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의학계 1번

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아주대 2017학년도 수시 의학계 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2017su/uihak_1

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문제

(가) 이차곡선을 원뿔곡선이라고 부르는 것은 그리스 시대 수학자들의 연구와 관련이 있다. 'Ellipse', 'Parabola', 'Hyperbola'는 각각 그리스어 '모자라다','적당하다','초과하다'는 뜻을 가지고 있으며 원뿔의 단면과 밑면이 이루는 각과 모서리와 밑면이 이루는 각 사이의 관계와 관련이 있다. 이런 이차곡선은 산업현장에서 다양하게 사용되고 있으며 이차곡선들의 교점과 관련된 문제는 수학 이외의 분야에서 자주 나타나고 있다.

(나) 원 x2+y2=r12\displaystyle x^2+y^2=r_1^2과 원 (x−d)2+y2=r22\displaystyle (x-d)^2+y^2=r_2^2이 그림과 같이 만나고 있다. (단, r12+r22≤d2\displaystyle r_1^2+r_2^2\le d^2)

그림 1: 두 원의 중심과 두 교점

(다) 타원과 원의 교점이 2개인 경우, [그림 2]처럼 교점 두 개와 원의 중심 O1\displaystyle O_1을 잇는 두 선분(선분 AO1\displaystyle AO_1와 BO1\displaystyle BO_1)이 각각 타원과 두 점에서 만나거나 [그림 3]처럼 교점 두 개와 점 O\displaystyle O를 잇는 두 선분(선분 AO\displaystyle AO와 BO\displaystyle BO)이 각각 원과 두 점에서 만날 수도 있다.

그림 2와 그림 3: 타원과 원의 교점 및 중심을 이은 선분

[문제 1-1] (7점) 제시문 (나)에서 두 원의 교점을 A,B\displaystyle A, B라 하고, θ1=∠AOB, θ2=∠AO1B\displaystyle \theta_1=\angle AOB,\ \theta_2=\angle AO_1B라 할 때 두 원에 의하여 동시에 둘러싸인 영역의 넓이를 θ1\displaystyle \theta_1과 θ2\displaystyle \theta_2로 나타내시오.

[문제 1-2] 제시문 (다)를 읽고 다음 논제에 답하시오.(1) (12점) 타원 x24+y2=1\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1과 원 (x−d)2+y2=1\displaystyle (x-d)^2+y^2=1의 교점의 개수를 d\displaystyle d에 따라 구하고 그 근거를 보이시오. (단, d≥0\displaystyle d\ge0)(2) (9점) 타원 x2+y24=1\displaystyle x^2+\frac{y^2}4=1과 원 (x−d)2+y2=32\displaystyle (x-d)^2+y^2=3^2의 교점의 개수를 d\displaystyle d에 따라 구하시오. (단, d≥0\displaystyle d\ge0)

[문제 1-3] 타원 x24+y2=1\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1과 원 (x−d)2+y2=1\displaystyle (x-d)^2+y^2=1 (d≥0\displaystyle d\ge0)을 생각하자.(1) (12점) 제시문 (다)에서 나타나는 경우와는 다르게 사각형 OAO1B\displaystyle OAO_1B가 ‘타원과 원에 의해 동시에 둘러싸인 영역’을 포함하도록 하는 값 d\displaystyle d의 범위를 구하시오.

타원과 원의 공통 영역을 포함하는 사각형

(2) (10점) 위에서 구한 d\displaystyle d의 값 중 가장 작은 값에 대하여, 타원과 원에 의하여 동시에 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라. (단, 필요하면 θ1=∠AOB\displaystyle \theta_1=\angle AOB과 θ2=∠AO1B\displaystyle \theta_2=\angle AO_1B를 사용하여 넓이를 표시할 수 있다.)

해설강의 준비중

논술 이차곡선과 원의 위치 관계

관련 개념강의 준비중

아주대 2017학년도 수시 의학계 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2017su/uihak_1

[문제 1-1]

+1점

[풀이] 빗금친 부분의 넓이는 부채꼴 ABO\displaystyle ABO의 넓이에서 삼각형 ABO\displaystyle ABO의 넓이를 빼면 되므로

부채꼴에서 삼각형을 뺀 활꼴
+3점

12r12θ1−12r12sin⁡θ1=12r12(θ1−sin⁡θ1)\displaystyle \frac12r_1^2\theta_1-\frac12r_1^2\sin\theta_1=\frac12r_1^2(\theta_1-\sin\theta_1)

+3점

비슷하게 반대쪽 부분의 넓이는 12r22(θ2−sin⁡θ2)\displaystyle \frac12r_2^2(\theta_2-\sin\theta_2)

따라서 구하는 넓이는 12r12(θ1−sin⁡θ1)+12r22(θ2−sin⁡θ2)\displaystyle \frac12r_1^2(\theta_1-\sin\theta_1)+\frac12r_2^2(\theta_2-\sin\theta_2)또는 만약 r12+r22=d2\displaystyle r_1^2+r_2^2=d^2이면 θ1+θ2=π\displaystyle \theta_1+\theta_2=\pi이므로 12r12(θ1−sin⁡θ1)+12r22(π−θ1−sin⁡θ1)\displaystyle \frac12r_1^2(\theta_1-\sin\theta_1)+\frac12r_2^2(\pi-\theta_1-\sin\theta_1) 등 다양한 답의 꼴이 나올 수 있다.

[문제 1-2]

(1) [풀이] 두 식 x24+y2=1\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1과 (x−d)2+y2=1\displaystyle (x-d)^2+y^2=1을 연립하면 x24=1−y2=(x−d)2\displaystyle \frac{x^2}4=1-y^2=(x-d)^2이므로 ±x2=x−d\displaystyle \pm\frac x2=x-d. 따라서 x=2d\displaystyle x=2d일 때 y=1−d2\displaystyle y=\sqrt{1-d^2}과 x=23d\displaystyle x=\frac23d일 때 y=1−d29\displaystyle y=\sqrt{1-\frac{d^2}9}가 교점이 될 수 있다.

+2점

① d=0\displaystyle d=0일 때 두 근이 일치하므로 중근이고 교점의 개수는 2

d=0에서 두 교점
+2점

② 0<d<1\displaystyle 0<d<1일 때 x=2d\displaystyle x=2d와 x=23d\displaystyle x=\frac23d 둘 다 근이 될 수 있고 교점의 개수는 4

0<d<1에서 네 교점
+2점

③ d=1\displaystyle d=1일 때 x=2d\displaystyle x=2d일 때 y=0\displaystyle y=0이 되어 한 점이 되므로 교점의 개수는 3

d=1에서 세 교점
+2점

④ 1<d<3\displaystyle 1<d<3일 때 x=23d\displaystyle x=\frac23d만 근이 될 수 있고 교점의 개수는 2

1<d<3에서 두 교점
+2점

⑤ d=3\displaystyle d=3일 때 x=23d\displaystyle x=\frac23d일 때 y=0\displaystyle y=0이 되어 한 점이 되므로 교점의 개수는 1

d=3에서 한 교점
+2점

⑥ d>3\displaystyle d>3일 때 x=2d\displaystyle x=2d와 x=23d\displaystyle x=\frac23d 둘 다 근이 안되므로 교점은 없다.

(2) [풀이] 두 식 x2+y24=1\displaystyle x^2+\frac{y^2}4=1과 (x−d)2+y2=32\displaystyle (x-d)^2+y^2=3^2을 연립하면 4(1−x2)=y2=9−(x−d)2\displaystyle 4(1-x^2)=y^2=9-(x-d)^2에서3x2+2dx−d2+5=0\displaystyle 3x^2+2dx-d^2+5=0을 얻는다. 이 식의 판별식 D/4=d2−3(−d2+5)=4d2−15\displaystyle D/4=d^2-3(-d^2+5)=4d^2-15이고, 근은 x=−d±4d2−153\displaystyle x=\frac{-d\pm\sqrt{4d^2-15}}3이다. 이제 x=−d±4d2−153\displaystyle x=\frac{-d\pm\sqrt{4d^2-15}}3일 때 y2=96−20d2±8d4d2−159\displaystyle y^2=\frac{96-20d^2\pm8d\sqrt{4d^2-15}}9에서 교점을 구할 수 있다. y=0\displaystyle y=0되는 점을 구하면 9d4−180d2+576=0\displaystyle 9d^4-180d^2+576=0에서 d=2\displaystyle d=2 또는 d=4\displaystyle d=4.중근이 되는 위치를 구하기 위해 판별식 D/4=4d2−15=0\displaystyle D/4=4d^2-15=0에서 d=152\displaystyle d=\frac{\sqrt{15}}2를 얻는다.

+1점

① 0≤d<152\displaystyle 0\le d<\frac{\sqrt{15}}2일 때 판별식이 D/4=4d2−15<0\displaystyle D/4=4d^2-15<0이므로 교점은 없다.

+1점

② d=152\displaystyle d=\frac{\sqrt{15}}2일 때 x=−156\displaystyle x=-\frac{\sqrt{15}}6가 중근이 될 수 있고, 대응되는 y\displaystyle y의 근은 2개가 되어 교점의 개수는 2

두 점에서 접하는 타원과 원
+2점

③ 152<d<2\displaystyle \frac{\sqrt{15}}2<d<2일 때 x=−d±4d2−153\displaystyle x=\frac{-d\pm\sqrt{4d^2-15}}3의 두 개의 근을 갖게 되고, 대응되는 y\displaystyle y의 근이 4개가 되어 교점의 개수는 4

네 점에서 만나는 타원과 원
+2점

④ d=2\displaystyle d=2일 때 x=−1\displaystyle x=-1과 x=−13\displaystyle x=-\frac13의 두 개의 근을 갖게 되어있고, x=−1\displaystyle x=-1에 대응하는 y\displaystyle y의 근은 중근이므로 교점의 개수는 3

d=2에서 세 교점
+1점

⑤ 2<d<4\displaystyle 2<d<4일 때 x\displaystyle x는 한 개, 대응하는 y\displaystyle y는 두 개가 되어 교점의 개수는 2

2<d<4에서 두 교점
+1점

⑥ d=4\displaystyle d=4 한 점에서만 접하므로 교점의 개수는 1

d=4에서 한 교점
+1점

⑦ d>4\displaystyle d>4일 때 두 곡선이 만나지 않으므로 교점은 없다.

[문제 1-3]

(1)

+2점 · 교점이 2개인 경우는 1<d<3\displaystyle 1<d<3이고 A\displaystyle A와 B\displaystyle B의 x\displaystyle x좌표는 23d\displaystyle \frac23d

[풀이] 두 식 ① x24+y2=1\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1과 ② (x−d)2+y2=1\displaystyle (x-d)^2+y^2=1을 연립하면 x24=1−y2=(x−d)2\displaystyle \frac{x^2}4=1-y^2=(x-d)^2이므로 ±x2=x−d\displaystyle \pm\frac x2=x-d. 따라서 x=2d\displaystyle x=2d일 때 y=1−d2\displaystyle y=\sqrt{1-d^2}과 x=23d\displaystyle x=\frac23d일 때 y=1−d29\displaystyle y=\sqrt{1-\frac{d^2}9}이 교점이 될 수 있다. 그리고 교점이 2개인 경우는 1<d<3\displaystyle 1<d<3일 때 이므로 A\displaystyle A와 B\displaystyle B의 x\displaystyle x좌표는 23d\displaystyle \frac23d

+2점 · 타원의 접선식 y=−d61−d2/9x+11−d2/9\displaystyle y=-\frac d{6\sqrt{1-d^2/9}}x+\frac1{\sqrt{1-d^2/9}}

(i) x24+y2=1\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1의 점 P(2d/3,1−d2/9)\displaystyle P(2d/3,\sqrt{1-d^2/9}) 에서의 접선식은 2d3⋅x4+1−d29⋅y=1\displaystyle \frac{2d}3\cdot\frac x4+\sqrt{1-\frac{d^2}9}\cdot y=1에서y=−d61−d2/9x+11−d2/9\displaystyle y=-\frac d{6\sqrt{1-d^2/9}}x+\frac1{\sqrt{1-d^2/9}}.

+1점 · x=d\displaystyle x=d일 때 y=−d2+661−d2/9≤0\displaystyle y=\frac{-d^2+6}{6\sqrt{1-d^2/9}}\le0

이 식에서 x=d\displaystyle x=d일 때 y\displaystyle y는 양이 아닌 실수이어야 하므로y=−d2+661−d2/9≤0\displaystyle y=\frac{-d^2+6}{6\sqrt{1-d^2/9}}\le0

+1점

따라서 d≥6\displaystyle d\ge\sqrt6

+2점 · 원의 접선식 y=d3(x−d)1−d2/9+11−d2/9\displaystyle y=\frac{\frac d3(x-d)}{\sqrt{1-d^2/9}}+\frac1{\sqrt{1-d^2/9}}

(ii) (x−d)2+y2=1\displaystyle (x-d)^2+y^2=1의 점 P(2d/3,1−d2/9)\displaystyle P(2d/3,\sqrt{1-d^2/9}) 에서의 접선식은 (23d−d)(x−d)+1−d29y=1\displaystyle (\frac23d-d)(x-d)+\sqrt{1-\frac{d^2}9}y=1에서 y=d3(x−d)1−d2/9+11−d2/9\displaystyle y=\frac{\frac d3(x-d)}{\sqrt{1-d^2/9}}+\frac1{\sqrt{1-d^2/9}}

+1점 · x=0\displaystyle x=0일 때 y=−d2+331−d2/9≤0\displaystyle y=\frac{-d^2+3}{3\sqrt{1-d^2/9}}\le0

이 식에서 x=0\displaystyle x=0일 때 y\displaystyle y는 양이 아닌 실수이어야 하므로 y=−d2+331−d2/9≤0\displaystyle y=\frac{-d^2+3}{3\sqrt{1-d^2/9}}\le0

+1점

따라서 d≥3\displaystyle d\ge\sqrt3

+2점

(i), (ii)를 동시에 만족하는 영역은 6≤d<3\displaystyle \sqrt6\le d<3.(참고) d=6\displaystyle d=\sqrt6일 때 AO1\displaystyle AO_1은 타원의 접선이지만 AO\displaystyle AO는 원의 접선이 아니다.

(2) [풀이] 위에서 구한 d\displaystyle d의 값 중 가장 작은 값은 d=6\displaystyle d=\sqrt6이다.

식 x24+y2=1\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1와 식 (x−6)2+y2=1\displaystyle (x-\sqrt6)^2+y^2=1을 연립하면 두 점 (263,±13)\displaystyle (\frac{2\sqrt6}3,\pm\frac1{\sqrt3})을 얻는다. 그림에서

타원과 원의 공통 영역을 적분하는 두 구간
+2점 · 2∫26321−x24 dx\displaystyle 2\int_{\frac{2\sqrt6}3}^2\sqrt{1-\frac{x^2}4}\,dx
+2점 · +2∫6−12631−(x−6)2 dx\displaystyle +2\int_{\sqrt6-1}^{\frac{2\sqrt6}3}\sqrt{1-(x-\sqrt6)^2}\,dx

2∫26321−x24 dx+2∫6−12631−(x−6)2 dx\displaystyle 2\int_{\frac{2\sqrt6}3}^2\sqrt{1-\frac{x^2}4}\,dx+2\int_{\sqrt6-1}^{\frac{2\sqrt6}3}\sqrt{1-(x-\sqrt6)^2}\,dx

먼저 2∫26321−x24 dx\displaystyle 2\int_{\frac{2\sqrt6}3}^2\sqrt{1-\frac{x^2}4}\,dx를 계산하자. x2=sin⁡θ (−π2≤θ≤π2)\displaystyle \frac x2=\sin\theta\ (-\frac\pi2\le\theta\le\frac\pi2)로 치환하고 sin⁡α=63\displaystyle \sin\alpha=\frac{\sqrt6}3라 하면2∫26321−x24 dx=2∫απ22cos⁡2θ dθ=2∫απ2(1+cos⁡2θ) dθ=[2θ+sin⁡2θ]απ2=π−2α−sin⁡2α\displaystyle 2\int_{\frac{2\sqrt6}3}^2\sqrt{1-\frac{x^2}4}\,dx=2\int_\alpha^{\frac\pi2}2\cos^2\theta\,d\theta=2\int_\alpha^{\frac\pi2}(1+\cos2\theta)\,d\theta=\Biggl[2\theta+\sin2\theta\Biggr]_\alpha^{\frac\pi2}=\pi-2\alpha-\sin2\alpha여기에서 sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=2×63×1−(63)2=223\displaystyle \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\times\frac{\sqrt6}3\times\sqrt{1-(\frac{\sqrt6}3)^2}=\frac{2\sqrt2}3 이므로

+2점

2∫26321−x24 dx=π−2α−223\displaystyle 2\int_{\frac{2\sqrt6}3}^2\sqrt{1-\frac{x^2}4}\,dx=\pi-2\alpha-\frac{2\sqrt2}3

이제 2∫6−12631−(x−6)2 dx\displaystyle 2\int_{\sqrt6-1}^{\frac{2\sqrt6}3}\sqrt{1-(x-\sqrt6)^2}\,dx를 계산하자. x−6=sin⁡θ (−π2≤θ≤π2)\displaystyle x-\sqrt6=\sin\theta\ (-\frac\pi2\le\theta\le\frac\pi2)로 치환하고 sin⁡α=63\displaystyle \sin\alpha=\frac{\sqrt6}3라 하면2∫6−12631−(x−6)2 dx=2∫−π2−αcos⁡2θ dθ=∫−π2−α(1+cos⁡2θ) dθ=[θ+12sin⁡2θ]−π2−α\displaystyle 2\int_{\sqrt6-1}^{\frac{2\sqrt6}3}\sqrt{1-(x-\sqrt6)^2}\,dx=2\int_{-\frac\pi2}^{-\alpha}\cos^2\theta\,d\theta=\int_{-\frac\pi2}^{-\alpha}(1+\cos2\theta)\,d\theta=\Biggl[\theta+\frac12\sin2\theta\Biggr]_{-\frac\pi2}^{-\alpha}=π2−α−12sin⁡2α=π2−α−23\displaystyle =\frac\pi2-\alpha-\frac12\sin2\alpha=\frac\pi2-\alpha-\frac{\sqrt2}3 이제

+2점

2∫6−12631−(x−6)2 dx=π2−α−23\displaystyle 2\int_{\sqrt6-1}^{\frac{2\sqrt6}3}\sqrt{1-(x-\sqrt6)^2}\,dx=\frac\pi2-\alpha-\frac{\sqrt2}3

+2점 · 공통 영역의 넓이 3θ22−2\displaystyle \frac{3\theta_2}2-\sqrt2

2∫26321−x24 dx+2∫6−12631−(x−6)2 dx=π−2α−223+π2−α−23=3π2−2−3α=3π2−2−3(π−θ2)2=3θ22−2\displaystyle \begin{aligned}2\int_{\frac{2\sqrt6}3}^2\sqrt{1-\frac{x^2}4}\,dx+2\int_{\sqrt6-1}^{\frac{2\sqrt6}3}\sqrt{1-(x-\sqrt6)^2}\,dx&=\pi-2\alpha-\frac{2\sqrt2}3+\frac\pi2-\alpha-\frac{\sqrt2}3\\&=\frac{3\pi}2-\sqrt2-3\alpha=\frac{3\pi}2-\sqrt2-\frac{3(\pi-\theta_2)}2=\frac{3\theta_2}2-\sqrt2\end{aligned}(단, 2α+θ2=π\displaystyle 2\alpha+\theta_2=\pi이므로 α=π−θ22\displaystyle \alpha=\frac{\pi-\theta_2}2)

(참고) sin⁡(θ22)=13\displaystyle \sin(\frac{\theta_2}2)=\frac1{\sqrt3} 이므로sin⁡θ2=2⋅13⋅1−13=223\displaystyle \sin\theta_2=2\cdot\frac1{\sqrt3}\cdot\sqrt{1-\frac13}=\frac{2\sqrt2}3sin⁡(θ12)=13(263)2+(13)2=133=13\displaystyle \sin(\frac{\theta_1}2)=\frac{\frac1{\sqrt3}}{\sqrt{(\frac{2\sqrt6}3)^2+(\frac1{\sqrt3})^2}}=\frac{\frac1{\sqrt3}}{\sqrt3}=\frac13이므로sin⁡θ1=2⋅13⋅1−19=2⋅13⋅223=429\displaystyle \sin\theta_1=2\cdot\frac13\cdot\sqrt{1-\frac19}=2\cdot\frac13\cdot\frac{2\sqrt2}3=\frac{4\sqrt2}9

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