의학계 1번

[문제 1-1]두 식을 연립하면 $\displaystyle (x+1)(x-1+\frac1{4c})=0$이다.$\displaystyle (-1,0)$ 이외의 교점이 존재하려면 $\displaystyle -1<1-\frac1{4c}<1$이어야 하므로 $\displaystyle c>\frac18$.이때 교점은 $\displaystyle (1-\frac1{4c},\pm\frac{\sqrt{8c-1}}{4c})$이다.

[문제 1-2](1) 접점에서는 $\displaystyle y\ne0$이므로 두 접선의 기울기를 비교하면 $\displaystyle -\frac xy=\frac1{8cy}$. 따라서 $\displaystyle a=-\frac1{8c}$이다.(2) $\displaystyle |a|\le1$에서 $\displaystyle c\ge\frac18$이다. 다만 $\displaystyle c=\frac18$이면 접점이 $\displaystyle (-1,0)$이고 $\displaystyle p=-1$이 되어 $\displaystyle p<-1$에 어긋나므로, 실제 접점이 존재하려면 $\displaystyle c>\frac18$이어야 한다.(3) 접점의 좌표는 $\displaystyle (-\frac1{8c},\pm\frac{\sqrt{64c^2-1}}{8c})$이고, 포물선의 식에 대입하면 $\displaystyle p=-4c-\frac1{16c}$이다.

[문제 1-3]교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle p=x-4c+4cx^2$와 $\displaystyle -1\le x\le1$을 만족한다.$\displaystyle F(x)=4cx^2+x-4c$라 하면 $\displaystyle F(-1)=-1$, $\displaystyle F(1)=1$이고, 꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -\frac1{8c}$이다.$\displaystyle -1<x<1$인 근 하나에서는 교점이 두 개, $\displaystyle x=\pm1$인 근 하나에서는 교점이 한 개 생긴다.

(i) $\displaystyle 0<c\le\frac18$이면 $\displaystyle F$는 $\displaystyle [-1,1]$에서 증가한다. 따라서 $\displaystyle p=-1$이면 교점은 한 개, $\displaystyle p<-1$이면 교점은 없다.(ii) $\displaystyle c>\frac18$이면 구간 내부에서 최솟값 $\displaystyle m=-4c-\frac1{16c}<-1$을 갖는다. 따라서 $\displaystyle p<m$이면 0개, $\displaystyle p=m$이면 2개, $\displaystyle m<p<-1$이면 4개, $\displaystyle p=-1$이면 3개이다.

[문제 1-4]두 쌍곡선의 식에서 $\displaystyle y^2=x^2-1$을 대입하면$\displaystyle (b^2-a^2)x^2-2b^2px+b^2p^2+a^2(1-b^2)=0$이다.이 식을 만족하는 서로 다른 실근 중 $\displaystyle |x|>1$인 근 하나에서는 교점이 두 개, $\displaystyle |x|=1$인 근 하나에서는 교점이 한 개 생긴다. $\displaystyle |x|<1$인 근에서는 교점이 생기지 않는다.

(i) $\displaystyle x$축 위에서 접하는 경우접점을 $\displaystyle (s,0)$이라 하면 $\displaystyle s=\pm1$이고 $\displaystyle (s-p)^2=a^2$이므로$\displaystyle p=s\pm a$, 즉 $\displaystyle p=\pm1\pm a$이다.역으로 이 조건이면 두 쌍곡선은 $\displaystyle (s,0)$을 지나고 접선이 모두 $\displaystyle x=s$이므로 그 점에서 접한다.

$\displaystyle a\ne b$일 때 $\displaystyle A=b^2-a^2$, $\displaystyle r=\frac{2b^2p}{A}-s$라 하면 위 이차식의 두 근은 $\displaystyle s,r$이다.따라서 접점을 포함한 모든 교점의 개수는 다음과 같다.$\displaystyle r=s$ 또는 $\displaystyle |r|<1$이면 1개,$\displaystyle r=-s$이면 2개,$\displaystyle |r|>1$이면 3개이다.$\displaystyle r=s$인 중근은 하나의 $\displaystyle x$좌표이므로 한 번만 센다.

$\displaystyle a=b$이고 $\displaystyle p\ne0$이면 연립식은 일차식이 되어 $\displaystyle x=s$만 가능하므로 교점은 한 개이다.$\displaystyle a=b$이고 $\displaystyle p=0$이면 접점이 존재하는 경우는 $\displaystyle a=b=1$뿐이며, 이때 두 쌍곡선은 일치한다. 이는 서로 다른 두 곡선의 접촉과 구분하며, 교점은 무한히 많다.

(ii) $\displaystyle x$축 밖에서 접하는 경우접점을 $\displaystyle (t,u)$라 하면 $\displaystyle u\ne0$이다. 두 접선의 기울기가 같아야 하므로$\displaystyle \frac tu=\frac{b^2(t-p)}{a^2u}$, 즉 $\displaystyle (b^2-a^2)t=b^2p$이다.$\displaystyle a=b$이면 $\displaystyle p=0$이고, 교점이 존재하려면 $\displaystyle a=b=1$이므로 위에서 다룬 일치하는 경우뿐이다.

이제 $\displaystyle A=b^2-a^2\ne0$이라 하면 $\displaystyle t=\frac{b^2p}{A}$이다.이를 연립식에 대입하면 $\displaystyle b^2p^2=A(1-b^2)$이고, 이 조건에서$\displaystyle t^2-1=\frac{a^2-b^4}{b^2A}$이다.축 밖의 접점이 존재하려면 $\displaystyle t^2-1>0$이어야 한다.

$\displaystyle A>0$이면 $\displaystyle a<b$이고 $\displaystyle a>b^2$이어야 하므로 $\displaystyle b^2<a<b$이다.$\displaystyle A<0$이면 $\displaystyle a>b$이고 $\displaystyle a<b^2$이어야 하므로 $\displaystyle b<a<b^2$이다.두 경우 모두 $\displaystyle \frac{A(1-b^2)}{b^2}>0$이므로, 축 밖에서 접할 필요충분조건은$\displaystyle b^2<a<b$ 또는 $\displaystyle b<a<b^2$이고, $\displaystyle p^2=\frac{(b^2-a^2)(1-b^2)}{b^2}$인 것이다.

이때 연립식은 $\displaystyle A(x-t)^2=0$이 되므로 가능한 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle t$ 하나뿐이다.따라서 두 교점$\displaystyle (\frac{b^2p}{b^2-a^2},\pm\sqrt{\frac{a^2-b^4}{b^2(b^2-a^2)}})$모두에서 접하고, 다른 교점은 없다.

예를 들어 $\displaystyle a=3$, $\displaystyle b=2$, $\displaystyle p=\frac{\sqrt{15}}2$이면 접점은$\displaystyle (-\frac{2\sqrt{15}}5,\pm\frac{\sqrt{35}}5)$이고 교점은 이 두 개뿐이다. 이 경우는 $\displaystyle p=\pm1\pm a$에 포함되지 않는다.