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자연계열 (오후) 2번

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아주대 2017학년도 수시 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2017su/jayeon_pm_2

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문제

(가) 아래의 수직선 위의 구간 [0,1],[1,2],…,[2n−1,2n]\displaystyle [0,1],[1,2],\ldots,[2^n-1,2^n] (n\displaystyle n은 자연수)위에 한 변의 길이 1인 2n\displaystyle 2^n개의 정사각형을 나누어 쌓으려고 한다.

0부터 2의 n제곱까지 단위 구간을 나눈 수직선

쌓고 난 결과에 대하여 다음과 같이 D\displaystyle D를 정의할 수 있다.D=−∑k=12nxk2nlog⁡2xk2n.\displaystyle D=-\sum_{k=1}^{2^n}\frac{x_k}{2^n}\log_2\frac{x_k}{2^n}.(단, xk\displaystyle x_k는 구간 [k−1,k]\displaystyle [k-1,k]에 쌓인 정사각형의 개수이고, 02n⋅log⁡202n=0\displaystyle \frac0{2^n}\cdot\log_2\frac0{2^n}=0으로 정의하자.) 이 때 xk2n\displaystyle \frac{x_k}{2^n}의 값은 음이 아닌 실수들이며 합이 1이다.다음은 n=3\displaystyle n=3일 때의 몇 가지 쌓은 결과들에 대한 D\displaystyle D의 값이다.

정사각형 8개를 쌓는 네 가지 예와 D=3, 2, 1, 0

위 예를 보면 알 수 있듯이 정사각형을 고르게 쌓을수록 D\displaystyle D의 값이 커짐을 확인할 수 있다. 이런 D\displaystyle D는 정보전달과 관련된 수학 이론에 널리 사용되고 있다.

D\displaystyle D의 값은 8개의 정사각형들을 몇 곳에 얼마씩 나누어 쌓을 것인가에만 의존하며, 쌓는 구체적인 위치에는 의존하지 않는다. 예를 들어 다음의 두 쌓은 결과는 같은 D\displaystyle D의 값을 가진다.

쌓은 위치가 다르지만 같은 D 값을 갖는 두 배치

(나) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 구간 [0,a]\displaystyle [0,a]에서 정의된 연속함수이고, 이 구간에서 0<f(x)<1\displaystyle 0<f(x)<1을 만족하며 ∫0af(x) dx=1\displaystyle \int_0^af(x)\,dx=1이라고 하자. 이 때 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 고른 정도를 나타내는 양을 제시문 (가)와 유사하게 다음과 같이 정의할 수 있다.D=−∫0af(x)ln⁡f(x) dx.\displaystyle D=-\int_0^af(x)\ln f(x)\,dx.

[문제 2-1] 제시문 (가)에서 n=3\displaystyle n=3인 경우 23=8\displaystyle 2^3=8개의 정사각형을 구간 [0,1],[1,2],…,[7,8]\displaystyle [0,1],[1,2],\ldots,[7,8]에 나누어 쌓게 된다.(1) (7점) 구간 별 정사각형의 개수 xk\displaystyle x_k값이 0,1,2,4,8\displaystyle 0,1,2,4,8중 하나인 쌓기 방법 중에 D=2\displaystyle D=2가 되는 경우를 모두 찾아 표현하시오. 다만 쌓기 방법의 표현은 크기가 큰 순서대로 다음과 같이 나열하시오.(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8)\displaystyle (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8)(2) (7점) 구간 별 정사각형의 개수 xk\displaystyle x_k값이 0,1,2\displaystyle 0,1,2중 하나일 때 가능한 모든 D\displaystyle D의 값의 개수를 구하시오.

[문제 2-2] 제시문 (가)에서 구간 [0,1]\displaystyle [0,1]에 2n−1\displaystyle 2^{n-1}개, 구간 [1,2]\displaystyle [1,2]에 2n−2\displaystyle 2^{n-2}개, ⋯, 구간 [n−1,n]\displaystyle [n-1,n]에 1개, 구간 [n,n+1]\displaystyle [n,n+1]에 마지막 1개를 쌓는 경우를 생각하자.(1) (9점) 이때 D\displaystyle D의 값을 구하시오.(2) (9점) n\displaystyle n이 무한대로 갈 때 D\displaystyle D의 극한값을 구하시오. (힌트: 2k2k+1=k+12k+1+14k−12k−1\displaystyle \frac{2k}{2^{k+1}}=\frac{k+1}{2^{k+1}}+\frac14\frac{k-1}{2^{k-1}})

[문제 2-3] 제시문 (나)를 읽고 다음 논제에 답하시오.(1) (9점) 자연수 n\displaystyle n 대하여 구간 [0,n]\displaystyle [0,n]에 정의된 함수 f(x)=ce−xn\displaystyle f(x)=ce^{-\frac xn}의 정적분 값이 1이 되는 상수 c\displaystyle c를 찾으시오.Correction. ‘자연수 n\displaystyle n 대하여’는 조사 ‘에’가 빠진 오기이다. 올바른 표현은 ‘자연수 n\displaystyle n에 대하여’이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(2) (9점) 위의 함수에 대하여 D\displaystyle D의 값을 구하고, n\displaystyle n이 무한대로 갈 때 D\displaystyle D의 극한값을 구하시오.

해설강의 준비중

아주대 2017학년도 수시 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2017su/jayeon_pm_2

[문제 2-1]

+2점

(1) [풀이] (2,2,2,2,0,0,0,0)\displaystyle (2,2,2,2,0,0,0,0),

+5점 · (4,1,1,1,1,0,0,0)\displaystyle (4,1,1,1,1,0,0,0) 두 가지(뿐)

(4,1,1,1,1,0,0,0)\displaystyle (4,1,1,1,1,0,0,0) 두 가지(뿐) 이다.

+1점

(2) [풀이] 이 경우 쌓기 방법들을 위 문제의 표현 방법으로 찾으면 (1,1,1,1,1,1,1,1)\displaystyle (1,1,1,1,1,1,1,1),

+1점

(2,1,1,1,1,1,1,0)\displaystyle (2,1,1,1,1,1,1,0),

+1점

(2,2,1,1,1,1,0,0)\displaystyle (2,2,1,1,1,1,0,0),

+1점

(2,2,2,1,1,0,0,0)\displaystyle (2,2,2,1,1,0,0,0),

+1점

(2,2,2,2,0,0,0,0)\displaystyle (2,2,2,2,0,0,0,0)이며

+2점

각각 경우의 D\displaystyle D의 값은 3,114,52,94,2\displaystyle 3,\frac{11}4,\frac52,\frac94,2가 되어 다섯 개이다.

[문제 2-2]

+9점 · 정의에 의하여 D=−∑k=1n2n−k2nlog⁡22n−k2n−12nlog⁡212n=∑k=1nk2k+n2n\displaystyle D=-\sum_{k=1}^n\frac{2^{n-k}}{2^n}\log_2\frac{2^{n-k}}{2^n}-\frac1{2^n}\log_2\frac1{2^n}=\sum_{k=1}^n\frac k{2^k}+\frac n{2^n}

(1) [풀이] 정의에 의하여 D\displaystyle D의 값은 −∑k=1n2n−k2nlog⁡22n−k2n−12nlog⁡212n=∑k=1nk2k+n2n\displaystyle -\sum_{k=1}^n\frac{2^{n-k}}{2^n}\log_2\frac{2^{n-k}}{2^n}-\frac1{2^n}\log_2\frac1{2^n}=\sum_{k=1}^n\frac k{2^k}+\frac n{2^n}이다.

+2점

(2) [풀이] n\displaystyle n이 무한대로 갈 때 n2n\displaystyle \frac n{2^n}은 0으로 간다.

+4점 · 힌트로부터 ∑k=1nk2k=∑k=1nk+12k+1+14∑k=1nk−12k−1\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac k{2^k}=\sum_{k=1}^n\frac{k+1}{2^{k+1}}+\frac14\sum_{k=1}^n\frac{k-1}{2^{k-1}}을 관찰

또한 힌트를 이용하면∑k=1nk2k=∑k=1n2k2k+1=∑k=1n(k+12k+1+14k−12k−1)=∑k=1nk+12k+1+14∑k=1nk−12k−1\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac k{2^k}=\sum_{k=1}^n\frac{2k}{2^{k+1}}=\sum_{k=1}^n\left(\frac{k+1}{2^{k+1}}+\frac14\frac{k-1}{2^{k-1}}\right)=\sum_{k=1}^n\frac{k+1}{2^{k+1}}+\frac14\sum_{k=1}^n\frac{k-1}{2^{k-1}}을 관찰 할 수 있고,

+3점 · S=S−12+14S\displaystyle S=S-\frac12+\frac14S를 얻게 되어 S=2\displaystyle S=2

구하고자 하는 극한 값을 S\displaystyle S라고 하면 위식의 양변에서 n\displaystyle n이 무한대로 보내면 S=S−12+14S\displaystyle S=S-\frac12+\frac14S를 얻게 되어 S=2\displaystyle S=2이다.

[문제 2-3]

+4점

(1) [풀이] 각 n\displaystyle n에 대하여 f(x)\displaystyle f(x)를 구간 [0,n]\displaystyle [0,n]에서 정적분을 하면∫0nf(x) dx=∫0nce−xn dx\displaystyle \int_0^nf(x)\,dx=\int_0^nce^{-\frac xn}\,dx

+4점 · =[−cne−xn]0n=cn(1−e−1)\displaystyle =\Biggl[-cne^{-\frac xn}\Biggr]_0^n=cn(1-e^{-1})

=[−cne−xn]0n=cn(1−e−1)\displaystyle =\Biggl[-cne^{-\frac xn}\Biggr]_0^n=cn(1-e^{-1})이 된다.

+1점

그러므로 c=1n(1−e−1)=en(e−1)\displaystyle c=\frac1{n(1-e^{-1})}=\frac e{n(e-1)}이다.

(2) [풀이] n=1\displaystyle n=1인 경우 f(x)=11−e−1e−x=ee−1e−x\displaystyle f(x)=\frac1{1-e^{-1}}e^{-x}=\frac e{e-1}e^{-x}이고 구간 [0,1]\displaystyle [0,1]의 모든 x\displaystyle x에 대하여 0<f(x)<1\displaystyle 0<f(x)<1을 만족하지는 않기 때문에 제시문 (나)에 정의된 D\displaystyle D값의 계산에서 제외된다.

+3점 · D=−en(e−1)ln⁡en(e−1)∫0ne−xn dx+en(e−1)∫0ne−xnxn dx\displaystyle D=-\frac e{n(e-1)}\ln\frac e{n(e-1)}\int_0^ne^{-\frac xn}\,dx+\frac e{n(e-1)}\int_0^ne^{-\frac xn}\frac xn\,dx

n≥2\displaystyle n\ge2의 경우 f(x)=en(e−1)e−xn\displaystyle f(x)=\frac e{n(e-1)}e^{-\frac xn}이고D=−∫0nf(x)ln⁡f(x) dx=−en(e−1)∫0ne−xn(ln⁡en(e−1)−xn) dx=−en(e−1)ln⁡en(e−1)∫0ne−xn dx+en(e−1)∫0ne−xnxn dx\displaystyle \begin{aligned}D&=-\int_0^nf(x)\ln f(x)\,dx\\&=-\frac e{n(e-1)}\int_0^ne^{-\frac xn}\left(\ln\frac e{n(e-1)}-\frac xn\right)\,dx\\&=-\frac e{n(e-1)}\ln\frac e{n(e-1)}\int_0^ne^{-\frac xn}\,dx+\frac e{n(e-1)}\int_0^ne^{-\frac xn}\frac xn\,dx\end{aligned}이 된다.

+5점 · 치환적분법, 부분적분법에 의하여 D=ln⁡n−1+ln⁡(e−1)+e−2e−1\displaystyle D=\ln n-1+\ln(e-1)+\frac{e-2}{e-1}

치환 y=xn\displaystyle y=\frac xn에 의하여 마지막 식은ee−1[(ln⁡n−1+ln⁡(e−1))∫01e−y dy+∫01e−yy dy]\displaystyle \frac e{e-1}\left[(\ln n-1+\ln(e-1))\int_0^1e^{-y}\,dy+\int_0^1e^{-y}y\,dy\right]이 되고 두 정적분의 값은 치환적분법, 부분적분법에 의하여1−e−1=e−1e,1−2e−1=e−2e\displaystyle 1-e^{-1}=\frac{e-1}e,\quad1-2e^{-1}=\frac{e-2}e이기 때문에D=ln⁡n−1+ln⁡(e−1)+e−2e−1\displaystyle D=\ln n-1+\ln(e-1)+\frac{e-2}{e-1}

+1점 · n\displaystyle n이 무한대로 갈 때 극한값은 ∞\displaystyle \infty

이고 n\displaystyle n이 무한대로 갈 때 극한값은 ∞\displaystyle \infty이다.

[문제 2-1] (1) (2,2,2,2,0,0,0,0)\displaystyle (2,2,2,2,0,0,0,0)는 이미 제시문에 주어졌으므로 2점으로 배점합니다. 큰 순서대로 나열하지 않은 경우 1점씩 감점입니다. 그림으로 표현한 아이들도 있습니다.

[문제 2-1] (2) (1)번처럼 큰 순서로 표현하지 않더라도 괜찮습니다. 가령 (2,2,1,1,1,1,0,0)\displaystyle (2,2,1,1,1,1,0,0)를 두 개짜리 두 곳, 하나짜리 네 곳이라고 해도 됩니다. 각 1점입니다. 찾은 방법들의 D\displaystyle D값 계산을 정확하게 했지만 정답이 아닌 경우는 1점입니다.

[문제 2-2] (1) 위 식의 첫 식까지만 구하면 4점입니다. 마지막 떨어진 항이 포함되지 않으면 1점 감점입니다. 로그 함수의 성질을 이용해서 잘 정리하는 것에 5점을 배점합니다.

[문제 2-2] (2) 풀이에서 극한을 구하는 방법과 비슷한 방법으로 구하는 학생이 있습니다.

[문제 2-3] (2) 정의에 잘 넣고 로그 성질을 이용해서 잘 표현하는 것이 3점입니다. 계산 부분은 치환에 2점, 부분적분에 3점으로 하세요.

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