자연계열 (오후) 1번

[문제 1-1](1) $\displaystyle y^{\prime}=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$이므로 $\displaystyle x=1$에서 극대이고, $\displaystyle x=3$에서 극소이다. 그러므로 $\displaystyle A(1,5),\ B(3,1)$이고, 따라서 중점의 좌표는 $\displaystyle (2,3)$이다.

(2) $\displaystyle y^{\prime\prime}=6x-12=0$의 근은 $\displaystyle x=2$이므로 변곡점의 좌표는 $\displaystyle (2,3)$이다.

[문제 1-2](1) 방정식 $\displaystyle y=x^3-6x^2+9x+1$에서 $\displaystyle y-3=(x-2)^3-3(x-2)$이므로, $\displaystyle x$축으로 $\displaystyle K=-2$만큼 $\displaystyle y$축으로 $\displaystyle L=-3$만큼 평행이동하면 $\displaystyle y=x^3-3x$를 얻을 수 있다.따라서 $\displaystyle B=-3,\ K=-2,\ L=-3$

(2) $\displaystyle y=ax^3+bx^2+cx+d$를 적절히 변형하면$\displaystyle \begin{aligned}y&=ax^3+bx^2+cx+d\\&=a\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3+\left(c-\frac{b^2}{3a}\right)x+d-\frac{b^3}{27a^2}\\&=a\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3+\left(c-\frac{b^2}{3a}\right)\left(x+\frac{b}{3a}\right)+d-\frac{bc}{3a}+\frac{2b^3}{27a^2}\end{aligned}$이므로, $\displaystyle x$축으로 $\displaystyle \frac{b}{3a}$, $\displaystyle y$축으로 $\displaystyle -d+\frac{bc}{3a}-\frac{2b^3}{27a^2}$만큼 평행이동 하면 $\displaystyle y=ax^3+\left(c-\frac{b^2}{3a}\right)x$를 얻을 수 있다.따라서 $\displaystyle B=c-\frac{b^2}{3a},\ K=\frac{b}{3a},\ L=-d+\frac{bc}{3a}-\frac{2b^3}{27a^2}$이다.

[문제 1-3](1) 삼차곡선을 평행이동 하더라도 변곡점의 상대적 위치는 변하지 않으므로 [문제 1-2 (2)]에 의하여 삼차함수가 $\displaystyle f(x)=ax^3+Bx$라고 가정해도 된다. 이때 $\displaystyle f(x)$의 변곡점은 $\displaystyle \mathrm{I}(0,0)$이다. 따라서 변곡점을 지나는 직선의 방정식을 $\displaystyle y=kx$라고 할 수 있다.방정식 $\displaystyle ax^3+Bx=kx$를 풀면 $\displaystyle x=-\sqrt{\frac{k-B}{a}},\ x=0,\ x=\sqrt{\frac{k-B}{a}}$이므로, $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left(\sqrt{\frac{k-B}{a}},-k\sqrt{\frac{k-B}{a}}\right)$, $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \left(\sqrt{\frac{k-B}{a}},k\sqrt{\frac{k-B}{a}}\right)$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$의 중점은 $\displaystyle (0,0)$이고 이는 $\displaystyle \mathrm{I}$와 같다.Correction. 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -\sqrt{\frac{k-B}{a}}$이다. 대학 답안에는 음수 부호가 빠져 있으며 채점기준에는 올바르게 적혀 있다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2) 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{PI}}$와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$로 둘러싸인 부분의 면적을 $\displaystyle S$, 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{IQ}}$와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$로 둘러싸인 부분의 면적을 $\displaystyle T$라 하자. 그러면$\displaystyle S=\int_{-\sqrt{\frac{k-B}{a}}}^0(ax^3+Bx-kx)\,dx,\quad T=\int_0^{\sqrt{\frac{k-B}{a}}}(kx-ax^3-Bx)\,dx$이다. 한편 $\displaystyle S=\int_{-\sqrt{\frac{k-B}{a}}}^0(ax^3+Bx-kx)\,dx$에서 $\displaystyle x=-t$로 치환하면, $\displaystyle \frac{dx}{dt}=-1$이므로$\displaystyle S=\int_{-\sqrt{\frac{k-B}{a}}}^0(ax^3+Bx-kx)\,dx=\int_0^{\sqrt{\frac{k-B}{a}}}(at^3+Bt-kt)\,dt=T$Correction. $\displaystyle x=-t$로 치환하고 적분 구간을 바꾸면 피적분함수는 $\displaystyle kt-at^3-Bt$가 되어야 한다. 원문 마지막 적분은 부호가 반대로 적혀 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.