자연계열 2번

(1) [풀이1] 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle a_3=a_2p+b_2q=(p^2+q^2)p+(2pq)q=p^3+3pq^2$.

$\displaystyle b_3=a_2q+b_2p=(p^2+q^2)q+(2pq)p=3p^2q+q^3$

(2) [풀이1] 수학적 귀납법을 사용한다.$\displaystyle a_1=p=s=d_1,\ b_1=q=r=c_1$

만일 $\displaystyle a_n=d_n,b_n=c_n$이라면

$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot p+b_n\cdot q=d_n\cdot p+c_n\cdot q=c_n\cdot q+d_n\cdot p=d_{n+1}$

$\displaystyle b_{n+1}=a_n\cdot q+b_n\cdot p=d_n\cdot q+c_n\cdot p=c_n\cdot p+d_n\cdot q=c_{n+1}$

따라서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n=d_n,b_n=c_n$

(1) [풀이1] $\displaystyle E_1$ 이후의 $\displaystyle n$번의 선택에서 연속으로 $\displaystyle E_1$을 모두 선택하게 되는 방법은 오직 한 개($\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_0$)이며 확률은 $\displaystyle p^n$이다. 다음은 $\displaystyle n$번의 선택에서 전날과 다른 선택을 두 번하고 나머지 $\displaystyle n-2$번 전날과 같은 선택을 하는 경우들로 각각의 확률은 $\displaystyle p^{n-2}q^2$이며 그 경우의 수는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{n-2}={}_{n}\mathrm{C}_2$가 된다. 다음은 $\displaystyle n$번의 선택에서 전날과 다른 선택을 네 번하고 나머지 $\displaystyle n-4$번 전날과 같은 선택을 하는 경우들로 각각의 확률은 $\displaystyle p^{n-4}q^4$이며 그 경우의 수는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{n-4}={}_{n}\mathrm{C}_4$가 된다. 이렇게 확률을 구해가면 결국 주어진 이항정리의 홀수 번째 항들 합이 $\displaystyle a_n$이 됨을 알 수 있다.

(2) [풀이] 주어진 이항정리는 $\displaystyle (p+q)^n=1$이고 $\displaystyle a_n+b_n=1$이기 때문에 $\displaystyle b_n$은 이항정리의 짝수 번째 항들의 합과 같다. 홀수 번째 항들의 합은 $\displaystyle \frac{(p+q)^n+(p-q)^n}{2}=\frac{1+(p-q)^n}{2}$의 전개를 통해 얻을 수 있기 때문에 $\displaystyle a_n=\frac{1+(p-q)^n}{2}$이다.

$\displaystyle p-q=p-(1-p)=2p-1$이고, $\displaystyle 0<p<1$ 이므로 $\displaystyle -1<2p-1<1$ 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\frac12$이다.

짝수 번째 항들의 합은 $\displaystyle \frac{(p+q)^n-(p-q)^n}{2}=\frac{1-(p-q)^n}{2}$의 전개를 통해 얻을 수 있기 때문에 $\displaystyle b_n=\frac{1-(p-q)^n}{2}$이다.

위와 비슷하게 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\frac12$이다.($\displaystyle 1=\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n$을 이용하여 $\displaystyle b_n$의 극한값을 얻을 수도 있다. --- 4점)

(1) [풀이] $\displaystyle a_2$. $\displaystyle E_1\to\bigcirc\to E_1$ 의 확률인 $\displaystyle a_2$는 [표2]에 의하여 $\displaystyle p^2+q=(1-q)^2+q=1-q+q^2$이다.

$\displaystyle b_2$. $\displaystyle E_1\to\bigcirc\to E_2$ 의 확률인 $\displaystyle b_2$는 [표2]에 의하여 $\displaystyle pq=(1-q)q=q-q^2$이 된다.

$\displaystyle a_3$. 비슷하게 $\displaystyle E_1\to\bigcirc\to\bigcirc\to E_1$ 의 모든 가능한 경우는$\displaystyle \begin{gathered}E_1\to E_1\to E_1\to E_1,\quad E_1\to E_1\to E_2\to E_1,\\E_1\to E_2\to E_1\to E_1,\quad E_1\to E_2\to E_2\to E_1\end{gathered}$이며 그 확률들의 합인 $\displaystyle a_3$은$\displaystyle \begin{aligned}&p\cdot p\cdot p+p\cdot q\cdot1+q\cdot1\cdot p+q\cdot0\cdot1\\&=p^3+2pq=(1-q)^3+2(1-q)q=1-q+q^2-q^3\end{aligned}$

$\displaystyle b_3$. 비슷하게 $\displaystyle E_1\to\bigcirc\to\bigcirc\to E_2$ 의 모든 가능한 경우는$\displaystyle \begin{gathered}E_1\to E_1\to E_1\to E_2,\quad E_1\to E_1\to E_2\to E_2,\\E_1\to E_2\to E_1\to E_2,\quad E_1\to E_2\to E_2\to E_2\end{gathered}$이며 그 확률들의 합인 $\displaystyle b_3$은$\displaystyle \begin{aligned}&p\cdot p\cdot q+p\cdot q\cdot0+q\cdot1\cdot q+q\cdot0\cdot0\\&=p^2q+q^2=(1-q)^2q+q^2=q-q^2+q^3\end{aligned}$

(2) [풀이1] $\displaystyle a_{n+1}=pa_n+b_n,\ b_{n+1}=qa_n$ 에서 $\displaystyle a_{n+1}=pa_n+b_n=(1-q)a_n+qa_{n-1}$이므로$\displaystyle a_{n+1}-a_n=(-q)(a_n-a_{n-1})$ 이제 $\displaystyle a_{n+1}-a_n=(-q)^{n-1}(a_2-a_1)=(-q)^{n-1}q^2=(-q)^{n+1}$따라서 $\displaystyle a_n=1+(-q)+(-q)^2+\cdots+(-q)^n$

$\displaystyle b_n=1-a_n=-\{(-q)+(-q)^2+\cdots+(-q)^n\}$

(3) [풀이] 등비수열의 공식에 의하여 $\displaystyle a_n=\frac{1-(-q)^{n+1}}{1+q}$, $\displaystyle b_n=-\frac{(-q)(1-(-q)^n)}{1+q}$이 되고 그 극한 값들은 각각 $\displaystyle \frac1{1+q}$, $\displaystyle \frac q{1+q}$이다.