의학계 1번

[문제 1-1](1) (a) $\displaystyle \mathbb{B}$에서 $\displaystyle m$개의 점을 선택하여 각각 $\displaystyle \mathbb{A}$와 짝짓는 경우의 수이므로 일렬로 나열하는 경우의 수와 같다. 따라서 전체 경우의 수는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{P}_{m}=\frac{n!}{(n-m)!}=n(n-1)\cdots(n-m+1)$

(b) $\displaystyle \mathbb{B}$에서 $\displaystyle m$개의 점을 선택하여 짝짓기를 했을 때 교점이 생기지 않는 경우는 한 가지 경우 뿐 이다. 따라서 전체 경우의 수는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{m}=\frac{n!}{(n-m)!m!}$이다.

(2) 임의의 세 선분을 선택할 때 한 점에서 만나지 않음을 보이면 충분하다.

$\displaystyle \mathbb{A}$에서 $\displaystyle \mathrm{A}_i,\ \mathrm{A}_j,\ \mathrm{A}_k\ (i<j<k)$를 고르고 $\displaystyle \mathbb{B}$에서 $\displaystyle \mathrm{B}_s,\ \mathrm{B}_t,\ \mathrm{B}_u\ (s<t<u)$를 골라서 [그림 1-2]와 같이 연결되었다고 가정하자. 문제의 조건으로부터 $\displaystyle c_k=r^{k-1}$이므로,$\displaystyle \overline{\mathrm{A}_i\mathrm{A}_j}=r^{j-1}-r^{i-1},\ \overline{\mathrm{A}_j\mathrm{A}_k}=r^{k-1}-r^{j-1}$$\displaystyle \overline{\mathrm{B}_s\mathrm{B}_t}=r^{t-1}-r^{s-1},\ \overline{\mathrm{B}_t\mathrm{B}_u}=r^{u-1}-r^{t-1}$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{B}_t\mathrm{B}_u}:\overline{\mathrm{A}_i\mathrm{A}_j}=\overline{\mathrm{B}_s\mathrm{B}_t}:\overline{\mathrm{A}_j\mathrm{A}_k}$가 성립하기 위해서는$\displaystyle r^{j-1}(1-r^{i-j})r^{t-1}(1-r^{s-t})=r^{j-1}(r^{k-j}-1)r^{t-1}(r^{u-t}-1)$이므로, $\displaystyle (1-r^{i-j})(1-r^{s-t})=(r^{k-j}-1)(r^{u-t}-1)$이어야 한다.

하지만 좌변은 1보다 작고, 우변은 1보다 크므로 두 식은 같지 않다.Caution. 부등식을 적용할 때는 등호가 성립하는 경우도 확인해야 한다: $\displaystyle r=2$이고 $\displaystyle k-j=u-t=1$이면 우변은 1이므로, “1보다 크다”는 “1 이상이다”로 읽어야 한다. 좌변은 1보다 작으므로 모순이라는 결론은 같다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제 1-2](1) 어느 세 선분도 한 점에서 만나지 않으므로 문제의 조건을 만족하는 짝짓기의 개수는 $\displaystyle \mathbb{B}$에서 5개를 선택하여 이웃한 두 점의 위치를 한 번 바꾸어서 $\displaystyle \mathbb{A}$의 5개의 점과 차례대로 연결하는 개수와 같다. 각 5개의 점에서 이웃한 점을 선택하는 경우의 수는 4이므로

모두 $\displaystyle 4\times{}_{8}\mathrm{C}_{5}=224$가지.

(2) 등차수열의 공차를 $\displaystyle d$라 하자. 세 선분 이상이 한 점에서 만나야 하므로 문제의 조건을 만족하는 짝짓기의 개수는 $\displaystyle \mathbb{B}$에서 같은 간격 $\displaystyle \ell\times d$ ($\displaystyle \ell$은 자연수)를 가지는 $\displaystyle k(\ge3)$개의 점을 먼저 선택하고, 그 순서를 뒤집고, 그 점들의 바깥에서 $\displaystyle 5-k$개의 점을 추가로 고른 후, 이렇게 선택한 5개의 점을 $\displaystyle \mathbb{A}$의 점에 차례대로 대응시키는 것과 같다.

$\displaystyle k=5$:- $\displaystyle \ell=1$인 경우 : $\displaystyle \mathbb{B}$에서 간격이 1인 경우는 $\displaystyle \{\mathrm{B}_1,\ldots,\mathrm{B}_5\},\ldots,\{\mathrm{B}_4,\ldots,\mathrm{B}_8\}$로 모두 4개.- $\displaystyle \ell\ge2$인 경우 : $\displaystyle \mathbb{B}$에서 간격이 $\displaystyle \ell$인 경우는 존재하지 않는다.따라서 모두 4개.

$\displaystyle k=4$:- $\displaystyle \ell=1$인 경우 : $\displaystyle \mathbb{B}$에서 간격이 1인 경우는 $\displaystyle \{\mathrm{B}_1,\ldots,\mathrm{B}_4\},\ldots,\{\mathrm{B}_5,\ldots,\mathrm{B}_8\}$로 모두 5개. 이때 이 점들의 바깥쪽에 있는 점은 모두 4개 이므로 $\displaystyle 5\times4=20$- $\displaystyle \ell=2$인 경우 : $\displaystyle \mathbb{B}$에서 간격이 2인 경우는 $\displaystyle \{\mathrm{B}_1,\mathrm{B}_3,\mathrm{B}_5,\mathrm{B}_7\},\ \{\mathrm{B}_2,\mathrm{B}_4,\mathrm{B}_6,\mathrm{B}_8\}$로 모두 2개. 이때 이 점들의 바깥쪽에 있는 점은 모두 1개 이므로 $\displaystyle 2\times1=2$- $\displaystyle \ell\ge3$인 경우 : $\displaystyle \mathbb{B}$에서 간격이 $\displaystyle \ell$인 경우는 존재하지 않는다.따라서 모두 22개.

$\displaystyle k=3$:- $\displaystyle \ell=1$인 경우 : $\displaystyle \mathbb{B}$에서 간격이 1인 경우는 $\displaystyle \{\mathrm{B}_1,\mathrm{B}_2,\mathrm{B}_3\},\ldots,\{\mathrm{B}_6,\mathrm{B}_7,\mathrm{B}_8\}$로 모두 6개. 이때 이 점들의 바깥쪽에 있는 점은 모두 5개 이므로 $\displaystyle 6\times{}_{5}\mathrm{C}_{2}=60$- $\displaystyle \ell=2$인 경우 : $\displaystyle \mathbb{B}$에서 간격이 2인 경우는 $\displaystyle \{\mathrm{B}_1,\mathrm{B}_3,\mathrm{B}_5\},\ldots,\{\mathrm{B}_4,\mathrm{B}_6,\mathrm{B}_8\}$로 모두 4개. 이때 이 점들의 바깥쪽에 있는 점은 모두 3개 이므로 $\displaystyle 4\times{}_{3}\mathrm{C}_{2}=12$- $\displaystyle \ell=3$인 경우 : $\displaystyle \mathbb{B}$에서 간격이 3인 경우는 $\displaystyle \{\mathrm{B}_1,\mathrm{B}_4,\mathrm{B}_7\},\ \{\mathrm{B}_2,\mathrm{B}_5,\mathrm{B}_8\}$로 모두 2개. 이때 이 점들의 바깥쪽에 있는 점은 모두 1개 이므로 두 점을 선택할 수 없다.- $\displaystyle \ell\ge4$인 경우 : $\displaystyle \mathbb{B}$에서 간격이 $\displaystyle \ell$인 경우는 존재하지 않는다.따라서 모두 $\displaystyle 60+12=72$개.

위 두 경우를 종합하면 문제의 조건을 만족하는 짝짓기의 개수는 $\displaystyle 4+22+72=98$(개)다.

[문제 1-3](1) 선분의 길이가 1이 되기 위해서는 $\displaystyle i=1,\ldots,10$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{A}_i$와 $\displaystyle \mathrm{B}_i$가 연결되어야 한다.

선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}_i\mathrm{B}_i}$를 포함한 짝짓기의 개수를 구해보면 모두 $\displaystyle 9!$(개)로 일정하므로

따라서 길이가 1인 선분의 개수는 $\displaystyle 10\times9!=10!$(개)이다.

(2) 점의 좌표 및 등차수열의 일반항을 이용하여 $\displaystyle \mathbb{A}$와 $\displaystyle \mathbb{B}$의 점 사이의 거리를 구해보면, 생길 수 있는 선분의 길이는 $\displaystyle k=0,1,2,\ldots,9$에 대하여 $\displaystyle \sqrt{1+(kd)^2}$이다.

(1)과 같은 방법으로 각 선분의 개수를 구해보면 다음과 같다.- 선분의 길이가 1인 경우 : $\displaystyle 10!$ (개)- 선분의 길이가 $\displaystyle \sqrt{1+(kd)^2}$인 경우 (단, $\displaystyle k\ne0$) : $\displaystyle 9!\times2\times(10-k)$ (개)즉, $\displaystyle L=10!+2\times9!\times\sum_{k=1}^9(10-k)\sqrt{1+(kd)^2}$이 된다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned}\frac{1}{9!}\times\lim_{d\to\infty}\frac{L}{d}&=2(1\times9+2\times8+\cdots+9\times1)\\&=2\sum_{k=1}^9k(10-k)=20\sum_{k=1}^9k-2\sum_{k=1}^9k^2\\&=10^2\times9-\frac{9\times10\times19}{3}\\&=330\end{aligned}$