논술 극좌표와 속도벡터

지점 O와 지점 E 사이의 거리는 $\displaystyle 40\mathrm{m}$이다. 오른쪽 그림과 같이 갑은 지점 O에서 출발하여 선분 OE에 수직인 반직선 OS를 따라 초속 $\displaystyle 3\mathrm{m}$의 일정한 속력으로 달리고, 을은 갑이 출발한 지 10초가 되는 순간 지점 E에서 출발하여 선분 OE에 수직인 반직선 EN을 따라 초속 $\displaystyle 4\mathrm{m}$의 일정한 속력으로 달리고 있다. 갑과 을의 지점을 연결하여 만든 선분과 선분 OE가 만나서 이루는 각을 $\displaystyle \theta$(라디안)라 할 때, 갑이 출발한 지 20초가 되는 순간 $\displaystyle \theta$의 변화율은?

• ① $\displaystyle \frac{21}{290}$ 라디안/초
• ② $\displaystyle \frac{13}{290}$ 라디안/초
• ③ $\displaystyle \frac{7}{290}$ 라디안/초
• ④ $\displaystyle \frac{3}{290}$ 라디안/초
• ⑤ $\displaystyle \frac{1}{290}$ 라디안/초

해설 1

갑이 출발한 지 $\displaystyle t$초가 지났을 때, $\displaystyle t\ge10$이면갑과 을이 이동한 거리는 각각 $\displaystyle 3t$, $\displaystyle 4(t-10)$이므로$\displaystyle \tan\theta=\frac{3t+4(t-10)}{40}=\frac{7t-40}{40}$이다.

양변을 $\displaystyle t$에 대하여 미분하면$\displaystyle (1+\tan^2\theta)\frac{d\theta}{dt}=\frac{7}{40}$이고, $\displaystyle t=20$일 때 $\displaystyle \tan\theta=\frac52$이므로$\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\frac{7}{40}\div\left(1+\frac{25}{4}\right)=\frac{7}{290}$이다. 따라서 정답은 ③이다.

해설 2

갑과 을의 위치를 각각 A, B라 하고, 오른쪽과 위쪽을 좌표의 양의 방향으로 잡자.갑과 을의 속도벡터는 각각 $\displaystyle (0,-3)$, $\displaystyle (0,4)$이므로갑을 기준으로 본 을의 상대속도는$\displaystyle (0,4)-(0,-3)=(0,7)$이다.

20초 후 두 사람의 가로 거리는 40, 세로 거리는 $\displaystyle 3\times20+4\times10=100$이므로$\displaystyle r=\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{40^2+100^2}=20\sqrt{29}$이고, $\displaystyle \cos\theta=\frac{40}{r}=\frac2{\sqrt{29}}$이다.

상대속도를 AB 방향과 그 수직 방향으로 나누면,AB 방향의 성분은 두 사람 사이의 거리를 바꾸고, 수직인 성분은 AB의 방향을 바꾼다.AB에 수직인 속력은$\displaystyle v_{\perp}=7\cos\theta=\frac{14}{\sqrt{29}}$이다.

AB가 반시계방향으로 회전하므로 각속도 $\displaystyle \omega$는 양수이고,$\displaystyle v_{\perp}=r\omega$에서 $\displaystyle \theta$의 변화율은$\displaystyle \omega=\frac{v_{\perp}}r=\frac{14}{20\times29}=\frac7{290}$이다. 따라서 정답은 ③이다.

반지름의 길이 $\displaystyle 1\mathrm{m}$인 원판에 기대어 있는 막대 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}$의 한 끝은 아래 그림과 같이 평평한 지면 위의 한 점 O에 고정되어 있다. 원판이 지면과 접하는 점을 Q라 하자. 원판의 중심이 오른쪽으로 지면과 평행하게 등속도 $\displaystyle 1.5\mathrm{m}$/초로 움직인다. $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}}=2\mathrm{m}$ 되는 순간, 막대 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}$가 지면과 이루는 각의 크기 $\displaystyle \theta$의 시간에 대한 순간변화율은? (단, 단위는 라디안/초이다)

• ① $\displaystyle -\frac35$
• ② $\displaystyle -\frac32$
• ③ $\displaystyle -\frac3{10}$
• ④ $\displaystyle -\frac{\sqrt5}{6}$
• ⑤ $\displaystyle -\frac3{2\sqrt5}$

해설 1

원판의 중심을 C, $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}}=x$라 하면,O에서 원에 그은 두 접선이 OP와 OQ이므로 OC는 $\displaystyle \angle\mathrm{POQ}$를 이등분한다.따라서 $\displaystyle \angle\mathrm{COQ}=\frac\theta2$이고, 직각삼각형 OCQ에서$\displaystyle \tan\frac\theta2=\frac1x$이다.

양변을 시간 $\displaystyle t$에 대하여 미분하면$\displaystyle \frac12\left(1+\tan^2\frac\theta2\right)\frac{d\theta}{dt}=-\frac1{x^2}\frac{dx}{dt}$이다. $\displaystyle x=2$일 때 $\displaystyle \tan\frac\theta2=\frac12$, $\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac32$이므로$\displaystyle \frac58\frac{d\theta}{dt}=-\frac38$에서 $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=-\frac35$이다. 따라서 정답은 ①이다.

해설 2

원판의 중심을 C, $\displaystyle \angle\mathrm{COQ}=\alpha$라 하면,OC는 두 접선 OP와 OQ가 이루는 각을 이등분하므로 $\displaystyle \theta=2\alpha$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}}=2$일 때$\displaystyle r=\overline{\mathrm{OC}}=\sqrt5,\qquad\sin\alpha=\frac1{\sqrt5}$이다.

C의 속도벡터는 오른쪽을 향하고, 그 크기는 $\displaystyle \frac32$이다.이를 OC 방향과 그 수직 방향으로 나누면,OC에 수직인 속력은$\displaystyle v_{\perp}=\frac32\sin\alpha=\frac3{2\sqrt5}$이다.

OC가 시계방향으로 회전하므로 각속도 $\displaystyle \omega$는 음수이고,$\displaystyle v_{\perp}=r|\omega|$에서$\displaystyle \omega=-\frac{v_{\perp}}r=-\frac3{2\sqrt5}\div\sqrt5=-\frac3{10}$이다. $\displaystyle \theta=2\alpha$이므로 $\displaystyle \theta$의 변화율은$\displaystyle 2\omega=2\times\left(-\frac3{10}\right)=-\frac35$이다. 따라서 정답은 ①이다.