자연계열 (오후) 1번

(1) [풀이] 식 $\displaystyle x^2+y^2=r_1^2$와 식 $\displaystyle (x-d)^2+y^2=r_2^2$을 연립하면$\displaystyle y^2=r_1^2-x^2=r_2^2-(x-d)^2$에서 $\displaystyle -2dx+d^2=(x-d)^2-x^2=r_2^2-r_1^2$. 따라서$\displaystyle x=\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d}$.

이제 $\displaystyle \begin{aligned}y&=\pm\sqrt{r_1^2-\left(\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d}\right)^2}\\&=\pm\frac{\sqrt{2r_1^2d^2+2r_1^2r_2^2+2r_2^2d^2-r_1^4-r_2^4-d^4}}{2d}\end{aligned}$따라서 $\displaystyle A\left(\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d},\sqrt{r_1^2-\left(\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d}\right)^2}\right)$, $\displaystyle B\left(\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d},-\sqrt{r_1^2-\left(\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d}\right)^2}\right)$이다.

$\displaystyle \frac12r_1^2\theta_1-\frac12r_1^2\sin\theta_1=\frac12r_1^2(\theta_1-\sin\theta_1)$

비슷하게 반대쪽 부분의 넓이는 $\displaystyle \frac12r_2^2(\theta_2-\sin\theta_2)$따라서 구하는 넓이는 $\displaystyle \frac12r_1^2(\theta_1-\sin\theta_1)+\frac12r_2^2(\theta_2-\sin\theta_2)$또는 만약 $\displaystyle r_1^2+r_2^2=d^2$이면 $\displaystyle \theta_1+\theta_2=\pi$이므로 $\displaystyle \frac12r_1^2(\theta_1-\sin\theta_1)+\frac12r_2^2(\pi-\theta_1-\sin\theta_1)$ 등 다양한 답의 꼴이 나올 수 있다.

$\displaystyle 0<d<1$일 때 $\displaystyle x=2d$와 $\displaystyle x=\frac23d$ 둘 다 근이 될 수 있으므로 교점의 개수는4 ($\displaystyle e=4$)

$\displaystyle 1<d<3$일 때 $\displaystyle x=\frac23d$만 근이 될 수 있고 교점의 개수는 2 ($\displaystyle f=2$)

(2) [풀이] 식 $\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1$와 식 $\displaystyle (x-\sqrt6)^2+y^2=1$을 연립하면 두 점 $\displaystyle (\frac{2\sqrt6}3,\pm\frac1{\sqrt3})$을 얻는다.

따라서 영역의 넓이는 $\displaystyle 2\int_{\frac{2\sqrt6}3}^2\sqrt{1-\frac{x^2}4}\,dx+2\int_{\sqrt6-1}^{\frac{2\sqrt6}3}\sqrt{1-(x-\sqrt6)^2}\,dx$로 표현할 수 있다.

[풀이] 두 식 ① $\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1$과 ② $\displaystyle (x-d)^2+y^2=1$을 연립하면 $\displaystyle \frac{x^2}4=1-y^2=(x-d)^2$이므로 $\displaystyle \pm\frac x2=x-d$. 따라서 $\displaystyle x=2d$일 때 $\displaystyle y=\sqrt{1-d^2}$과 $\displaystyle x=\frac23d$일 때 $\displaystyle y=\sqrt{1-\frac{d^2}9}$이 교점이 될 수 있다. 그리고 교점이 2개인 경우는 $\displaystyle 1<d<3$일 때 이므로 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac23d$

(i) $\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1$의 점 $\displaystyle P(2d/3,\sqrt{1-d^2/9})$ 에서의 접선식은 $\displaystyle \frac{2d}3\cdot\frac x4+\sqrt{1-\frac{d^2}9}\cdot y=1$에서$\displaystyle y=-\frac d{6\sqrt{1-d^2/9}}x+\frac1{\sqrt{1-d^2/9}}$.

이 식에서 $\displaystyle x=d$일 때 $\displaystyle y$는 양이 아닌 실수이어야 하므로$\displaystyle y=\frac{-d^2+6}{6\sqrt{1-d^2/9}}\le0$ 따라서 $\displaystyle d\ge\sqrt6$

(ii) $\displaystyle (x-d)^2+y^2=1$의 점 $\displaystyle P(2d/3,\sqrt{1-d^2/9})$ 에서의 접선식은 $\displaystyle (\frac23d-d)(x-d)+\sqrt{1-\frac{d^2}9}y=1$에서 $\displaystyle y=\frac{\frac d3(x-d)}{\sqrt{1-d^2/9}}+\frac1{\sqrt{1-d^2/9}}$

이 식에서 $\displaystyle x=0$일 때 $\displaystyle y$는 양이 아닌 실수이어야 하므로 $\displaystyle y=\frac{-d^2+3}{3\sqrt{1-d^2/9}}\le0$ 따라서 $\displaystyle d\ge\sqrt3$

(i), (ii)를 동시에 만족하는 영역은 $\displaystyle \sqrt6\le d<3$.(참고) $\displaystyle d=\sqrt6$일 때 $\displaystyle AO_1$은 타원의 접선이지만 $\displaystyle AO$는 원의 접선이 아니다.