자연계열 1번

[문제 1-1](1) (풀이1) 색칠되지 않은 칸에 적힌 수를 차례로 $\displaystyle x,\ y,\ z$라 두자.

<조건>을 만족해야하므로 $\displaystyle x=\frac{5+y}{2}$, $\displaystyle y=\frac{x+z}{2}$, $\displaystyle z=\frac{y+13}{2}$가 성립한다. 이 일차연립방정식을 풀면 $\displaystyle x=7,\ y=9,\ z=11$을 얻는다.

(2) (1)에서의 (풀이2)과 같은 이유로 수열 $\displaystyle 0,\ A_1,\ A_2,\ \ldots,\ A_{99},\ 2020$는 등차수열이 된다. 이때 공차를 $\displaystyle d$로 두면 2020은 101번째 항이므로 $\displaystyle 2020=100d$이다. $\displaystyle d=\frac{101}{5}$이고 $\displaystyle A_{45}=45d=\frac{101}{5}\times45=909$이다.

(3) (1)에서의 (풀이2)과 같은 이유로 수열 $\displaystyle 0,\ \ln B_1,\ \ln B_2,\ \ldots,\ \ln B_{n-1},\ n$은 등차수열이 되어 $\displaystyle 1\le i\le n-1$에 대하여 $\displaystyle \ln B_i=i$이다. 따라서 $\displaystyle B_i=e^i$이고 $\displaystyle 1,\ B_1,\ B_2,\ \ldots,\ B_{n-1}$는 등비수열이므로, $\displaystyle B$는 공비가 $\displaystyle e$인 등비수열의 합으로 $\displaystyle B=1+e+e^2+\cdots+e^{n-1}=\frac{e^n-1}{e-1}$이다.

$\displaystyle e>2$로부터 $\displaystyle B<\frac{e^n}{e-1}<e^n$가 성립한다. 따라서 $\displaystyle y=\ln x$는 $\displaystyle x>0$에서 증가하므로 $\displaystyle \ln B<n$이다.

[문제 1-2](1) 색칠되지 않은 칸에 적힌 수 $\displaystyle A$는 색칠된 칸에 적힌 수의 평균이므로$\displaystyle A=\frac{1}{n+1}\left\{1+\sum_{i=1}^n(4i^3+4i+10^4)\right\}=\frac{1}{n+1}\{1+n^2(n+1)^2+2n(n+1)+10^4n\}$$\displaystyle A\le10^4$이어야 하므로,$\displaystyle \frac{1}{n+1}\{1+n^2(n+1)^2+2n(n+1)+10^4n\}\le10^4$이고, 양변에 $\displaystyle n+1$을 곱하여 정리하면 $\displaystyle 1+n^2(n+1)^2+2n(n+1)\le10^4$이다. $\displaystyle t=n(n+1)$로 치환하면, $\displaystyle 1+t^2+2t\le10^4$이 되어, $\displaystyle (t+1)^2\le10^4$이다. 즉 $\displaystyle t\le99$이므로, $\displaystyle n^2+n\le99$이다. 이를 만족하는 가장 큰 양의 정수 $\displaystyle n$은 9이다.

(2) $\displaystyle A$가 적혀 있는 칸부터 2020이 적혀 있는 칸을 보면, [문제 1-1]의 풀이와 같은 이유로, 수열 $\displaystyle A,\ x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_{2019},\ 2020$은 등차수열이 된다. 이 수열의 공차를 $\displaystyle d$라 한다면,$\displaystyle x_1=A+d,\quad x_2=A+2d,\quad2020=A+2020d$이다. 즉, $\displaystyle A=2020-2020d$이고, $\displaystyle x_2=A+2d=2020-1018d$가 된다. 또한 제시문 (나)에서처럼 $\displaystyle A$는 세 수 $\displaystyle x_2,\ 2020,\ -1$의 평균이므로Correction. $\displaystyle 2020-2020d+2d=2020-2018d$이므로 원문의 $\displaystyle 2020-1018d$는 오기이다. 다음 식에는 $\displaystyle 2018d$로 계산되어 있다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle 2020-2020d=\frac{2020-2018d+2020+(-1)}{3}$

가 성립한다. 이를 풀면 $\displaystyle 2021=4042d$, 즉 $\displaystyle d=\frac{1}{2}$이고, $\displaystyle A=1010$이다.