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자연계열 2번

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연세대 신촌캠퍼스 2024학년도 수시 자연계열 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/yonsei_sinchon/2024su/jayeon_2

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[문제 2] 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an=n!\displaystyle a_{n}=n!이다. 모든 항이 자연수인 두 수열 {bn}\displaystyle \{b_{n}\}, {cn}\displaystyle \{c_{n}\}은 1\displaystyle 1보다 큰 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 아래의 성질을 만족시킨다.

(가) bn\displaystyle b_{n}의 모든 소인수는 n\displaystyle n 이하이다.

(나) 3log⁡2n≤cn≤4log⁡2n\displaystyle 3\log_{2}n\le c_{n}\le 4\log_{2}n

(다) bn\displaystyle b_{n}은 ancn\displaystyle a_{n}^{c_{n}}의 약수가 아니다.

다음 수열의 수렴 및 발산을 조사하고 수렴한다면 극한값을 구하시오.

[문제 2-1] {1nln⁡a2n−1nln⁡an−ln⁡2n}\displaystyle \left\{\frac{1}{n}\ln a_{2n}-\frac{1}{n}\ln a_{n}-\ln 2n\right\} [5점]

[문제 2-2] {bnn2}\displaystyle \left\{\frac{b_{n}}{n^{2}}\right\} [10점]

정적분과 급수

수열의 극한값의 대소 관계

관련 개념강의 준비중

소수

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+3점 · [2-1] 수열을 극한을 구할 수 있는 식으로 정리한다.

[문제 2-1] 로그의 성질로 정리하면1nln⁡a2n−1nln⁡an−ln⁡2n=1n∑k=1nln⁡(12+k2n)\displaystyle \frac1n\ln a_{2n}-\frac1n\ln a_n-\ln2n=\frac1n\sum_{k=1}^n\ln\left(\frac12+\frac{k}{2n}\right)이다.

+2점 · [2-1] 수렴 여부와 극한값을 올바르게 구한다.

따라서 수렴하며 그 극한값은∫01ln⁡1+x2 dx=ln⁡2−1\displaystyle \int_0^1\ln\frac{1+x}{2}\,dx=\ln2-1이다.

+7점 · [2-2] 조건에서 수열의 크기를 판단할 유효한 관계를 구한다.

[문제 2-2] bn\displaystyle b_n이 (n!)cn\displaystyle (n!)^{c_n}의 약수가 아니므로어떤 소수 p≤n\displaystyle p\le n의 지수는 (n!)cn\displaystyle (n!)^{c_n}에서의 지수보다 크다.p\displaystyle p는 n!\displaystyle n!의 약수이므로그 지수는 적어도 cn+1\displaystyle c_n+1이고,따라서bn≥pcn+1≥2cn+1≥2⋅23log⁡2n=2n3\displaystyle b_n\ge p^{c_n+1}\ge2^{c_n+1}\ge2\cdot2^{3\log_2n}=2n^3이다.

+3점 · [2-2] 수렴 또는 발산을 논리적으로 결론짓는다.

그러므로 bnn2≥2n\displaystyle \frac{b_n}{n^2}\ge2n이고,lim⁡n→∞bnn2=∞\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n^2}=\infty이므로양의 무한대로 발산한다.

다른 타당한 풀이도 해당 단계의 논증과 계산이 옳으면 같은 배점을 인정한다.

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