의학계 1번

[풀이] 빗금친 부분의 넓이는 부채꼴 $\displaystyle ABO$의 넓이에서 삼각형 $\displaystyle ABO$의 넓이를 빼면 되므로

$\displaystyle \frac12r_1^2\theta_1-\frac12r_1^2\sin\theta_1=\frac12r_1^2(\theta_1-\sin\theta_1)$

비슷하게 반대쪽 부분의 넓이는 $\displaystyle \frac12r_2^2(\theta_2-\sin\theta_2)$

① $\displaystyle d=0$일 때 두 근이 일치하므로 중근이고 교점의 개수는 2

② $\displaystyle 0<d<1$일 때 $\displaystyle x=2d$와 $\displaystyle x=\frac23d$ 둘 다 근이 될 수 있고 교점의 개수는 4

③ $\displaystyle d=1$일 때 $\displaystyle x=2d$일 때 $\displaystyle y=0$이 되어 한 점이 되므로 교점의 개수는 3

④ $\displaystyle 1<d<3$일 때 $\displaystyle x=\frac23d$만 근이 될 수 있고 교점의 개수는 2

⑤ $\displaystyle d=3$일 때 $\displaystyle x=\frac23d$일 때 $\displaystyle y=0$이 되어 한 점이 되므로 교점의 개수는 1

⑥ $\displaystyle d>3$일 때 $\displaystyle x=2d$와 $\displaystyle x=\frac23d$ 둘 다 근이 안되므로 교점은 없다.

① $\displaystyle 0\le d<\frac{\sqrt{15}}2$일 때 판별식이 $\displaystyle D/4=4d^2-15<0$이므로 교점은 없다.

② $\displaystyle d=\frac{\sqrt{15}}2$일 때 $\displaystyle x=-\frac{\sqrt{15}}6$가 중근이 될 수 있고, 대응되는 $\displaystyle y$의 근은 2개가 되어 교점의 개수는 2

③ $\displaystyle \frac{\sqrt{15}}2<d<2$일 때 $\displaystyle x=\frac{-d\pm\sqrt{4d^2-15}}3$의 두 개의 근을 갖게 되고, 대응되는 $\displaystyle y$의 근이 4개가 되어 교점의 개수는 4

④ $\displaystyle d=2$일 때 $\displaystyle x=-1$과 $\displaystyle x=-\frac13$의 두 개의 근을 갖게 되어있고, $\displaystyle x=-1$에 대응하는 $\displaystyle y$의 근은 중근이므로 교점의 개수는 3

⑤ $\displaystyle 2<d<4$일 때 $\displaystyle x$는 한 개, 대응하는 $\displaystyle y$는 두 개가 되어 교점의 개수는 2

⑥ $\displaystyle d=4$ 한 점에서만 접하므로 교점의 개수는 1

⑦ $\displaystyle d>4$일 때 두 곡선이 만나지 않으므로 교점은 없다.

[풀이] 두 식 ① $\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1$과 ② $\displaystyle (x-d)^2+y^2=1$을 연립하면 $\displaystyle \frac{x^2}4=1-y^2=(x-d)^2$이므로 $\displaystyle \pm\frac x2=x-d$. 따라서 $\displaystyle x=2d$일 때 $\displaystyle y=\sqrt{1-d^2}$과 $\displaystyle x=\frac23d$일 때 $\displaystyle y=\sqrt{1-\frac{d^2}9}$이 교점이 될 수 있다. 그리고 교점이 2개인 경우는 $\displaystyle 1<d<3$일 때 이므로 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac23d$

(i) $\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1$의 점 $\displaystyle P(2d/3,\sqrt{1-d^2/9})$ 에서의 접선식은 $\displaystyle \frac{2d}3\cdot\frac x4+\sqrt{1-\frac{d^2}9}\cdot y=1$에서$\displaystyle y=-\frac d{6\sqrt{1-d^2/9}}x+\frac1{\sqrt{1-d^2/9}}$.

이 식에서 $\displaystyle x=d$일 때 $\displaystyle y$는 양이 아닌 실수이어야 하므로$\displaystyle y=\frac{-d^2+6}{6\sqrt{1-d^2/9}}\le0$ 따라서 $\displaystyle d\ge\sqrt6$

(ii) $\displaystyle (x-d)^2+y^2=1$의 점 $\displaystyle P(2d/3,\sqrt{1-d^2/9})$ 에서의 접선식은 $\displaystyle (\frac23d-d)(x-d)+\sqrt{1-\frac{d^2}9}y=1$에서 $\displaystyle y=\frac{\frac d3(x-d)}{\sqrt{1-d^2/9}}+\frac1{\sqrt{1-d^2/9}}$

이 식에서 $\displaystyle x=0$일 때 $\displaystyle y$는 양이 아닌 실수이어야 하므로 $\displaystyle y=\frac{-d^2+3}{3\sqrt{1-d^2/9}}\le0$ 따라서 $\displaystyle d\ge\sqrt3$

(i), (ii)를 동시에 만족하는 영역은 $\displaystyle \sqrt6\le d<3$.(참고) $\displaystyle d=\sqrt6$일 때 $\displaystyle AO_1$은 타원의 접선이지만 $\displaystyle AO$는 원의 접선이 아니다.

$\displaystyle 2\int_{\frac{2\sqrt6}3}^2\sqrt{1-\frac{x^2}4}\,dx+2\int_{\sqrt6-1}^{\frac{2\sqrt6}3}\sqrt{1-(x-\sqrt6)^2}\,dx$

$\displaystyle 2\int_{\frac{2\sqrt6}3}^2\sqrt{1-\frac{x^2}4}\,dx=\pi-2\alpha-\frac{2\sqrt2}3$

$\displaystyle 2\int_{\sqrt6-1}^{\frac{2\sqrt6}3}\sqrt{1-(x-\sqrt6)^2}\,dx=\frac\pi2-\alpha-\frac{\sqrt2}3$

$\displaystyle \begin{aligned}2\int_{\frac{2\sqrt6}3}^2\sqrt{1-\frac{x^2}4}\,dx+2\int_{\sqrt6-1}^{\frac{2\sqrt6}3}\sqrt{1-(x-\sqrt6)^2}\,dx&=\pi-2\alpha-\frac{2\sqrt2}3+\frac\pi2-\alpha-\frac{\sqrt2}3\\&=\frac{3\pi}2-\sqrt2-3\alpha=\frac{3\pi}2-\sqrt2-\frac{3(\pi-\theta_2)}2=\frac{3\theta_2}2-\sqrt2\end{aligned}$(단, $\displaystyle 2\alpha+\theta_2=\pi$이므로 $\displaystyle \alpha=\frac{\pi-\theta_2}2$)