자연계열 1번

[문제 1-1] 제시문 (나)를 읽고 다음 물음에 답하시오.(1) (5점) 모든 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx=1$임을 보이시오.[풀이]$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1f(x)\,dx&=(n+1)(n+2)\int_0^1(x^n-x^{n+1})\,dx\\&=(n+1)(n+2)\Biggl[\frac{1}{n+1}x^{n+1}-\frac{1}{n+2}x^{n+2}\Biggr]_0^1=1\end{aligned}$

(2) (10점) 2이상의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \int_0^1|f^{\prime\prime}(x)|\,dx=(n+1)(n+2)a_n$이라고 할 때, $\displaystyle a_n$을 구하고, 제시문 (라)를 이용하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$의 값을 구하시오.[풀이]$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime\prime}(x)&=(n+1)(n+2)(x^n-x^{n+1})^{\prime\prime}\\&=(n+1)(n+2)\{n(n-1)x^{n-2}-(n+1)nx^{n-1}\}\\&=(n+1)(n+2)nx^{n-2}\{n-1-(n+1)x\}=0\end{aligned}$이 되는 $\displaystyle x\in(0,1)$는 $\displaystyle \frac{n-1}{n+1}$이고, $\displaystyle x<\frac{n-1}{n+1}$일 때 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0$, $\displaystyle x>\frac{n-1}{n+1}$일 때 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)<0$이 된다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned}a_n&=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\int_0^1|f^{\prime\prime}(x)|\,dx=\left\{-\int_{\frac{n-1}{n+1}}^1f^{\prime\prime}(x)\,dx+\int_0^{\frac{n-1}{n+1}}f^{\prime\prime}(x)\,dx\right\}\times\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\&=\left\{-\Biggl[f^{\prime}(x)\Biggr]_{\frac{n-1}{n+1}}^1+\Biggl[f^{\prime}(x)\Biggr]_0^{\frac{n-1}{n+1}}\right\}\times\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\&=-\Biggl[nx^{n-1}-(n+1)x^n\Biggr]_{\frac{n-1}{n+1}}^1+\Biggl[nx^{n-1}-(n+1)x^n\Biggr]_0^{\frac{n-1}{n+1}}\\&=-(n-(n+1))+2\left\{n\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n-1}-(n+1)\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^n\right\}-0\\&=1+2\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n-1}\end{aligned}$

이 된다. 이제 제시문 (라)를 $\displaystyle \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n-1}=\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n-1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\frac{n+1}{n}$에 적용하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=1+\frac{2}{e^2}$을 얻게 된다. 따라서 $\displaystyle (n+1)(n+2)a_n$은 $\displaystyle n$이 커짐에 따라 무한히 커지게 된다.

(3) (10점) 각각의 $\displaystyle r\in(0,1)$에 대하여, $\displaystyle n$이 한없이 커질 때 $\displaystyle \int_r^1f(x)\,dx$의 값이 1에 수렴함을 보이시오. (단, 1보다 큰 상수 $\displaystyle b$에 대하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n}{b^n}=0$이다.)[풀이] 각 $\displaystyle r\in(0,1)$에 대하여$\displaystyle \begin{aligned}\int_r^1f(x)\,dx&=(n+1)(n+2)\Biggl[\frac{1}{n+1}x^{n+1}-\frac{1}{n+2}x^{n+2}\Biggr]_r^1\\&=(n+1)(n+2)\left\{\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)-\left(\frac{1}{n+1}r^{n+1}-\frac{1}{n+2}r^{n+2}\right)\right\}\\&=1-(n+2)r^{n+1}+(n+1)r^{n+2}\\&=1-(nr^n)r-2r^{n+1}+(nr^n)r^2+r^{n+2}\end{aligned}$이다.

$\displaystyle r$은 1보다 작은 양수이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}r^n=0$이고, $\displaystyle r=\frac1b$로 나타내면 $\displaystyle b>1$이기 때문에 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}nr^n=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{b^n}=0$이 된다. (따라서 $\displaystyle n$이 커질수록 $\displaystyle \int_r^1f(x)\,dx$는 1로 수렴하게 된다.)

[문제 1-2] 제시문 (가)를 읽고 다음 물음에 답하시오. 모든 실수에서 정의되고 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0$인 함수 $\displaystyle f(x)$를 생각하자.(1) (5점) 음이 아닌 실수에서 정의된 함수 $\displaystyle h(x)$가$\displaystyle h(x)=\int_{-x}^xf(t)\,dt-2f(0)x$이다. $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle h^{\prime}(x)$를 구하시오.[풀이] 임의의 $\displaystyle x>0$에 대하여 $\displaystyle h(x)$를$\displaystyle h(x)=\int_0^xf(t)\,dt+\int_{-x}^0f(t)\,dt-2f(0)x=\int_0^xf(t)\,dt-\int_0^{-x}f(t)\,dt-2f(0)x$로 볼 수 있기 때문에 $\displaystyle h^{\prime}(x)=f(x)-f(-x)(-1)-2f(0)=f(x)+f(-x)-2f(0)$이 된다.

(2) (10점) $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle h^{\prime}(x)>0$임을 보이시오.[풀이1] 제시문 (가)와 문제의 조건을 이용하면 $\displaystyle x=0$ 주위에서 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 아래로 볼록하다고 할 수 있다. 따라서 그림을 이용하면 임의의 $\displaystyle x>0$에 대하여 $\displaystyle \frac{f(x)+f(-x)}{2}>f(0)$을 얻게 된다.

(3) (10점) (1), (2)와 제시문 (다)를 이용하여, 모든 $\displaystyle x>0$에 대하여$\displaystyle \frac{1}{2x}\int_{-x}^xf(t)\,dt>f(0)$이 성립함을 보이시오.[풀이] (1)에 의하면 $\displaystyle h(0)=0$이다. 그리고 모든 $\displaystyle x>0$에 $\displaystyle h(x)=h(x)-h(0)=h^{\prime}(c)(x-0)$을 만족하는 $\displaystyle c$가 제시문 (다)에 의하여 열린구간 $\displaystyle (0,x)$안에 존재하게 된다. 따라서 (2)의 결과에 의하여 $\displaystyle h(x)>0$을 볼 수 있고

이는 위의 부등식을 의미한다.