자연계열 2번

아래 문제들에서 $\displaystyle n$은 3이상의 자연수라고 하자.[문제 2-1] (5점) $\displaystyle n$개의 자석들을 나열할 때, 타입1의 개수가 $\displaystyle j$개인 나열방식의 개수를 구하시오.[풀이] $\displaystyle n$개의 자석들의 타입 선택을 고려하면 모든 가능한 나열 방식의 수는 $\displaystyle 2^n$개이다. 그 중 타입1인 자석이 $\displaystyle j$개 ($\displaystyle j=0,1,\ldots,n$), 타입0인 자석이 $\displaystyle n-j$개인 경우들은 $\displaystyle n$개의 나열된 방 중에서 $\displaystyle j$개의 방을 선택하는 방법 수와 일치하며 그 수는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{j}=\frac{n!}{j!(n-j)!}$이 된다.

[문제 2-2] (10점) $\displaystyle n$개의 자석들을 나열할 때, $\displaystyle E$의 값에 따른 나열방식의 개수 $\displaystyle w(E)$를 구하고 그 이유를 설명하시오.[풀이] 우선 $\displaystyle E$가 가질 수 있는 값은 $\displaystyle 0,1,\ldots,n-1$ 중 하나이다. 왼쪽 첫 자석이 타입1을 가질 경우, 주어진 $\displaystyle E$의 값에 대하여 같은 $\displaystyle E$값을 가지는 나열방식의 개수는, 제시문 (가)의 마지막 설명에 의하면 총 $\displaystyle n-1$개의 오른쪽 또는 위쪽의 이동 중에서 위쪽으로 정확히 $\displaystyle E$번 이동하는 경우들의 수이며 그 수는 $\displaystyle n-1$개의 나열된 방에서 $\displaystyle E$개의 방을 선택하는 방법 수와 일치하게 되어$\displaystyle {}_{n-1}\mathrm{C}_{E}=\frac{(n-1)!}{E!(n-1-E)!}$과 같다. 또한 왼쪽 첫 자석이 타입0인 경우도 같은 결과가 됨을 관찰할 수 있기 때문에$\displaystyle w(E)=2\times{}_{n-1}\mathrm{C}_{E}$가 된다.

[문제 2-3] $\displaystyle n$개의 자석들을 나열할 때, 각 자석을 타입1으로 선택할 확률이 $\displaystyle p$(단, $\displaystyle p\in(0,1)$), 타입0으로 선택할 확률이 $\displaystyle q=1-p$라고 하자. 자석의 타입을 선택하는 사건들은 서로 독립이라고 하자.(1) (10점) $\displaystyle p=q=\frac12$인 경우 $\displaystyle E$의 값이 $\displaystyle k$일 확률을 [문제 2-2]를 이용하여 구하고 이유를 설명하시오.[풀이] $\displaystyle k$는 $\displaystyle 0,1,\ldots,n-1$인 경우들만 생각하면 된다. $\displaystyle p=q=\frac12$인 경우 $\displaystyle n$개의 자석들을 나열하는 방식 수 $\displaystyle 2^n$개 모두 동일한 확률 $\displaystyle \frac{1}{2^n}$을 가지게 된다. 따라서 $\displaystyle E$의 값이 $\displaystyle k$가 될 확률은 $\displaystyle \frac{w(k)}{2^n}=\frac{2\times{}_{n-1}\mathrm{C}_{k}}{2^n}=\frac{{}_{n-1}\mathrm{C}_{k}}{2^{n-1}}$이다.

(2) (10점) 제시문 (나)에 따르면 (1)에서 구한 $\displaystyle E$의 확률분포는 $\displaystyle n$이 커지면 근사적으로 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(m,\sigma^2)$을 따른다. 이 때 $\displaystyle m,\sigma$를 구하고 이유를 설명하시오.[풀이] (1)의 결과에 의하면 $\displaystyle E$의 값이 $\displaystyle k$가 될 확률이 $\displaystyle {}_{n-1}\mathrm{C}_{k}\left(\frac12\right)^k\left(\frac12\right)^{n-1-k}$, $\displaystyle k=0,1,\ldots,n-1$이기 때문에 확률변수 $\displaystyle E$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}(n-1,0.5)$를 따름을 알 수 있다. 따라서 제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle n$이 클수록 $\displaystyle E$의 분포는 $\displaystyle \mathrm{N}(0.5(n-1),0.25(n-1))$의 분포에 근사해간다. 그러므로 $\displaystyle m=0.5(n-1)=\frac12(n-1),\ \sigma=\sqrt{0.25(n-1)}=\frac{\sqrt{n-1}}{2}$이다.

(3) (15점) $\displaystyle p\ne q$일 경우 $\displaystyle E$의 값이 1일 확률은 $\displaystyle \frac{2pq}{q-p}\cdot r$로 나타낼 수 있다. $\displaystyle r$을 $\displaystyle p$와 $\displaystyle q$에 관한 식으로 나타내시오.[풀이] 왼쪽 첫 자석이 타입1이면서 $\displaystyle E$가 1인 경우의 나열방식들은$\displaystyle (1,0,0,\ldots,0,0),\ (1,1,0,\ldots,0,0),\ (1,1,1,0,\ldots,0,0),\ \cdots,\ (1,1,1,\ldots,1,0)$의 $\displaystyle n-1$가지이며 각각의 확률은 $\displaystyle pq^{n-1},\ p^2q^{n-2},\ldots,p^{n-1}q$가 된다. 그러므로 그 합을 다음과 같이 등비수열의 합의 공식을 이용하여 정리할 수 있다.$\displaystyle q^n\left(\frac{p}{q}+\cdots+\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}\right)=q^n\frac{\frac{p}{q}\left(1-\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}\right)}{1-\frac{p}{q}}=\frac{pq(q^{n-1}-p^{n-1})}{q-p}.$

비슷하게 왼쪽 첫 자석이 타입0이면서 $\displaystyle E$가 1인 경우, 위의 경우에서 0과 1들의 역할이 바뀐$\displaystyle (0,1,1,\ldots,1,1),\ (0,0,1,\ldots,1,1),\ (0,0,0,1,\ldots,1,1),\ \cdots,\ (0,0,0,\ldots,0,1)$들이며 각각의 확률은 $\displaystyle qp^{n-1},\ q^2p^{n-2},\ldots,q^{n-1}p$가 되어 그 합은 위에서 계산한 합과 같다. 따라서 $\displaystyle r=q^{n-1}-p^{n-1}$이다.