자연계열 2번

[문제 2-1] 로그의 성질로 정리하면$\displaystyle \frac1n\ln a_{2n}-\frac1n\ln a_n-\ln2n=\frac1n\sum_{k=1}^n\ln\left(\frac12+\frac{k}{2n}\right)$이다.

따라서 수렴하며 그 극한값은$\displaystyle \int_0^1\ln\frac{1+x}{2}\,dx=\ln2-1$이다.

[문제 2-2] $\displaystyle b_n$이 $\displaystyle (n!)^{c_n}$의 약수가 아니므로어떤 소수 $\displaystyle p\le n$의 지수는 $\displaystyle (n!)^{c_n}$에서의 지수보다 크다.$\displaystyle p$는 $\displaystyle n!$의 약수이므로그 지수는 적어도 $\displaystyle c_n+1$이고,따라서$\displaystyle b_n\ge p^{c_n+1}\ge2^{c_n+1}\ge2\cdot2^{3\log_2n}=2n^3$이다.

그러므로 $\displaystyle \frac{b_n}{n^2}\ge2n$이고,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n^2}=\infty$이므로양의 무한대로 발산한다.