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자연계열 2번

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아주대 2019학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2019su/jayeon_2

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문제

[문항 2] (50점) 다음 제시문을 읽고 논제에 답하라.

(가) [그림 2-1]과 같이 원점을 중심으로 하는 반지름의 길이가 1인 원과 원점을 지나고 x\displaystyle x축과 이루는 각의 크기가 θ\displaystyle \theta라디안인 직선 ℓ\displaystyle \ell을 생각하자. (단, π4≤θ<π2\displaystyle \frac{\pi}{4}\le\theta<\frac{\pi}{2}) 직선 ℓ\displaystyle \ell이 제1사분면에서 원과 만나는 점을 A\displaystyle \mathrm{A}, 점 (0,1)\displaystyle (0,1)을 지나고 x\displaystyle x축과 평행한 직선과 만나는 점을 B\displaystyle \mathrm{B}라 하자. 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 0<x≤1\displaystyle 0<x\le1에서 f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge0인 연속함수이다. 점 A\displaystyle \mathrm{A}를 지나고 y\displaystyle y축에 평행인 직선, 점 B\displaystyle \mathrm{B}를 지나고 y\displaystyle y축에 평행인 직선, x\displaystyle x축, 그리고 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)로 둘러싸인 도형을 S\displaystyle S라 하자.

그림 2-1: 원과 직선의 교점 A, B를 경계로 하는 영역 S

(나) 제시문 (가)에서 점 A\displaystyle \mathrm{A}의 x\displaystyle x좌표를 a\displaystyle a, 점 B\displaystyle \mathrm{B}의 x\displaystyle x좌표를 b\displaystyle b라 하고 도형 S\displaystyle S의 넓이를 T\displaystyle T, 밑변의 길이를 L=b−a\displaystyle L=b-a라 하자. 만일 f(x)\displaystyle f(x)가 구간 (0,1]\displaystyle (0,1]에서 감소하고 f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge0인 연속함수이면f(b)⋅L≤T≤f(a)⋅L(∗)\displaystyle f(b)\cdot L\le T\le f(a)\cdot L\qquad(\ast)이 성립한다. θ\displaystyle \theta가 π2\displaystyle \frac{\pi}{2}보다 작으면서 π2\displaystyle \frac{\pi}{2}에 한없이 가까워지면 a\displaystyle a와 b\displaystyle b는 0보다 크면서 0에 한없이 가까워진다. 따라서 극한값 lim⁡x→0+f(x)\displaystyle \lim_{x\to0+}f(x)가 존재하면 부등식 (∗)\displaystyle (\ast)에 의해 극한값 lim⁡θ→π2−TL\displaystyle \lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-}\frac{T}{L}도 존재한다.

(다) 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 정의된 연속함수 g(x)\displaystyle g(x)는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다. 이를 최대·최소 정리라고 한다.

[문제 2-1] (15점) 제시문 (가)를 참조하여 다음 문제에 답하라.(1) f(x)=1x3\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^3}일 때, 도형 S\displaystyle S의 넓이가 θ\displaystyle \theta에 관계없이 일정함을 보여라.(2) f(x)=(1−x)e−x\displaystyle f(x)=(1-x)e^{-x}이고 θ=π3\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}일 때, 도형 S\displaystyle S의 넓이를 구하라.

[문제 2-2] (23점) 제시문 (가)와 (나)를 참조하여 다음 문제에 답하라.(1) 제시문 (나)의 부등식 (∗)\displaystyle (\ast)가 성립하는 이유를 도형의 넓이를 이용하여 설명하라.(2) 함수 f(x)=2+x−x22−ln⁡(1+x)\displaystyle f(x)=2+x-\frac{x^2}{2}-\ln(1+x)가 열린 구간 (0,1)\displaystyle (0,1)에서 감소함을 보여라.(3) (2)의 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 극한값 lim⁡θ→π2−TL\displaystyle \lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-}\frac{T}{L}를 구하라.

[문제 2-3] (12점) 제시문 (가)의 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌 구간 [0,1]\displaystyle [0,1]에서 f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge0이고 f(0)=2\displaystyle f(0)=2인 연속함수라 하자. 이 때 도형 S\displaystyle S의 밑변의 길이를 L\displaystyle L, 넓이를 T\displaystyle T라 하자. 제시문 (다)를 참조하여 극한값 lim⁡θ→π2−TL\displaystyle \lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-}\frac{T}{L}를 구하라.

해설강의 준비중

아주대 2019학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2019su/jayeon_2

+2점 · 적분구간의 하한 cos⁡θ\displaystyle \cos\theta
+2점 · 적분구간의 상한 cot⁡θ\displaystyle \cot\theta
+1점 · 정적분 계산 ∫cos⁡θcot⁡θ1x3 dx=12(sec⁡2θ−tan⁡2θ)\displaystyle \int_{\cos\theta}^{\cot\theta}\frac{1}{x^3}\,dx=\frac12(\sec^2\theta-\tan^2\theta)

[문제 2-1](1) S\displaystyle S의 넓이는∫cos⁡θcot⁡θ1x3 dx=[−12x2]cos⁡θcot⁡θ=−12cot⁡2θ+12cos⁡2θ=12(sec⁡2θ−tan⁡2θ)\displaystyle \int_{\cos\theta}^{\cot\theta}\frac{1}{x^3}\,dx=\Biggl[-\frac{1}{2x^2}\Biggr]_{\cos\theta}^{\cot\theta}=-\frac{1}{2\cot^2\theta}+\frac{1}{2\cos^2\theta}=\frac12(\sec^2\theta-\tan^2\theta)이다.

+2점 · 정답 1/2\displaystyle 1/2

삼각함수 공식에 의해 이것은 12\displaystyle \frac12이므로 θ\displaystyle \theta에 관계없이 일정하다.

+2점 · cos⁡π3=12\displaystyle \cos\frac{\pi}{3}=\frac12
+2점 · cot⁡π3=13\displaystyle \cot\frac{\pi}{3}=\frac{1}{\sqrt3}

(2) cos⁡π3=12, cot⁡π3=13\displaystyle \cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\ \cot\frac{\pi}{3}=\frac{1}{\sqrt3}이므로,

+2점 · 부분적분 ∫1/21/3(1−x)e−x dx=[−(1−x)e−x]1/21/3−∫1/21/3e−x dx\displaystyle \int_{1/2}^{1/\sqrt3}(1-x)e^{-x}\,dx=\Biggl[-(1-x)e^{-x}\Biggr]_{1/2}^{1/\sqrt3}-\int_{1/2}^{1/\sqrt3}e^{-x}\,dx
+2점 · 정답 13e−1/3−12e−1/2\displaystyle \frac{1}{\sqrt3}e^{-1/\sqrt3}-\frac12e^{-1/2}

S\displaystyle S의 넓이는∫1/21/3(1−x)e−x dx=[−(1−x)e−x]1/21/3−∫1/21/3e−x dx=13e−1/3−12e−1/2\displaystyle \int_{1/2}^{1/\sqrt3}(1-x)e^{-x}\,dx=\Biggl[-(1-x)e^{-x}\Biggr]_{1/2}^{1/\sqrt3}-\int_{1/2}^{1/\sqrt3}e^{-x}\,dx=\frac{1}{\sqrt3}e^{-1/\sqrt3}-\frac12e^{-1/2}

+7점 · 세 도형의 넓이를 그림이나 글로 비교하여 부등식이 성립함을 설명 ※ 서술이나 그림이 부정확하면 부분점수 2~3점

[문제 2-2](1) f(x)\displaystyle f(x)가 감소함수이므로 S\displaystyle S의 넓이는 밑변의 길이를 L\displaystyle L, 높이를 f(a)\displaystyle f(a)로 하는 사각형의 넓이보다 작고 밑변의 길이를 L\displaystyle L, 높이를 f(b)\displaystyle f(b)로 하는 사각형의 넓이보다는 크다. 따라서 부등식 (∗)\displaystyle (\ast)가 성립한다.

감소함수 아래의 영역과 높이가 f(a), f(b)인 두 직사각형의 넓이 비교
+4점 · 도함수 계산 f′(x)=1−x−11+x\displaystyle f^{\prime}(x)=1-x-\frac{1}{1+x}

(2) 도함수 f′(x)=1−x−11+x=−x21+x<0\displaystyle f^{\prime}(x)=1-x-\frac{1}{1+x}=-\frac{x^2}{1+x}<0이므로,

+4점 · 부등식 f′(x)=−x21+x<0\displaystyle f^{\prime}(x)=-\frac{x^2}{1+x}<0에 의해 f\displaystyle f는 감소함수

구간 (0,1)\displaystyle (0,1)에서 감소하는 함수이다.

+3점 · 부등식 f(b)≤TL≤f(a)\displaystyle f(b)\le\frac{T}{L}\le f(a)

(3) 문제 (2)로부터 f(x)=2+x−x22−ln⁡(1+x)\displaystyle f(x)=2+x-\frac{x^2}{2}-\ln(1+x)는 (0,1]\displaystyle (0,1]에서 감소하는 함수이므로 제시문 (나)의 부등식 (∗)\displaystyle (\ast)가 성립하여f(b)≤TL≤f(a)\displaystyle f(b)\le\frac{T}{L}\le f(a)가 얻는다.

+3점 · lim⁡θ→π2−TL=lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+(2+x−x22−ln⁡(1+x))\displaystyle \lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-}\frac{T}{L}=\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}\left(2+x-\frac{x^2}{2}-\ln(1+x)\right)

θ→π2−\displaystyle \theta\to\frac{\pi}{2}-일 때 a→0+, b→0+\displaystyle a\to0+,\ b\to0+가 성립하므로, 함수의 극한의 대소 관계에 의하여lim⁡θ→π2−TL=lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+(2+x−x22−ln⁡(1+x))=2\displaystyle \lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-}\frac{T}{L}=\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}\left(2+x-\frac{x^2}{2}-\ln(1+x)\right)=2이므로,

+2점 · 정답은 2

lim⁡θ→π2−TL=2\displaystyle \lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-}\frac{T}{L}=2이다.

+5점 · 함수 f\displaystyle f는 주어진 구간에서 최댓값 M\displaystyle M과 최솟값 m\displaystyle m을 가지므로 m≤TL≤M\displaystyle m\le\frac{T}{L}\le M

[문제 2-3]함수 f(x)\displaystyle f(x)가 연속이므로 최대·최소 정리에 의해서 구간 [cos⁡θ,cot⁡θ]\displaystyle [\cos\theta,\cot\theta]에서 최댓값 M\displaystyle M과 최솟값 m\displaystyle m을 가진다. 따라서 S\displaystyle S의 넓이를 생각하면mL≤T≤ML.\displaystyle mL\le T\le ML.또는m≤TL≤M\displaystyle m\le\frac{T}{L}\le M이 성립한다.

+5점

한편 θ→π2−\displaystyle \theta\to\frac{\pi}{2}-일 때 x→0+\displaystyle x\to0+이므로 lim⁡θ→π2−m=lim⁡θ→π2−M=lim⁡x→0+f(x)=f(0)\displaystyle \lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-}m=\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-}M=\lim_{x\to0+}f(x)=f(0)가 성립한다.

+2점 · 정답 f(0)=2\displaystyle f(0)=2

따라서 lim⁡θ→π2−TL=f(0)=2\displaystyle \lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-}\frac{T}{L}=f(0)=2이다.

※평균값 정리를 이용해도 무방함.

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