자연계열 (오후) 2번

$\displaystyle \begin{cases}x^2+y^2=1\\x+1=4cy^2\end{cases}$를 연립하면 $\displaystyle x^2+\frac{x+1}{4c}=1$, 정리하면 $\displaystyle x^2+\frac x{4c}+\frac1{4c}-1=0$이고

$\displaystyle (x+1)(x-1+\frac1{4c})=0$. 따라서 $\displaystyle x=1-\frac1{4c}$가 교점이 될 가능성이 있다.

교점이 되려면 $\displaystyle |x|\le1$이어야 하므로 $\displaystyle c>\frac18$을 얻는다.

이제 교점은 $\displaystyle (1-\frac1{4c},\pm\frac{\sqrt{8c-1}}{4c})$

(1) $\displaystyle x^2+y^2=1$에서 $\displaystyle y^{\prime}=-\frac xy$, $\displaystyle x-p=4cy^2$에서 $\displaystyle y^{\prime}=\frac1{8cy}$ 두 기울기가 같으려면 $\displaystyle -\frac xy=\frac1{8cy}$. 이제 $\displaystyle y\ne0$이므로 $\displaystyle a=-\frac1{8c}$.

(2) $\displaystyle a^2=\frac1{64c^2}\le1$에서 $\displaystyle c>\frac18$

(3) $\displaystyle y^2=1-a^2=1-\frac1{64c^2}=\frac{64c^2-1}{64c^2}>0$에서 $\displaystyle y=\pm\frac{\sqrt{64c^2-1}}{8c}$이므로

접점의 좌표는 $\displaystyle (-\frac1{8c},\pm\frac{\sqrt{64c^2-1}}{8c})$ 이고 이 좌표를 $\displaystyle x-p=4cy^2$에 대입하면$\displaystyle -\frac1{8c}-p=4c\times\frac{64c^2-1}{64c^2}=\frac{64c^2-1}{16c}=4c-\frac1{16c}$따라서 $\displaystyle p=-4c-\frac1{8c}+\frac1{16c}=-4c-\frac1{16c}$이제 (1), (2), (3)의 결과를 종합하면 접점이 존재하려면 $\displaystyle c>\frac18$이고 $\displaystyle p=-4c-\frac1{16c}$

(a) $\displaystyle c\le\frac18$인 경우: [문제 2-2]에서 두 점에서 접하지 않으므로

$\displaystyle p=-1$일 때는 [문제2-1]에서 교점은 $\displaystyle (-1,0)$ 하나뿐이고,

$\displaystyle p<-1$일 때 만나지 않는다.

(b) $\displaystyle c>\frac18$인 경우: [문제2-2]에서 접점이 존재하려면 $\displaystyle c>\frac18$이고 $\displaystyle p=-4c-\frac1{16c}$이다.

$\displaystyle p=-1$일 때 3개의 교점(접점 1개, 교점 2개)

$\displaystyle -4c-\frac1{16c}<p<-1$일 때 4개의 교점

$\displaystyle p=-4c-\frac1{16c}$일 때 2개의 교점(접점)

$\displaystyle p<-4c-\frac1{16c}$일 때 만나지 않는다.