자연계열 4번

[문제 4-1] 두 반직선의 교점은 $\displaystyle (1,4)$이고,새 방향벡터는 $\displaystyle (-a,-1)$ 또는 $\displaystyle (-1,-a)$이다.$\displaystyle a>0$이므로생성된 반직선 위의 점은 모두 $\displaystyle x\le1$을 만족한다.따라서 $\displaystyle \mathrm A(2,2)$를 지나는 반직선은 생성될 수 없다.

[문제 4-2] 시작점이 $\displaystyle \mathrm R$이고방향이 $\displaystyle v=(c,d)$인 반직선에 대해$\displaystyle w=(-d,c)$라 하자.$\displaystyle w\cdot\overrightarrow{\mathrm{RA}}>0$이면 $\displaystyle \mathrm A$는 그 직선 위에 있지 않다.처음 네 반직선에서 이 내적의 값은 각각 $\displaystyle 2,1,1,1$이므로모두 양수이다.

이 성질을 만족하는 두 반직선이 $\displaystyle \mathrm P$에서 만난다고 하자.$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{R_iP}}$는 방향벡터와 평행하므로$\displaystyle w_i\cdot\overrightarrow{\mathrm{PA}}=w_i\cdot\overrightarrow{\mathrm{R_iA}}-w_i\cdot\overrightarrow{\mathrm{R_iP}}>0$이다.새 방향이 $\displaystyle av_1+v_2$이면 그에 수직인 벡터는 $\displaystyle aw_1+w_2$이므로$\displaystyle (aw_1+w_2)\cdot\overrightarrow{\mathrm{PA}}>0$이다.방향이 $\displaystyle v_1+av_2$일 때도 같은 이유로 양수이다.따라서 이 성질은 생성될 때마다 유지되므로어떤 양수 $\displaystyle a$에 대해서도 $\displaystyle \mathrm A$를 지나는 반직선은 생성되지 않는다.