자연계열 1번

[문제 1-1](1)$\displaystyle 800=12\times2^6+2^5$이므로 800은 $\displaystyle 2^6$으로 나누면 나머지가 $\displaystyle 2^5$이다. 따라서 번호가 800인 공은 6단계에서 색칠되고, 노란색이다.

(2) 각 단계마다 색칠되는 공의 수는 남아있는 흰색 공의 개수의 절반이므로, 흰색이 아닌 공의 개수는, 등비수열의 합의 공식을 이용하여,$\displaystyle 2^{N-1}+2^{N-2}+\cdots+2+1=\frac{2^N-1}{2-1}=2^N-1$이다. 따라서 흰색 공의 개수는 $\displaystyle 2^N-(2^N-1)=1$이다.

(3) $\displaystyle N=20$이면 빨간색 공의 개수는 등비수열의 합의 공식을 이용하여 구할 수 있고,$\displaystyle 2^{19}+2^{17}+\cdots+2^3+2=\frac{2(4^{10}-1)}{4-1}=\frac{2^{21}-2}{3}=699050$

이다. 마찬가지로 $\displaystyle N=21$이면 빨간색 공의 개수는$\displaystyle 2^{20}+2^{18}+\cdots+2^2+1=\frac{4^{11}-1}{4-1}=\frac{2^{22}-1}{3}=1398101$이다.

[문제 1-2](1) 만약 $\displaystyle N$이 홀수이면 등비수열의 합의 공식을 사용하여$\displaystyle Y=3^{N-1}+2\times3^{N-2}+3^{N-3}+2\times3^{N-4}+\cdots+3^2+2\times3+1$이다.

만약 $\displaystyle N$이 짝수이면등비수열의 합의 공식을 사용하여$\displaystyle Y=3^{N-1}+2\times3^{N-2}+3^{N-3}+2\times3^{N-4}+\cdots+3+2\times1$이다.

(2) 위의 결과를 이용하여 $\displaystyle N=2m+1$이 홀수이면$\displaystyle \begin{aligned}Y&=[3^{2m}+3^{2m-2}+\cdots+3^2+1]+2\times[3^{2m-1}+3^{2m-3}+\cdots+3]\\&=\frac{9^{m+1}-1}{9-1}+\frac{6(9^m-1)}{9-1}=\frac{5\times3^N-7}{8}\end{aligned}$이므로$\displaystyle \frac{Y(N)}{3^N}=\frac58-\frac{7}{8\times3^N}$

을 얻는다. $\displaystyle N=2m$이 짝수이면$\displaystyle \begin{aligned}Y&=[3^{2m-1}+3^{2m-3}+\cdots+3]+2\times[3^{2m-2}+3^{2m-4}+\cdots+1]\\&=\frac{3(9^m-1)}{9-1}+\frac{2(9^m-1)}{9-1}=\frac{5\times3^N-5}{8}\end{aligned}$이므로$\displaystyle \frac{Y(N)}{3^N}=\frac58-\frac{5}{8\times3^N}$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{Y(N)}{3^N}$의 극한값은 $\displaystyle \frac58$이다.