자연계열 (오후) 2번

(1) [풀이] $\displaystyle (2,2,2,2,0,0,0,0)$, $\displaystyle (4,1,1,1,1,0,0,0)$ 두 가지(뿐) 이다.

(2) [풀이] 이 경우 쌓기 방법들을 위 문제의 표현 방법으로 찾으면 $\displaystyle (1,1,1,1,1,1,1,1)$, $\displaystyle (2,1,1,1,1,1,1,0)$, $\displaystyle (2,2,1,1,1,1,0,0)$, $\displaystyle (2,2,2,1,1,0,0,0)$, $\displaystyle (2,2,2,2,0,0,0,0)$이며 각각 경우의 $\displaystyle D$의 값은 $\displaystyle 3,\frac{11}4,\frac52,\frac94,2$가 되어 다섯 개이다.

(1) [풀이] 정의에 의하여 $\displaystyle D$의 값은 $\displaystyle -\sum_{k=1}^n\frac{2^{n-k}}{2^n}\log_2\frac{2^{n-k}}{2^n}-\frac1{2^n}\log_2\frac1{2^n}=\sum_{k=1}^n\frac k{2^k}+\frac n{2^n}$이다.

(2) [풀이] $\displaystyle n$이 무한대로 갈 때 $\displaystyle \frac n{2^n}$은 0으로 간다.

또한 힌트를 이용하면$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac k{2^k}=\sum_{k=1}^n\frac{2k}{2^{k+1}}=\sum_{k=1}^n\left(\frac{k+1}{2^{k+1}}+\frac14\frac{k-1}{2^{k-1}}\right)=\sum_{k=1}^n\frac{k+1}{2^{k+1}}+\frac14\sum_{k=1}^n\frac{k-1}{2^{k-1}}$을 관찰 할 수 있고,

구하고자 하는 극한 값을 $\displaystyle S$라고 하면 위식의 양변에서 $\displaystyle n$이 무한대로 보내면 $\displaystyle S=S-\frac12+\frac14S$를 얻게 되어 $\displaystyle S=2$이다.

(1) [풀이] 각 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle f(x)$를 구간 $\displaystyle [0,n]$에서 정적분을 하면$\displaystyle \int_0^nf(x)\,dx=\int_0^nce^{-\frac xn}\,dx$

$\displaystyle =\Biggl[-cne^{-\frac xn}\Biggr]_0^n=cn(1-e^{-1})$이 된다.

그러므로 $\displaystyle c=\frac1{n(1-e^{-1})}=\frac e{n(e-1)}$이다.

$\displaystyle n\ge2$의 경우 $\displaystyle f(x)=\frac e{n(e-1)}e^{-\frac xn}$이고$\displaystyle \begin{aligned}D&=-\int_0^nf(x)\ln f(x)\,dx\\&=-\frac e{n(e-1)}\int_0^ne^{-\frac xn}\left(\ln\frac e{n(e-1)}-\frac xn\right)\,dx\\&=-\frac e{n(e-1)}\ln\frac e{n(e-1)}\int_0^ne^{-\frac xn}\,dx+\frac e{n(e-1)}\int_0^ne^{-\frac xn}\frac xn\,dx\end{aligned}$이 된다.

치환 $\displaystyle y=\frac xn$에 의하여 마지막 식은$\displaystyle \frac e{e-1}\left[(\ln n-1+\ln(e-1))\int_0^1e^{-y}\,dy+\int_0^1e^{-y}y\,dy\right]$이 되고 두 정적분의 값은 치환적분법, 부분적분법에 의하여$\displaystyle 1-e^{-1}=\frac{e-1}e,\quad1-2e^{-1}=\frac{e-2}e$이기 때문에$\displaystyle D=\ln n-1+\ln(e-1)+\frac{e-2}{e-1}$

이고 $\displaystyle n$이 무한대로 갈 때 극한값은 $\displaystyle \infty$이다.