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자연계열 (오후) 1번

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아주대 2019학년도 수시 자연계열 (오후) 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2019su/jayeon_pm_1

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문제

[문항 1] (50점) 다음 제시문을 읽고 논제에 답하라.

(가) 삼차함수 f(x)=ax3+bx2+cx+d (a>0)\displaystyle f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ (a>0)의 도함수 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)는 이차함수이다. 이차방정식 f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=0이 서로 다른 두 실근 α, β (α<β)\displaystyle \alpha,\ \beta\ (\alpha<\beta)를 가질 때, 삼차함수 f(x)\displaystyle f(x)는 x=α\displaystyle x=\alpha일 때 극댓값 f(α)\displaystyle f(\alpha), x=β\displaystyle x=\beta일 때 극솟값 f(β)\displaystyle f(\beta)를 갖는다. 삼차함수의 그래프를 삼차곡선이라 부른다.한편 방정식 f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=0이 서로 다른 두 실근 α, β (α<β)\displaystyle \alpha,\ \beta\ (\alpha<\beta)를 가지므로 일차방정식 f′′(x)=0\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=0은 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta사이에서 근 γ\displaystyle \gamma를 갖는다. 삼차곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 I(γ,f(γ))\displaystyle \mathrm{I}(\gamma,f(\gamma))를 이 곡선의 변곡점이라 한다.

(나) 방정식 g(x,y)=0\displaystyle g(x,y)=0이 나타내는 도형을 x\displaystyle x축의 방향으로 K\displaystyle K만큼, y\displaystyle y축의 방향으로 L\displaystyle L만큼 평행이동한 도형의 방정식은 g(x−K,y−L)=0\displaystyle g(x-K,y-L)=0이다. 예를 들면, a≠0\displaystyle a\ne0일 때 방정식 y=ax2+bx+c\displaystyle y=ax^2+bx+c가 나타내는 포물선을 x\displaystyle x축의 방향으로 b2a\displaystyle \frac{b}{2a}만큼, y\displaystyle y축의 방향으로 b2−4ac4a\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}만큼 평행이동한 포물선의 방정식은 y=ax2\displaystyle y=ax^2이다.

[문제 1-1] (15점) 제시문 (가)에서 f(x)=x3−6x2+9x+1\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+9x+1이라 할 때 다음 문제에 답하라.(1) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=α\displaystyle x=\alpha에서 극댓값, x=β\displaystyle x=\beta에서 극솟값을 가질 때, 두 점 A(α,f(α))\displaystyle \mathrm{A}(\alpha,f(\alpha))와 B(β,f(β))\displaystyle \mathrm{B}(\beta,f(\beta))의 좌표를 각각 구하라. 또한 선분 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}의 중점의 좌표를 구하라.(2) 삼차곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 변곡점 I\displaystyle \mathrm{I}의 좌표를 구하라.

[문제 1-2] (20점) 제시문 (나)를 참조하여 다음 문제에 답하라.(1) 곡선 y=x3−6x2+9x+1\displaystyle y=x^3-6x^2+9x+1을 x\displaystyle x축의 방향으로 K\displaystyle K만큼, y\displaystyle y축의 방향으로 L\displaystyle L만큼 평행이동한 곡선의 방정식이 y=x3+Bx\displaystyle y=x^3+Bx 꼴로 나타날 때 상수 B, K, L\displaystyle B,\ K,\ L을 구하라.(2) 곡선 y=ax3+bx2+cx+d (a≠0)\displaystyle y=ax^3+bx^2+cx+d\ (a\ne0)을 x\displaystyle x축의 방향으로 K\displaystyle K만큼, y\displaystyle y축의 방향으로 L\displaystyle L만큼 평행이동한 곡선의 방정식이 y=ax3+Bx\displaystyle y=ax^3+Bx 꼴로 나타날 때 B, K, L\displaystyle B,\ K,\ L을 각각 a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d에 관한 식으로 나타내라.

[문제 1-3] (15점) 삼차함수 f(x)=ax3+bx2+cx+d (a>0)\displaystyle f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ (a>0)의 도함수가 서로 다른 실근을 갖는다. 삼차곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 변곡점 I\displaystyle \mathrm{I}를 지나는 직선이 [그림 1-1]과 같이 세 점 P, I, Q\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{I},\ \mathrm{Q}에서 곡선과 만난다고 하자. 제시문 (가)와 [문제 1-2]를 참조하여 다음 문제에 답하라.

그림 1-1: 변곡점 I를 지나며 삼차곡선과 P, I, Q에서 만나는 직선

(1) 선분 PQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}의 중점이 I\displaystyle \mathrm{I}임을 보여라.(2) 선분 PI‾\displaystyle \overline{\mathrm{PI}}와 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)로 둘러싸인 부분의 넓이는 선분 IQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{IQ}}와 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)로 둘러싸인 부분의 넓이와 같음을 보여라.

해설강의 준비중

아주대 2019학년도 수시 자연계열 (오후) 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2019su/jayeon_pm_1

+3점 · A(1,5)\displaystyle A(1,5)
+3점 · B(3,1)\displaystyle B(3,1)

[문제 1-1](1) y′=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)\displaystyle y^{\prime}=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)이므로 x=1\displaystyle x=1에서 극대이고, x=3\displaystyle x=3에서 극소이다. 그러므로 A(1,5), B(3,1)\displaystyle A(1,5),\ B(3,1)이고,

+4점 · 중점의 좌표 (2,3)\displaystyle (2,3)

따라서 중점의 좌표는 (2,3)\displaystyle (2,3)이다.

+2점 · y′′=6x−12=0\displaystyle y^{\prime\prime}=6x-12=0 식

(2) y′′=6x−12=0\displaystyle y^{\prime\prime}=6x-12=0의 근은 x=2\displaystyle x=2이므로

+3점 · 변곡점의 좌표 (2,3)\displaystyle (2,3)

변곡점의 좌표는 (2,3)\displaystyle (2,3)이다.

+1점 · y−3=(x−2)3−3(x−2)\displaystyle y-3=(x-2)^3-3(x-2)이나 이와 동등한 종류의 식 혹은 변곡점만큼을 평행이동 시키면 된다는 언급

[문제 1-2](1) 방정식 y=x3−6x2+9x+1\displaystyle y=x^3-6x^2+9x+1에서 y−3=(x−2)3−3(x−2)\displaystyle y-3=(x-2)^3-3(x-2)이므로, x\displaystyle x축으로 K=−2\displaystyle K=-2만큼 y\displaystyle y축으로 L=−3\displaystyle L=-3만큼 평행이동하면 y=x3−3x\displaystyle y=x^3-3x를 얻을 수 있다.

+3점 · B=−3\displaystyle B=-3
+3점 · K=−2\displaystyle K=-2
+3점 · L=−3\displaystyle L=-3

따라서 B=−3, K=−2, L=−3\displaystyle B=-3,\ K=-2,\ L=-3

+1점 · y=a(x+b3a)3+(c−b23a)(x+b3a)+d−bc3a+2b327a2\displaystyle y=a\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3+\left(c-\frac{b^2}{3a}\right)\left(x+\frac{b}{3a}\right)+d-\frac{bc}{3a}+\frac{2b^3}{27a^2}이나 이와 동등한 종류의 식 혹은 변곡점 만큼을 평행이동 시키면 된다는 언급

(2) y=ax3+bx2+cx+d\displaystyle y=ax^3+bx^2+cx+d를 적절히 변형하면y=ax3+bx2+cx+d=a(x+b3a)3+(c−b23a)x+d−b327a2=a(x+b3a)3+(c−b23a)(x+b3a)+d−bc3a+2b327a2\displaystyle \begin{aligned}y&=ax^3+bx^2+cx+d\\&=a\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3+\left(c-\frac{b^2}{3a}\right)x+d-\frac{b^3}{27a^2}\\&=a\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3+\left(c-\frac{b^2}{3a}\right)\left(x+\frac{b}{3a}\right)+d-\frac{bc}{3a}+\frac{2b^3}{27a^2}\end{aligned}이므로, x\displaystyle x축으로 b3a\displaystyle \frac{b}{3a}, y\displaystyle y축으로 −d+bc3a−2b327a2\displaystyle -d+\frac{bc}{3a}-\frac{2b^3}{27a^2}만큼 평행이동 하면 y=ax3+(c−b23a)x\displaystyle y=ax^3+\left(c-\frac{b^2}{3a}\right)x를 얻을 수 있다.

+3점 · B=c−b23a\displaystyle B=c-\frac{b^2}{3a}
+3점 · K=b3a\displaystyle K=\frac{b}{3a}
+3점 · L=−d+bc3a−2b327a2\displaystyle L=-d+\frac{bc}{3a}-\frac{2b^3}{27a^2}

따라서 B=c−b23a, K=b3a, L=−d+bc3a−2b327a2\displaystyle B=c-\frac{b^2}{3a},\ K=\frac{b}{3a},\ L=-d+\frac{bc}{3a}-\frac{2b^3}{27a^2}이다.

+2점 · f(x)=ax3+Bx\displaystyle f(x)=ax^3+Bx라고 가정

[문제 1-3](1) 삼차곡선을 평행이동 하더라도 변곡점의 상대적 위치는 변하지 않으므로 [문제 1-2 (2)]에 의하여 삼차함수가 f(x)=ax3+Bx\displaystyle f(x)=ax^3+Bx라고 가정해도 된다. 이때 f(x)\displaystyle f(x)의 변곡점은 I(0,0)\displaystyle \mathrm{I}(0,0)이다. 따라서 변곡점을 지나는 직선의 방정식을 y=kx\displaystyle y=kx라고 할 수 있다.

+2점 · ax3+Bx=kx\displaystyle ax^3+Bx=kx 식

방정식 ax3+Bx=kx\displaystyle ax^3+Bx=kx를 풀면

+2점 · P\displaystyle \mathrm{P}와 Q\displaystyle \mathrm{Q}의 x\displaystyle x좌표 정확히 찾음

x=−k−Ba, x=0, x=k−Ba\displaystyle x=-\sqrt{\frac{k-B}{a}},\ x=0,\ x=\sqrt{\frac{k-B}{a}}이므로,

+4점 · P\displaystyle \mathrm{P}의 좌표는 (−k−Ba,−kk−Ba)\displaystyle \left(-\sqrt{\frac{k-B}{a}},-k\sqrt{\frac{k-B}{a}}\right), Q\displaystyle \mathrm{Q}의 좌표 (k−Ba,kk−Ba)\displaystyle \left(\sqrt{\frac{k-B}{a}},k\sqrt{\frac{k-B}{a}}\right)

P\displaystyle \mathrm{P}의 좌표는 (−k−Ba,−kk−Ba)\displaystyle \left(-\sqrt{\frac{k-B}{a}},-k\sqrt{\frac{k-B}{a}}\right), Q\displaystyle \mathrm{Q}의 좌표는 (k−Ba,kk−Ba)\displaystyle \left(\sqrt{\frac{k-B}{a}},k\sqrt{\frac{k-B}{a}}\right)이다. 따라서 PQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}의 중점은 (0,0)\displaystyle (0,0)이고 이는 I\displaystyle \mathrm{I}와 같다.

+1점 · 선분 PI‾\displaystyle \overline{\mathrm{PI}}와 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)로 둘러싸인 부분의 넓이 S=∫−k−Ba0(ax3+Bx−kx) dx\displaystyle S=\int_{-\sqrt{\frac{k-B}{a}}}^0(ax^3+Bx-kx)\,dx
+1점 · 선분 IQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{IQ}}와 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)로 둘러싸인 부분의 넓이 T=∫0k−Ba(kx−ax3−Bx) dx\displaystyle T=\int_0^{\sqrt{\frac{k-B}{a}}}(kx-ax^3-Bx)\,dx

(2) 선분 PI‾\displaystyle \overline{\mathrm{PI}}와 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)로 둘러싸인 부분의 면적을 S\displaystyle S, 선분 IQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{IQ}}와 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)로 둘러싸인 부분의 면적을 T\displaystyle T라 하자. 그러면S=∫−k−Ba0(ax3+Bx−kx) dx,T=∫0k−Ba(kx−ax3−Bx) dx\displaystyle S=\int_{-\sqrt{\frac{k-B}{a}}}^0(ax^3+Bx-kx)\,dx,\quad T=\int_0^{\sqrt{\frac{k-B}{a}}}(kx-ax^3-Bx)\,dx이다.

+3점 · x=−t\displaystyle x=-t로 치환하여 S=T\displaystyle S=T 증명

한편 S=∫−k−Ba0(ax3+Bx−kx) dx\displaystyle S=\int_{-\sqrt{\frac{k-B}{a}}}^0(ax^3+Bx-kx)\,dx에서 x=−t\displaystyle x=-t로 치환하면, dxdt=−1\displaystyle \frac{dx}{dt}=-1이므로S=∫−k−Ba0(ax3+Bx−kx) dx=∫0k−Ba(at3+Bt−kt) dt=T\displaystyle S=\int_{-\sqrt{\frac{k-B}{a}}}^0(ax^3+Bx-kx)\,dx=\int_0^{\sqrt{\frac{k-B}{a}}}(at^3+Bt-kt)\,dt=TCorrection. x=−t\displaystyle x=-t로 치환하고 적분 구간을 바꾸면 피적분함수는 kt−at3−Bt\displaystyle kt-at^3-Bt가 되어야 한다. 원문 마지막 적분은 부호가 반대로 적혀 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

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