자연계열 1번

(1) [풀이] $\displaystyle f(x)=\ln p(x)$라 놓고 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=1$을 보이면 된다. 실수 $\displaystyle a$를 잡고 고정시킨다고 하자. 평균값정리에 의해$\displaystyle \ln(x+1)-\ln x=\frac1c(x+1-x)$인 $\displaystyle c$가 $\displaystyle x$와 $\displaystyle x+1$사이에 존재한다.

정리하면 $\displaystyle \ln(1+\frac1x)=\frac1c$이고 $\displaystyle c=x+\alpha_x(0<\alpha_x<1)$로 표현하면

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}(x+a)\ln(1+\frac1x)=\lim_{x\to\infty}\frac{x+a}{x+\alpha_x}$가 되어 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=1$따라서 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\ln p(x)=e$.Correction. 이 문장의 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\ln p(x)=e$는 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\ln p(x)=1$ 또는 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}p(x)=e$이어야 한다. 바로 앞에서 구한 극한은 1이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2) [풀이] 결론을 부정하면 $\displaystyle f(x_0)\ge0$인 $\displaystyle x_0>0$가 존재한다.

모든 $\displaystyle x>0$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle f(x_0+1)>f(x_0)\ge0$이고 모든 $\displaystyle x>x_0+1$에 대하여 $\displaystyle f(x)>f(x_0+1)$이다.

이는 $\displaystyle 0=\lim_{x\to\infty}f(x)\ge f(x_0+1)$ 이므로 모순이다.

[풀이] (1) $\displaystyle f(x)=(x+a)\ln(1+\frac1x)$라 하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=\ln(1+\frac1x)+(x+a)(\frac1{x+1}-\frac1x)=\ln(1+\frac1x)-\frac{x+a}{x(x+1)}$ 이므로$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f^{\prime}(x)=0$ (실수 $\displaystyle a$에 대하여 성립)

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac1{x+1}-\frac1x-\frac{x(x+1)-(x+a)(2x+1)}{(x(x+1))^2}=\frac{(2a-1)x+a}{(x(x+1))^2}$

$\displaystyle a\ge\frac12$이므로 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0$ 이고 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f^{\prime}(x)=0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$

[문제 1-1] (1)에서 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=1$이고 명제 2)에 의해 $\displaystyle f(x)>1$.

따라서 $\displaystyle p(x)=e^{f(x)}>e^1=e$ ($\displaystyle x>0$)

[풀이] (2) $\displaystyle f(x)=(x+a)\ln(1+\frac1x)$라 하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=\ln(1+\frac1x)+(x+a)(\frac1{x+1}-\frac1x)=\ln(1+\frac1x)-\frac{x+a}{x(x+1)}$ 이므로$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f^{\prime}(x)=0$ (실수 $\displaystyle a$에 대하여 성립)

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac1{x+1}-\frac1x-\frac{x(x+1)-(x+a)(2x+1)}{(x(x+1))^2}=\frac{(2a-1)x+a}{(x(x+1))^2}$

$\displaystyle a\le0$이므로 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)<0$ 이고, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f^{\prime}(x)=0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$

[문제 1-1] (1)에서 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=1$이고 명제 1)에 의해 $\displaystyle f(x)<1$.

따라서 $\displaystyle p(x)=e^{f(x)}<e^1=e$ ($\displaystyle x>0$)

(1) [풀이] $\displaystyle f^{\prime\prime}(\frac a{1-2a})=0$이고 부호가 $\displaystyle +$에서 $\displaystyle -$로 변하므로$\displaystyle f^{\prime}(\frac a{1-2a})=\ln(\frac{1-a}a)-2(1-2a)$는 유일한 극값이고 극댓값. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f^{\prime}(x)=0$이므로$\displaystyle f^{\prime}(\frac a{1-2a})=\ln(\frac{1-a}a)-2(1-2a)>0$임은 분명하다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=\ln(x+1)+\frac{x+a}{x+1}-1-\ln x-\frac ax$에서$\displaystyle g(t)=\ln t-at=t(\frac{\ln t}t-a)$를 생각하면$\displaystyle \lim_{t\to\infty}g(t)=-\infty$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0+}f^{\prime}(x)=-\infty$이므로 그래프 개형은 다음과 같다.

따라서 사이값 정리에 의해 구간 $\displaystyle (0,\frac a{1-2a})$에 $\displaystyle f^{\prime}(x_0)=0$되는 점 $\displaystyle x_0$가 존재한다. 이 점에서의 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호는 $\displaystyle -$에서 $\displaystyle +$로 변하고 유일한 극값이므로 $\displaystyle x=x_0$에서 최소값을 갖는다.

(2) [풀이] $\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(\frac{a^2}{1-2a})&=\ln(1+\frac{1-2a}{a^2})-\frac{\frac{a^2}{1-2a}+a}{\frac{a^2}{1-2a}(1+\frac{a^2}{1-2a})}\\&=\ln\frac{(a-1)^2}{a^2}-(1-2a)\frac{a^2+a(1-2a)}{a^2(a-1)^2}=2\ln\frac{1-a}a-(1-2a)\frac{a(1-a)}{a^2(a-1)^2}\\&=2\ln\frac{1-a}a-(1-2a)\frac1{a(1-a)}\end{aligned}$

이므로$\displaystyle h(a)=2\ln\frac{1-a}a-(1-2a)\frac1{a(1-a)}$라 두고 미분하면$\displaystyle \begin{aligned}h^{\prime}(a)&=2(-\frac1{1-a}-\frac1a)-\frac{-2a(1-a)-(1-2a)^2}{(a(1-a))^2}=2\frac{-a-1+a}{a(1-a)}-\frac{-2a(1-a)-(1-2a)^2}{(a(1-a))^2}\\&=\frac{-2}{a(1-a)}-\frac{-2a^2+2a-1}{(a(1-a))^2}\\&=\frac{-2a(1-a)+2a^2-2a+1}{(a(1-a))^2}=\frac{(2a-1)^2}{(a(1-a))^2}\end{aligned}$ $\displaystyle >0$이고 $\displaystyle h(\frac12)=0$이므로모든 $\displaystyle a$ ($\displaystyle 0<a<\frac12$)에 대하여 $\displaystyle h(a)<0$이고 $\displaystyle f^{\prime}(\frac{a^2}{1-2a})<0$.따라서 $\displaystyle \frac{a^2}{1-2a}<x_0$.