산확률분포

수열의 합

관련 개념강의 준비중

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+5점 · [3-1] 평균을 구하고 짝짓는 방법과 무관함을 보인다.

[문제 3-1] 각 쌍을 $\displaystyle (a_i,b_i)$ 라 하면모든 카드는 한 번씩 사용되고 각 쌍을 고를 확률은 $\displaystyle \frac1{20}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm E(X)=\frac1{20}\sum_{i=1}^{20}(a_i+b_i)=0$ 이다.전체 카드의 합은 항상 $\displaystyle 0$ 이므로짝짓는 방법과 무관하다.

Comment. 표본평균의 기댓값이 모평균과 같다는 관점으로도 볼 수 있다. 선택한 두 카드에 적힌 수의 평균을 $\displaystyle \overline{Y}$ 라 하면 $\displaystyle X=2\overline{Y}$ 이고, 전체 $\displaystyle 40$ 장에 적힌 수의 모평균은 $\displaystyle \mu=0$ 이다. 모든 카드는 정확히 한 쌍에 속하고, 그 쌍이 선택될 확률은 모두 $\displaystyle \frac1{20}$ 이므로 $\displaystyle \begin{aligned}\mathrm E(\overline{Y})&=\frac1{20}\sum_{i=1}^{20}\frac{a_i+b_i}{2}\\&=\frac1{40}\sum_{i=1}^{20}(a_i+b_i)=\mu=0.\end{aligned}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm E(X)=2\mathrm E(\overline{Y})=0$ 이다. 다만 미리 정해진 쌍을 고르는 방식이므로, 두 카드를 독립적으로 추출한 것으로 보아 표본평균의 분산 공식을 그대로 적용할 수는 없다. 평균은 짝짓는 방법과 무관하지만 분산은 달라질 수 있다.

+2점 · [3-2] 분산을 비교할 수 있는 식이나 관계를 구한다.

[문제 3-2] $\displaystyle \mathrm E(X)=0$ 이므로 $\displaystyle \mathrm V(X)=\frac1{20}\sum_{i=1}^{20}(a_i+b_i)^2=\frac1{20}\sum_{i=1}^{20}(a_i^2+b_i^2)+\frac1{10}\sum_{i=1}^{20}a_ib_i$ 이다.첫째 합은 일정하므로 $\displaystyle \sum a_ib_i$ 를 최대화하면 된다.

+5점 · [3-2] 제시한 짝짓기가 최대임을 정당화한다.

남은 수 중 가장 큰 두 수를 $\displaystyle u>v$ 라 하자.이들이 서로 다른 수 $\displaystyle x,y$ 와 짝지어져 있다면 $\displaystyle x,y<v$ 이고, $\displaystyle uv+xy-(ux+vy)=(u-y)(v-x)>0$ 이므로 $\displaystyle (u,v),(x,y)$ 로 바꿀 때 곱의 합이 커진다.따라서 가장 큰 두 수는 서로 짝을 이루어야 한다.이를 반복하면 $\displaystyle (20,19),(18,17),\ldots,(2,1),(-1,-2),\ldots,(-19,-20)$ 일 때 최대이다.

+3점 · [3-2] 최대 분산을 올바르게 계산한다.

따라서 $\displaystyle \mathrm V(X)=\frac1{10}\sum_{k=1}^{10}(4k-1)^2=\frac{16\cdot385-8\cdot55+10}{10}=573$ 이다.

다른 타당한 풀이도 해당 단계의 논증과 계산이 옳으면 같은 배점을 인정한다.

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