자연계열 4번

연세대 신촌캠퍼스 2024학년도 수시 자연계열 4번 · mathesis.kr/archive/yonsei_sinchon/2024su/jayeon_4

[문제 4] 좌표평면 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 와 평면벡터 $\displaystyle \overrightarrow{v}$ 에 대하여, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+t\overrightarrow{v}$ \ $\displaystyle (t\ge 0)$ 을 만족하는 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 가 그리는 반직선을 생각하자. 네 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}(6,4)$ , $\displaystyle \mathrm{P}_{2}(1,5)$ , $\displaystyle \mathrm{P}_{3}(0,3)$ , $\displaystyle \mathrm{P}_{4}(0,-1)$ 과 네 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{v_{1}}=(-1,0)$ , $\displaystyle \overrightarrow{v_{2}}=(0,-1)$ , $\displaystyle \overrightarrow{v_{3}}=(1,-1)$ , $\displaystyle \overrightarrow{v_{4}}=(1,1)$ 에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ_{i}}}=\overrightarrow{\mathrm{OP_{i}}}+t\overrightarrow{v_{i}}\ (i=1,2,3,4)$ 를 만족시키는 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_{i}$ 가 그리는 반직선 $\displaystyle l_{i}$ 가 주어져 있다.

다음 제시문을 참고하여 물음에 답하시오.

[제시문] 두 개의 반직선이 만났을 때, 양의 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 다음 규칙을 따라 새로운 반직선들이 생성된다고 하자.

(가) 서로 다른 두 반직선 $\displaystyle l_{i}$ , $\displaystyle l_{j}$ \ $\displaystyle (1\le i,j\le 4)$ 가 시작점 $\displaystyle \mathrm{P}_{i}$ 또는 $\displaystyle \mathrm{P}_{j}$ 가 아닌 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 에서 만날 때, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+t\left(a\overrightarrow{v_{i}}+\overrightarrow{v_{j}}\right)$ \ $\displaystyle (t\ge 0)$ 을 만족시키는 점 $\displaystyle \mathrm{R}$ 이 그리는 반직선과 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OS}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+t\left(\overrightarrow{v_{i}}+a\overrightarrow{v_{j}}\right)$ \ $\displaystyle (t\ge 0)$ 을 만족시키는 점 $\displaystyle \mathrm{S}$ 가 그리는 반직선이 각각 생성된다.

(나) 새로 생성된 반직선들을 포함하여 임의의 서로 다른 두 반직선이 시작점이 아닌 점에서 만날 때에도 (가)의 규칙이 계속 적용된다.

※ 아래는 위 과정을 통해 생성된 일부 반직선들을 나타낸 그림이다.

좌표평면 위에 점 P_1, P_2, P_3에서 뻗어 나가는 반직선 l_1, l_2, l_3이 그려져 있고, 그 교점들에서 생성된 새로운 반직선들이 점선 화살표로 표시되어 있다.

[문제 4-1] 두 반직선 $\displaystyle l_{1}$ , $\displaystyle l_{2}$ 에 대하여 [제시문]의 (가)에 따라 새로운 반직선들이 생성될 때, 점 $\displaystyle \mathrm{A}(2,2)$ 를 지나는 반직선이 생성될 수 있는 양의 실수 $\displaystyle a$ 가 존재하면 그 값을 찾으시오. 만약 존재하지 않으면 그 이유를 설명하시오. [5점]

[문제 4-2] 네 반직선 $\displaystyle l_{1}$ , $\displaystyle l_{2}$ , $\displaystyle l_{3}$ , $\displaystyle l_{4}$ 에 대하여 [제시문]의 (가), (나)에 따라 새로운 반직선들이 생성될 때, 점 $\displaystyle \mathrm{A}(2,2)$ 를 지나는 반직선이 생성될 수 있는 양의 실수 $\displaystyle a$ 가 존재하면 그 값을 찾으시오. 만약 존재하지 않으면 그 이유를 설명하시오. [10점]

해설강의 준비중

벡터의 내적

벡터의 뜻과 연산

관련 개념강의 준비중

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+5점 · [4-1] 생성되는 방향을 확인하여 존재 여부를 설명한다.

[문제 4-1] 두 반직선의 교점은 $\displaystyle (1,4)$ 이고,새 방향벡터는 $\displaystyle (-a,-1)$ 또는 $\displaystyle (-1,-a)$ 이다. $\displaystyle a>0$ 이므로생성된 반직선 위의 점은 모두 $\displaystyle x\le1$ 을 만족한다.따라서 $\displaystyle \mathrm A(2,2)$ 를 지나는 반직선은 생성될 수 없다.

+4점 · [4-2] 반복 생성까지 다룰 수 있는 성질을 세우고 초기 조건을 확인한다.

[문제 4-2] 시작점이 $\displaystyle \mathrm R$ 이고방향이 $\displaystyle v=(c,d)$ 인 반직선에 대해 $\displaystyle w=(-d,c)$ 라 하자. $\displaystyle w\cdot\overrightarrow{\mathrm{RA}}>0$ 이면 $\displaystyle \mathrm A$ 는 그 직선 위에 있지 않다.처음 네 반직선에서 이 내적의 값은 각각 $\displaystyle 2,1,1,1$ 이므로모두 양수이다.

+6점 · [4-2] 성질이 생성 과정에서 유지됨을 증명하고 결론짓는다.

이 성질을 만족하는 두 반직선이 $\displaystyle \mathrm P$ 에서 만난다고 하자. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{R_iP}}$ 는 방향벡터와 평행하므로 $\displaystyle w_i\cdot\overrightarrow{\mathrm{PA}}=w_i\cdot\overrightarrow{\mathrm{R_iA}}-w_i\cdot\overrightarrow{\mathrm{R_iP}}>0$ 이다.새 방향이 $\displaystyle av_1+v_2$ 이면 그에 수직인 벡터는 $\displaystyle aw_1+w_2$ 이므로 $\displaystyle (aw_1+w_2)\cdot\overrightarrow{\mathrm{PA}}>0$ 이다.방향이 $\displaystyle v_1+av_2$ 일 때도 같은 이유로 양수이다.따라서 이 성질은 생성될 때마다 유지되므로어떤 양수 $\displaystyle a$ 에 대해서도 $\displaystyle \mathrm A$ 를 지나는 반직선은 생성되지 않는다.

다른 타당한 풀이도 해당 단계의 논증과 계산이 옳으면 같은 배점을 인정한다.

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