자연계열 (오후) 1번

아주대 2018학년도 수시 자연계열 (오후) 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2018su/jayeon_pm_1

이집트분수는 분수를 서로 다른 단위분수(분자가 1이고 분모가 자연수인 분수)의 합으로 나타낸 것이다. 이런 이집트분수를 어떻게 사용했는지 역사적으로 분명하지는 않으나 다음과 같은 분배 문제와 관련 있다고 볼 수 있다.

(가) 4명에게 3개의 빵을 나누어 주는 방법을 생각해 보자. 아래 그림과 같이 빵 2개는 2등분하고, 빵 1개는 4등분하여 공평하게 나눠주면 모든 사람은 $\displaystyle \frac34=\frac12+\frac14$ (개)의 빵을 가지게 된다.

8명에게 5개의 빵을 나누어줄 때는 아래 그림과 같이 빵 4개는 2등분하고, 빵 1개는 8등분하면 공평하게 나눌 수 있다. 이 때 모든 사람은 $\displaystyle \frac58=\frac12+\frac18$ (개)의 빵을 가지게 된다.

(나) 자연수도 서로 다른 단위분수의 합으로 나타낼 수 있는 경우가 있다. 예를 들어, $\displaystyle 1=\frac12+\frac13+\frac16$ 이다.

[문제 1-1] (4점) 이집트분수 $\displaystyle \frac34=\frac12+\frac15+\frac1{20}$ 을 이용하여 (　) 안에 알맞은 수를 써 넣으시오.(　)명에게 (　)개의 빵을 나누어 줄 때빵 (　)개는 (　)등분, 빵 (　)개는 (　)등분, 빵 (　)개는 (　)등분하면 공평하게 나눌 수 있다.

[문제 1-2] 등식 $\displaystyle \frac1n=\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}$ (단, $\displaystyle n$ 은 2 이상의 자연수)를 사용하여 다음을 증명하시오.(1) (7점) $\displaystyle n$ 이 짝수일 때, $\displaystyle \frac3n$ 을 3개의 서로 다른 단위분수의 합으로 나타낼 수 있음을 보이시오.(2) (7점) $\displaystyle n$ 이 3이상의 홀수일 때, $\displaystyle \frac3n$ 을 3개의 서로 다른 단위분수의 합으로 나타낼 수 있음을 보이시오.

[문제 1-3] (10점) [문제 1-2] (1)과 제시문 (나)를 이용하여 $\displaystyle n$ 이 짝수이고 $\displaystyle k$ 가 2 이상의 자연수일 때, $\displaystyle \frac3n$ 을 $\displaystyle k$ 개의 서로 다른 단위분수의 합으로 나타낼 수 있음을 보이시오.

[문제 1-4] (1) (14점) 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여, $\displaystyle \frac1n$ 을 두 단위분수의 합 $\displaystyle \frac1n=\frac1x+\frac1y$ 으로 나타낼 수 있다고 하자. 이 때 $\displaystyle x=n+a,\ y=n+b$ 이고 $\displaystyle ab=n^2$ 을 만족시키는 자연수 $\displaystyle a,\ b$ 가 존재함을 보이시오.(2) (8점) $\displaystyle \frac16$ 을 서로 다른 두 개의 단위분수의 합 $\displaystyle \frac16=\frac1x+\frac1y$ (단, $\displaystyle x<y$ )으로 나타낼 수 있는 모든 경우를 구하시오.

해설강의 준비중

아주대 2018학년도 수시 자연계열 (오후) 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2018su/jayeon_pm_1

+4점 · (20)명에게 (15)개의 빵을 나누어 줄 때 빵 (10)개는 (2)등분, 빵 (4)개는 (5)등분, 빵 (1)개는 (20)등분하면 공평하게 나눌 수 있다. --- 각 괄호의 값마다 0.5점씩

[문제 1-1] (4점) 이집트분수 $\displaystyle \frac34=\frac12+\frac15+\frac1{20}$ 을 이용하여 (　) 안에 알맞은 수를 써 넣으시오.(　)명에게 (　)개의 빵을 나누어 줄 때빵 (　)개는 (　)등분, 빵 (　)개는 (　)등분, 빵 (　)개는 (　)등분하면 공평하게 나눌 수 있다.[풀이] $\displaystyle \frac12+\frac15+\frac1{20}=\frac{10}{20}+\frac4{20}+\frac1{20}=\frac{10+4+1}{20}=\frac{15}{20}$ 이므로, (20)명에게 (15)개의 빵을 나누어 줄 때 빵 (10)개는 (2)등분, 빵 (4)개는 (5)등분, 빵 (1)개는 (20)등분하면 공평하게 나눌 수 있다.

+1점 ·

\displaystyle \frac3n=\frac2n+\frac1n

+1점 ·

\displaystyle =\frac1{\frac n2}+\left(\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}\right)

+1점 ·

\displaystyle =\frac1{\frac n2}+\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}

[풀이] (1) $\displaystyle \begin{aligned}\frac3n&=\frac2n+\frac1n\\&=\frac1{\frac n2}+\left(\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}\right)\\&=\frac1{\frac n2}+\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}\end{aligned}$

+3점

여기에서 $\displaystyle \frac n2<n+1<n(n+1)$ 이고

+1점

$\displaystyle n$ 이 짝수이므로 $\displaystyle \frac n2$ 는 자연수, 따라서 3개의 서로 다른 단위분수의 합이다.

+1점 · 등식

\displaystyle \frac1n=\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}

의 양변에 2를 곱하면

\displaystyle \frac2n=\frac2{n+1}+\frac2{n(n+1)}

를 얻고

\displaystyle \frac3n=\frac1n+\frac2n

+1점 ·

\displaystyle =\frac1n+\left(\frac2{n+1}+\frac2{n(n+1)}\right)

+1점 ·

\displaystyle =\frac1n+\frac1{\frac{n+1}2}+\frac1{\frac{n(n+1)}2}

(2) 등식 $\displaystyle \frac1n=\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}$ 의 양변에 2를 곱하면 $\displaystyle \frac2n=\frac2{n+1}+\frac2{n(n+1)}$ 를 얻고 $\displaystyle \begin{aligned}\frac3n&=\frac1n+\frac2n\\&=\frac1n+\left(\frac2{n+1}+\frac2{n(n+1)}\right)\\&=\frac1n+\frac1{\frac{n+1}2}+\frac1{\frac{n(n+1)}2}\end{aligned}$

+3점

여기에서 $\displaystyle \frac{n+1}2<n<\frac{n(n+1)}2$ 이고

+1점

$\displaystyle n$ 이 홀수이므로 $\displaystyle \frac{n+1}2$ 는 자연수, 따라서 3개의 서로 다른 단위분수의 합이다.

[문제 1-3] (10점) [문제 1-2] (1)과 제시문 (나)를 이용하여 $\displaystyle n$ 이 짝수이고 $\displaystyle k$ 가 2 이상의 자연수일 때, $\displaystyle \frac3n$ 을 $\displaystyle k$ 개의 서로 다른 단위분수의 합으로 나타낼 수 있음을 보이시오.[풀이]

+1점 · (a)

\displaystyle k

가 짝수이면 제시문 (나)를 사용하여

\displaystyle \frac3n=\frac1{\frac n2}+\frac1n

+3점 ·

\displaystyle =\frac1{\frac n2}+\frac1n\left(\frac12+\frac13+\frac16\right)=\frac1{\frac n2}+\frac1{2n}+\frac1{3n}+\frac1{6n}

(a) $\displaystyle k$ 가 짝수이면 제시문 (나)를 사용하여 $\displaystyle \begin{aligned}\frac3n&=\frac1{\frac n2}+\frac1n\\&=\frac1{\frac n2}+\frac1n\left(\frac12+\frac13+\frac16\right)=\frac1{\frac n2}+\frac1{2n}+\frac1{3n}+\frac1{6n}\\&=\frac1{\frac n2}+\frac1{2n}+\frac1{3n}+\frac1{6n}\left(\frac12+\frac13+\frac16\right)=\frac1{\frac n2}+\frac1{2n}+\frac1{3n}+\frac1{12n}+\frac1{18n}+\frac1{36n}\end{aligned}$

+1점

Correction. 위 계산은 가장 작은 단위분수를 세 개로 나눈 것이다. 분모가 가장 큰 항을 나누면 새로 생긴 항이 기존 항보다 모두 작아 서로 다른 단위분수라는 조건이 유지된다. 따라서 짝수·홀수 두 경우의 “가장 큰 단위분수”는 “가장 작은 단위분수”로 읽어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

가장 큰 단위분수에 제시문 (나)의 등식 $\displaystyle 1=\frac12+\frac13+\frac16$ 를 곱하는 식으로 하면 $\displaystyle k$ 개( $\displaystyle k$ 는 짝수)의 서로 다른 단위분수의 합을 얻을 수 있다.

+1점

(b) $\displaystyle k$ 가 홀수이면 [문제 1-2]에서 $\displaystyle \frac3n=\frac1{\frac n2}+\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}$

+3점 · 제시문 (나)를 사용하여

\displaystyle \frac3n=\frac1{\frac n2}+\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}\left(\frac12+\frac13+\frac16\right)=\frac1{\frac n2}+\frac1{n+1}+\frac1{2n(n+1)}+\frac1{3n(n+1)}+\frac1{6n(n+1)}

제시문 (나)를 사용하여 $\displaystyle \begin{aligned}\frac3n&=\frac1{\frac n2}+\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}\left(\frac12+\frac13+\frac16\right)\\&=\frac1{\frac n2}+\frac1{n+1}+\frac1{2n(n+1)}+\frac1{3n(n+1)}+\frac1{6n(n+1)}\end{aligned}$

+1점

가장 큰 단위분수에 제시문 (나)의 등식 $\displaystyle 1=\frac12+\frac13+\frac16$ 를 곱하는 식으로 하면 $\displaystyle k$ 개( $\displaystyle k$ 는 홀수)의 서로 다른 단위분수의 합을 얻을 수 있다.

+6점

[풀이] (1) $\displaystyle \frac1y=\frac1n-\frac1x=\frac{x-n}{nx}$ 이므로 $\displaystyle y=\frac{nx}{x-n}=\frac{n(x-n)+n^2}{x-n}=n+\frac{n^2}{x-n}$ .

+2점

Correction. 이 식의 분모 $\displaystyle a-n$ 은 앞 계산에 따라 $\displaystyle x-n$ 이어야 한다. $\displaystyle a=x-n$ 으로 두면 이 값은 $\displaystyle \frac{n^2}a$ 이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle y$ 와 $\displaystyle n$ 은 정수이므로 $\displaystyle \frac{n^2}{a-n}$ 은 정수가 된다.

+2점

$\displaystyle a=x-n$ 이라 하면 $\displaystyle a$ 는 $\displaystyle n^2$ 의 약수이고

+2점

$\displaystyle b=\frac{n^2}a$ 라 두면 $\displaystyle b$ 는 자연수이며

+2점 ·

\displaystyle x=n+a,\ y=n+b

이다.

\displaystyle \frac1{n+a}+\frac1{n+b}=\frac{2n+a+b}{(n+a)(n+b)}

임을 확인할 수도 있다.

$\displaystyle x=n+a,\ y=n+b$ 이다. $\displaystyle \frac1{n+a}+\frac1{n+b}=\frac{2n+a+b}{(n+a)(n+b)}=$ Correction. 대학 공개 PDF의 이 계산은 등호 뒤가 비어 있다. $\displaystyle ab=n^2$ 이므로 $\displaystyle (n+a)(n+b)=n(2n+a+b)$ 이고, 마지막 값은 $\displaystyle \frac1n$ 이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+2점

(2) $\displaystyle 6^2=36$ 은 $\displaystyle 1\times36,\ 2\times18,\ 3\times12,\ 4\times9$ 으로 표현되므로 $\displaystyle \frac16=\frac1{6+1}+\frac1{6+36}=\frac17+\frac1{42}$

+2점

$\displaystyle \frac16=\frac1{6+2}+\frac1{6+18}=\frac18+\frac1{24}$

+2점

$\displaystyle \frac16=\frac1{6+3}+\frac1{6+12}=\frac19+\frac1{18}$

+2점

$\displaystyle \frac16=\frac1{6+4}+\frac1{6+9}=\frac1{10}+\frac1{15}$

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