수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

오류 제보

아주대 2019학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2019su/jayeon_1

배점50점
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

[문항 1] (50점) 다음 제시문을 읽고 논제에 답하라.

(가) 자연수 N\displaystyle N에 대하여 1부터 2N\displaystyle 2^N까지 번호를 갖는 2N\displaystyle 2^N개의 흰색 공이 있다. 아래 규칙에 따라 N\displaystyle N단계까지 공을 색칠하자.- 1단계: 번호가 홀수인 공을 모두 빨간색으로 칠한다.- 2단계: 번호가 22\displaystyle 2^2로 나누어 나머지가 2인 공을 모두 노란색으로 칠한다.- k\displaystyle k단계 (3≤k≤N\displaystyle 3\le k\le N): k\displaystyle k가 홀수이면 번호가 2k\displaystyle 2^k으로 나누어 나머지가 2k−1\displaystyle 2^{k-1}인 공을 모두 빨간색으로 칠하고, k\displaystyle k가 짝수이면 번호가 2k\displaystyle 2^k으로 나누어 나머지가 2k−1\displaystyle 2^{k-1}인 공을 모두 노란색으로 칠한다.

공번호1234567891011121314151617181920⋯
1단계Ⓡ○Ⓡ○Ⓡ○Ⓡ○Ⓡ○Ⓡ○Ⓡ○Ⓡ○Ⓡ○Ⓡ○⋯
2단계ⓇⓎⓇ○ⓇⓎⓇ○ⓇⓎⓇ○ⓇⓎⓇ○ⓇⓎⓇ○⋯
3단계ⓇⓎⓇⓇⓇⓎⓇ○ⓇⓎⓇⓇⓇⓎⓇ○ⓇⓎⓇⓇ⋯
4단계ⓇⓎⓇⓇⓇⓎⓇⓎⓇⓎⓇⓇⓇⓎⓇ○ⓇⓎⓇⓇ⋯

[그림 1-1] N≥5\displaystyle N\ge5일 때 4단계까지의 작업 (○은 흰색 공, Ⓡ는 빨간색 공, Ⓨ는 노란색 공)

(나) 자연수 N\displaystyle N에 대하여 1부터 3N\displaystyle 3^N까지 번호를 갖는 3N\displaystyle 3^N개의 흰색 공이 있다. 아래 규칙에 따라 N\displaystyle N단계까지 공을 색칠하자.- 1단계: 번호가 3으로 나누어 나머지가 1인 공을 모두 노란색으로 칠한다.- 2단계: 번호가 32\displaystyle 3^2으로 나누어 나머지가 2 또는 3인 공을 모두 노란색으로 칠한다.- k\displaystyle k단계 (3≤k≤N\displaystyle 3\le k\le N): k\displaystyle k가 홀수이면 번호가 3k\displaystyle 3^k으로 나누어 나머지가 3k−1\displaystyle 3^{k-1}인 공을 모두 노란색으로 칠하고, k\displaystyle k가 짝수이면 번호가 3k\displaystyle 3^k으로 나누어 나머지가 3k−1−1\displaystyle 3^{k-1}-1 또는 3k−1\displaystyle 3^{k-1}인 공을 모두 노란색으로 칠한다.

공번호1234567891011121314151617181920⋯
1단계Ⓨ○○Ⓨ○○Ⓨ○○Ⓨ○○Ⓨ○○Ⓨ○○Ⓨ○⋯
2단계ⓎⓎⓎⓎ○○Ⓨ○○ⓎⓎⓎⓎ○○Ⓨ○○ⓎⓎ⋯
3단계ⓎⓎⓎⓎ○○Ⓨ○ⓎⓎⓎⓎⓎ○○Ⓨ○○ⓎⓎ⋯

[그림 1-2] N≥3\displaystyle N\ge3일 때 3단계까지의 작업 (○은 흰색 공, Ⓨ는 노란색 공)

[문제 1-1] (30점) 제시문 (가)와 같이 N\displaystyle N단계까지 공을 색칠했을 때 다음 문제에 답하라.(1) N≥10\displaystyle N\ge10일 때 번호가 800인 공은 몇 번째 단계에서 색칠이 되는지 구하라. 또한 빨간색인지 노란색인지 답하라.(2) 전체 공들 중에서 색칠되지 않고 남아있는 흰색 공의 개수를 구하라.(3) N=20\displaystyle N=20일 때 빨간색 공의 개수와 N=21\displaystyle N=21일 때 빨간색 공의 개수를 각각 구하라.

[문제 1-2] (20점) 제시문 (나)와 같이 N\displaystyle N단계까지 공을 색칠했을 때 다음 문제에 답하라(1) 전체 공들 중에서 노란색 공의 개수를 Y\displaystyle Y라 할 때, Y\displaystyle Y를 N\displaystyle N에 관한 식으로 나타내라.(2) (1)의 결과를 이용하여, 극한 lim⁡N→∞Y3N\displaystyle \lim_{N\to\infty}\frac{Y}{3^N}가 존재하면 그 값을 구하라.

해설강의 준비중

아주대 2019학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2019su/jayeon_1

+4점 · ‘26\displaystyle 2^6으로 나누면 나머지가 25\displaystyle 2^5’ 등의 이유 설명

[문제 1-1](1)800=12×26+25\displaystyle 800=12\times2^6+2^5이므로 800은 26\displaystyle 2^6으로 나누면 나머지가 25\displaystyle 2^5이다.

+3점 · ‘6단계’

따라서 번호가 800인 공은 6단계에서 색칠되고,

+3점 · ‘노란색’

노란색이다.

+3점 · 식 2N−1+2N−2+⋯+2+1\displaystyle 2^{N-1}+2^{N-2}+\cdots+2+1
+3점 · 수열의 합 2N−12−1=2N−1\displaystyle \frac{2^N-1}{2-1}=2^N-1

(2) 각 단계마다 색칠되는 공의 수는 남아있는 흰색 공의 개수의 절반이므로, 흰색이 아닌 공의 개수는, 등비수열의 합의 공식을 이용하여,2N−1+2N−2+⋯+2+1=2N−12−1=2N−1\displaystyle 2^{N-1}+2^{N-2}+\cdots+2+1=\frac{2^N-1}{2-1}=2^N-1이다.

+4점 · 정답 2N−(2N−1)=1\displaystyle 2^N-(2^N-1)=1

따라서 흰색 공의 개수는 2N−(2N−1)=1\displaystyle 2^N-(2^N-1)=1이다.

+3점 · N=20\displaystyle N=20일 때, 219+217+⋯+23+2\displaystyle 2^{19}+2^{17}+\cdots+2^3+2
+2점 · N=20\displaystyle N=20일 때, 수열의 합 2(410−1)4−1=221−23=699050\displaystyle \frac{2(4^{10}-1)}{4-1}=\frac{2^{21}-2}{3}=699050

(3) N=20\displaystyle N=20이면 빨간색 공의 개수는 등비수열의 합의 공식을 이용하여 구할 수 있고,219+217+⋯+23+2=2(410−1)4−1=221−23=699050\displaystyle 2^{19}+2^{17}+\cdots+2^3+2=\frac{2(4^{10}-1)}{4-1}=\frac{2^{21}-2}{3}=699050

+3점 · N=21\displaystyle N=21일 때, 220+218+⋯+22+1\displaystyle 2^{20}+2^{18}+\cdots+2^2+1
+2점 · N=21\displaystyle N=21일 때, 수열의 합 411−14−1=222−13=1398101\displaystyle \frac{4^{11}-1}{4-1}=\frac{2^{22}-1}{3}=1398101

이다. 마찬가지로 N=21\displaystyle N=21이면 빨간색 공의 개수는220+218+⋯+22+1=411−14−1=222−13=1398101\displaystyle 2^{20}+2^{18}+\cdots+2^2+1=\frac{4^{11}-1}{4-1}=\frac{2^{22}-1}{3}=1398101이다.

+2점 · 짝수와 홀수 경우를 나누면

[문제 1-2](1) 만약 N\displaystyle N이 홀수이면 등비수열의 합의 공식을 사용하여

+3점 · N\displaystyle N이 홀수이면 Y=3N−1+2×3N−2+3N−3+2×3N−4+⋯+32+2×3+1\displaystyle Y=3^{N-1}+2\times3^{N-2}+3^{N-3}+2\times3^{N-4}+\cdots+3^2+2\times3+1

Y=3N−1+2×3N−2+3N−3+2×3N−4+⋯+32+2×3+1\displaystyle Y=3^{N-1}+2\times3^{N-2}+3^{N-3}+2\times3^{N-4}+\cdots+3^2+2\times3+1이다.

+3점 · N\displaystyle N이 짝수이면 Y=3N−1+2×3N−2+3N−3+2×3N−4+⋯+3+2×1\displaystyle Y=3^{N-1}+2\times3^{N-2}+3^{N-3}+2\times3^{N-4}+\cdots+3+2\times1

만약 N\displaystyle N이 짝수이면등비수열의 합의 공식을 사용하여Y=3N−1+2×3N−2+3N−3+2×3N−4+⋯+3+2×1\displaystyle Y=3^{N-1}+2\times3^{N-2}+3^{N-3}+2\times3^{N-4}+\cdots+3+2\times1이다.

+4점 · N\displaystyle N이 홀수이면 Y=5×3N−78\displaystyle Y=\frac{5\times3^N-7}{8}

(2) 위의 결과를 이용하여 N=2m+1\displaystyle N=2m+1이 홀수이면Y=[32m+32m−2+⋯+3+1]+2×[32m−1+32m−3+⋯+3]=9m+1−19−1+6(9m−1)9−1=5×3N−78\displaystyle \begin{aligned}Y&=[3^{2m}+3^{2m-2}+\cdots+3+1]+2\times[3^{2m-1}+3^{2m-3}+\cdots+3]\\&=\frac{9^{m+1}-1}{9-1}+\frac{6(9^m-1)}{9-1}=\frac{5\times3^N-7}{8}\end{aligned}Correction. 첫 번째 괄호의 끝에 적힌 3\displaystyle 3은 32\displaystyle 3^2의 오기이다. 이 괄호는 공비가 9\displaystyle 9인 등비수열의 합이며, 바로 다음 줄의 등비급수 계산에도 공비 9\displaystyle 9가 쓰였다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이므로Y(N)3N=58−78×3N\displaystyle \frac{Y(N)}{3^N}=\frac58-\frac{7}{8\times3^N}

+4점 · N\displaystyle N이 짝수이면 Y=5×3N−58\displaystyle Y=\frac{5\times3^N-5}{8}

을 얻는다. N=2m\displaystyle N=2m이 짝수이면Y=[32m−1+32m−3+⋯+3]+2×[32m−2+32m−4+⋯+1]=3(9m−1)9−1+2(9m−1)9−1=5×3N−58\displaystyle \begin{aligned}Y&=[3^{2m-1}+3^{2m-3}+\cdots+3]+2\times[3^{2m-2}+3^{2m-4}+\cdots+1]\\&=\frac{3(9^m-1)}{9-1}+\frac{2(9^m-1)}{9-1}=\frac{5\times3^N-5}{8}\end{aligned}이므로

+4점 · N\displaystyle N이 홀수인 경우와 짝수인 경우를 모두 계산하면 극한값은 58\displaystyle \frac58이다. ※ N\displaystyle N이 홀수 또는 짝수 한가지 경우만 계산하면 부분점수 2점 부여

Y(N)3N=58−58×3N\displaystyle \frac{Y(N)}{3^N}=\frac58-\frac{5}{8\times3^N}이다. 따라서 Y(N)3N\displaystyle \frac{Y(N)}{3^N}의 극한값은 58\displaystyle \frac58이다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.