자연계열 (오후) 2번

[문제 2-1](a) $\displaystyle \mathbb{B}$에서 $\displaystyle m$개의 점을 선택하여 각각 $\displaystyle \mathbb{A}$와 짝짓는 경우의 수이므로 일렬로 나열하는 경우의 수와 같다. 따라서 전체 경우의 수는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{P}_{m}=\frac{n!}{(n-m)!}=n(n-1)\cdots(n-m+1)$

(b) $\displaystyle \mathbb{B}$에서 $\displaystyle m$개의 점을 선택하면 교점이 생기지 않는 경우는 한 가지 경우 뿐 이다. 따라서 전체 경우의 수는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{m}=\frac{n!}{(n-m)!m!}$이다.

[문제 2-2](1) 어느 세 선분도 한 점에서 만나지 않으므로 문제의 조건을 만족하는 짝짓기의 개수는 $\displaystyle \mathbb{B}$에서 4개를 선택하여 이웃한 두 점의 위치를 한 번 바꾸어 $\displaystyle \mathbb{A}$의 네 점과 차례대로 연결하는 개수와 같다. 각 4개의 점에서 이웃한 점을 선택하는 경우의 수는 3이므로 모두 $\displaystyle 3\times{}_{8}\mathrm{C}_{4}=210$가지.

(2) 등차수열의 공차를 $\displaystyle d$라 하자. 한 점에서 만나는 선분이 연결된 $\displaystyle \mathbb{A}$의 점들은 서로 인접해 있어야 한다. 세 점 이상이 한 점에서 만난다고 했으므로 $\displaystyle \mathbb{A}$에서 인접한 $\displaystyle k(\ge3)$개의 점을 먼저 선택하여 각 경우의 개수를 구하는 방법으로 경우의 수를 구할 수 있다. 이때 이 $\displaystyle k$개의 점과 연결된 $\displaystyle \mathbb{B}$의 점들은 같은 간격으로 구성되어야 한다.$\displaystyle k=4$:- $\displaystyle \ell=1$인 경우 : $\displaystyle \mathbb{B}$에서 간격이 1인 경우는 $\displaystyle \{\mathrm{B}_1,\ldots,\mathrm{B}_4\},\ldots,\{\mathrm{B}_5,\ldots,\mathrm{B}_8\}$로 모두 5개.- $\displaystyle \ell=2$인 경우 : $\displaystyle \mathbb{B}$에서 간격이 2인 경우는 $\displaystyle \{\mathrm{B}_1,\mathrm{B}_3,\mathrm{B}_5,\mathrm{B}_7\},\ \{\mathrm{B}_2,\mathrm{B}_4,\mathrm{B}_6,\mathrm{B}_8\}$로 모두 2개.- $\displaystyle \ell\ge3$인 경우 : $\displaystyle \mathbb{B}$에서 간격이 $\displaystyle \ell$인 경우는 존재하지 않는다.따라서 모두 7개.

$\displaystyle k=3$: $\displaystyle \mathbb{A}$에서 인접하게 3개를 선택하는 경우는 $\displaystyle \{\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2,\mathrm{A}_3\}$와 $\displaystyle \{\mathrm{A}_2,\mathrm{A}_3,\mathrm{A}_4\}$ 뿐이다.먼저 $\displaystyle \{\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2,\mathrm{A}_3\}$ 경우를 생각하자. $\displaystyle \mathrm{A}_4$와 연결되는 $\displaystyle \mathbb{B}$의 점이 있어야 하므로 $\displaystyle \{\mathrm{B}_1,\ldots,\mathrm{B}_7\}$에서 같은 간격이 되도록 3개의 점을 선택한다. 그리고 $\displaystyle \mathrm{A}_4$와 연결되는 점을 하나 선택하면 된다.- $\displaystyle \{\mathrm{B}_1,\mathrm{B}_2,\mathrm{B}_3\}$일 때 $\displaystyle \mathrm{A}_4$와 연결되는 점은 $\displaystyle \mathrm{B}_4$에서 $\displaystyle \mathrm{B}_8$까지에서 선택되어야 하므로 5가지- 같은 방식으로 $\displaystyle \{\mathrm{B}_2,\mathrm{B}_3,\mathrm{B}_4\}$부터 $\displaystyle \{\mathrm{B}_5,\mathrm{B}_6,\mathrm{B}_7\}$에서의 경우의 수는 각각 4, 3, 2, 1가지- $\displaystyle \{\mathrm{B}_1,\mathrm{B}_3,\mathrm{B}_5\}$일 때 $\displaystyle \mathrm{A}_4$와 연결되는 점은 $\displaystyle \mathrm{B}_6$에서 $\displaystyle \mathrm{B}_8$까지에서 선택되어야 하므로 3가지- 같은 방식으로 $\displaystyle \{\mathrm{B}_2,\mathrm{B}_4,\mathrm{B}_6\},\ \{\mathrm{B}_3,\mathrm{B}_5,\mathrm{B}_7\}$의 경우의 수는 각각 2, 1가지.- $\displaystyle \{\mathrm{B}_1,\mathrm{B}_4,\mathrm{B}_7\}$일 때 $\displaystyle \mathrm{A}_4$와 연결될 수 있는 점은 $\displaystyle \mathrm{B}_8$ 뿐이므로 1가지따라서 합의법칙에 의하여 모두 22가지 경우가 있다.한편 $\displaystyle \{\mathrm{A}_2,\mathrm{A}_3,\mathrm{A}_4\}$의 경우는 $\displaystyle \{\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2,\mathrm{A}_3\}$ 경우와 대칭적이므로 역시 22가지 경우가 있다. 따라서 모두 44개.

위 두 경우를 종합하면 문제의 조건을 만족하는 짝짓기의 개수는 $\displaystyle 7+44=51$(개)다.

[문제 2-3](1) 선분의 길이가 1이 되기 위해서는 $\displaystyle i=1,\ldots,5$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{A}_i$와 $\displaystyle \mathrm{B}_i$가 연결되어야 한다.선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}_i\mathrm{B}_i}$를 포함한 짝짓기의 개수를 구해보면 모두 $\displaystyle 4!$(개)로 일정하므로 따라서 길이가 1인 선분의 개수는 $\displaystyle 5\times4!=120$(개)이다.

(2) 점의 좌표 및 등차수열의 일반항을 이용하여 $\displaystyle \mathbb{A}$와 $\displaystyle \mathbb{B}$의 점 사이의 거리를 구해보면 생길 수 있는 선분의 길이의 종류는 $\displaystyle 1,\ \sqrt{1+d^2},\ \sqrt{1+4d^2},\ \sqrt{1+9d^2},\ \sqrt{1+16d^2}$이다.(1)과 같은 방법으로 각 선분의 개수를 구해보면 다음과 같다.- 선분의 길이가 1인 경우 : $\displaystyle 5\times4!$ (개)- 선분의 길이가 $\displaystyle \sqrt{1+d^2}$인 경우 : $\displaystyle 4\times2\times4!$- 선분의 길이가 $\displaystyle \sqrt{1+4d^2}$인 경우 : $\displaystyle 3\times2\times4!$- 선분의 길이가 $\displaystyle \sqrt{1+9d^2}$인 경우 : $\displaystyle 2\times2\times4!$- 선분의 길이가 $\displaystyle \sqrt{1+16d^2}$인 경우 : $\displaystyle 1\times2\times4!$

따라서 $\displaystyle L=4!\times(5+8\sqrt{1+d^2}+6\sqrt{1+4d^2}+4\sqrt{1+9d^2}+2\sqrt{1+16d})$이므로,$\displaystyle \lim_{d\to\infty}\frac{L}{d}=4!\times\frac{(5+8\sqrt{1+d^2}+6\sqrt{1+4d^2}+4\sqrt{1+9d^2}+2\sqrt{1+16d})}{d}=960$