의학계 1번

[문제 1-1](1) 아주가 $\displaystyle D$를 지나지 않으므로 점 $\displaystyle A$와 연결된 선들만 고려하면 된다. 따라서 홀수 번째의 시행에서 뽑는 공과 짝수 번째 시행 때 뽑는 공의 색은 같아야 한다. 그리고 짝수 번째에만 $\displaystyle A$의 위치에 있을 수 있다. 따라서 $\displaystyle n$이 홀수 인 경우, $\displaystyle p_n=0$이다.한편 $\displaystyle n$이 짝수일 때, $\displaystyle n=2m$라 두자. 홀수 번째 흰 공을 뽑는 경우가 모두 $\displaystyle k$번 있다고 하면 $\displaystyle p_{2m}=\sum_{k=0}^m{}_{m}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{4}{25}\right)^k\left(\frac{9}{25}\right)^{m-k}$이다.따라서 이항정리에 의하여 $\displaystyle p_{2m}=\left(\frac{4}{25}+\frac{9}{25}\right)^m=\left(\frac{13}{25}\right)^m$이다.

(2) $\displaystyle 2n$회의 시행 후, $\displaystyle D$를 지나지 않았고 홀수 번째 흰 공을 뽑는 경우가 $\displaystyle k$번 있다고 하자. 그럼 그때 받는 보상이 정확히 $\displaystyle X=2^k$가 된다. 각 경우의 확률은 $\displaystyle \left(\frac{4}{25}\right)^k\left(\frac{9}{25}\right)^{n-k}$이며, $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}$가지의 경우가 있으므로 이러한 경우의 확률은 다음과 같다.$\displaystyle P(X=2^k)={}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{4}{25}\right)^k\left(\frac{9}{25}\right)^{n-k}$

확률변수 $\displaystyle X$는 $\displaystyle 0,\ 2^0,\ 2^1,\ \ldots,\ 2^n$의 값이 가능하므로 기댓값 $\displaystyle E(X)$는 $\displaystyle \sum_{k=0}^n2^k{}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{4}{25}\right)^k\left(\frac{9}{25}\right)^{n-k}$이다.이항정리에 의하여 $\displaystyle E(X)=\sum_{k=0}^n2^k{}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{4}{25}\right)^k\left(\frac{9}{25}\right)^{n-k}=\left(\frac{8}{25}+\frac{9}{25}\right)^n=\left(\frac{17}{25}\right)^n$이다.

한편, 같은 방법으로 $\displaystyle E(X^2)=\sum_{k=0}^n2^{2k}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{4}{25}\right)^k\left(\frac{9}{25}\right)^{n-k}=\left(\frac{16}{25}+\frac{9}{25}\right)^n=1$이므로, 분산은 $\displaystyle E(X^2)-\{E(X)\}^2=1-\left(\frac{17}{25}\right)^{2n}$이다.

[문제 1-2](1) 흰 공이나 검은 공을 뽑는 횟수를 $\displaystyle k$회라 하면, 이때의 확률은 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{5}{6}\right)^k\left(\frac{1}{6}\right)^{n-k}$이므로$\displaystyle p_n={}_{n}\mathrm{C}_{0}\left(\frac{5}{6}\right)^0\left(\frac{1}{6}\right)^n+{}_{n}\mathrm{C}_{1}\left(\frac{5}{6}\right)^1\left(\frac{1}{6}\right)^{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{5}{6}\right)^2\left(\frac{1}{6}\right)^{n-2}+{}_{n}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{5}{6}\right)^3\left(\frac{1}{6}\right)^{n-3}+{}_{n}\mathrm{C}_{4}\left(\frac{5}{6}\right)^4\left(\frac{1}{6}\right)^{n-4}$이다. 위의 식을 정리하면 $\displaystyle 6^np_n$은 최고차항의 계수가 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{4}\times5^4=\frac{625}{24}$인 $\displaystyle n$에 대한 사차다항식이 된다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{6^n}{n^4}p_n=\frac{625}{24}$이다.Correction. $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{4}5^4$는 $\displaystyle n$에 대한 다항식이고, 그 최고차항의 계수가 $\displaystyle \frac{625}{24}$이다. 원문은 다항식 자체와 계수를 등호로 이었다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2) $\displaystyle y$의 값을 구해보자. 뽑힌 흰 공의 수에 대한 제약이 없다면 수리가 정확히 5번 만에 $\displaystyle A$의 위치로 돌아오는 경우의 수는 처음에 수리가 갈 수 있는 위치는 세 가지, 두 번째, 세 번째, 네 번째는 $\displaystyle B,\ C,\ D$중에서 자기 자신이 아닌 위치는 두 가지가 되어, $\displaystyle 3\times2\times2\times2=24$가지이다. 따라서 24에서 흰 공이 정확히 3번 이상 뽑히는 경우의 수를 빼주면 된다. 서로 다른 색의 공을 1번씩 두 번 뽑는 경우, 그 공을 뽑는 순서를 달리하더라도, 최종 위치는 변하지 않는다. 흰 공이 5번 뽑히는 경우는 두 번째에 $\displaystyle A$의 위치로 돌아와야 하고, 4번 뽑히는 경우는 5번째에 $\displaystyle A$의 위치에 있을 수 없으므로 5번째에 처음으로 $\displaystyle A$의 위치로 돌아오기 위해서는 흰 공은 3번 이하 뽑혀야 한다. 따라서 $\displaystyle y$는 5번째에 처음으로 $\displaystyle A$의 위치로 돌아오는 전체 경우의 수에서 흰 공이 정확히 3번 뽑히는 경우의 수의 차이다. 흰 공이 정확히 3번 뽑히는 경우에는 반드시 검은 공이 1번, 붉은 공이 1번 뽑혀야 한다.(i) 처음에 흰 공을 뽑지 않는 경우두 번째, 세 번째는 무조건 흰 공을 뽑아야 하고 네 번째 흰 공 선택하는지 여부에 따라 한가지로 결정된다. 따라서 경우의 수는 모두 4가지이다.(ii) 처음에 흰 공이 뽑는 경우두 번째에는 흰 공이 뽑히면 안 되고, 세 번째는 무조건 흰 공이 뽑혀야 한다. 또한 네 번째 흰 공 선택하는지 여부에 따라 한 가지로 결정이 되므로 총 4가지 경우가 있다.따라서 전체 방법의 수는 $\displaystyle y=24-8=16$이다.

$\displaystyle x$의 값을 구해보자. 뽑힌 흰 공의 수에 대한 제약이 없다면, 수리가 정확히 6번 만에 $\displaystyle A$의 위치로 돌아오는 경우의 수는 $\displaystyle 3\times2\times2\times2\times2=48$가지다. 이제 흰 공이 세 번 이상 뽑히는 경우를 세어보자. 서로 다른 색의 공을 1번씩 두 번 뽑는 경우, 그 공을 뽑는 순서를 달리하더라도, 최종 위치는 변하지 않는다. 따라서, 흰 공을 정확히 4번 뽑아야 하고, 다른 2개의 공은 색이 같아야 한다.(i) 처음에 흰 공을 뽑는 경우두 번째에는 흰 공이 뽑히면 안 되고, 세 번째, 네 번째에는 무조건 흰 공이 뽑혀야 한다. 다섯 번째 흰 공 선택하는지 여부에 따라 한가지로 결정된다. 따라서 경우의 수는 모두 4가지이다.(ii) 처음에 흰 공이 아닌 공을 뽑는 경우두 번째, 세 번째, 네 번째는 무조건 흰 공을 뽑아야 하고 다섯 번째 흰 공 선택하는지 여부에 따라 한가지로 결정된다. 따라서 경우의 수는 모두 4가지이다.따라서 전체 방법의 수는 $\displaystyle x=48-8=40$이다.

(3) 5번의 시행 동안 흰 공을 뽑은 횟수를 $\displaystyle w$, 검은 공을 뽑은 횟수를 $\displaystyle b$, 붉은 공을 뽑은 횟수를 $\displaystyle r$이라 하자. 두 개의 공을 뽑는 순서가 바뀌더라도 수리가 위치하는 점은 바뀌지 않는다. 점 $\displaystyle A$의 좌표를 $\displaystyle (0,1)$, 점 $\displaystyle B$의 좌표를 $\displaystyle (0,0)$, 점 $\displaystyle C$의 좌표를 $\displaystyle (1,1)$, 점 $\displaystyle D$의 좌표를 $\displaystyle (1,0)$이라 하면, 수리의 $\displaystyle x$좌표를 바꾸는 것은 흰 공과 붉은 공, $\displaystyle y$좌표를 바꾸는 것은 검은 공과 붉은 공을 고를 때 이므로 수리가 점 $\displaystyle C$의 위치에 있기 위해서는 $\displaystyle x$좌표가 홀수 번 바뀌어야 하고 $\displaystyle y$좌표가 짝수 번 바뀌어야 한다. 따라서 수리가 5번 만에 점 $\displaystyle C$의 위치에 있기 위해서는 $\displaystyle w$는 홀수이고 $\displaystyle r,\ b$는 모두 짝수이어야 한다. 가능한 $\displaystyle (w,b,r)$조합은 여섯 가지 뿐이다. $\displaystyle (w,b,r)=(5,0,0),\ (3,2,0),\ (3,0,2),\ (1,4,0),\ (1,2,2),\ (1,0,4)$

i) $\displaystyle w=5,b=0,r=0$인 경우의 확률은 $\displaystyle \frac{2^5}{6^5}=\frac{32}{6^5}$이다.ii) $\displaystyle w=3,b=2,r=0$인 경우의 확률은 $\displaystyle \frac{5!}{3!2!}\times\frac{2^33^2}{6^5}=\frac{720}{6^5}$이다.iii) $\displaystyle w=3,b=0,r=2$인 경우의 확률은 $\displaystyle \frac{5!}{3!2!}\times\frac{2^3}{6^5}=\frac{80}{6^5}$이다.iv) $\displaystyle w=1,b=4,r=0$인 경우의 확률은 $\displaystyle \frac{5!}{4!}\times\frac{2\times3^4}{6^5}=\frac{810}{6^5}$이다.v) $\displaystyle w=1,b=2,r=2$인 경우의 확률은 $\displaystyle \frac{5!}{2!2!}\times\frac{2\times3^2}{6^5}=\frac{540}{6^5}$이다.vi) $\displaystyle w=1,b=0,r=4$인 경우의 확률은 $\displaystyle \frac{5!}{4!}\times\frac{2}{6^5}=\frac{10}{6^5}$이다.따라서, $\displaystyle p$는 위 여섯 개의 확률을 모두 더해서 얻을 수 있으므로 $\displaystyle \frac{2192}{6^5}=\frac{137}{486}$이다.

[문제 1-3]3번의 시행동안 흰 공을 두 번 뽑는 경우는 아래의 총 6가지가 있다. 흰 공을 뽑는 것을 $\displaystyle W$, 검은 공을 뽑는 것을 $\displaystyle B$, 붉은 공을 뽑는 것을 $\displaystyle R$이라 하자. 전체 3번의 시행 중 흰 공이 두 번 뽑히므로 나머지 한 경우는 붉은 공 아니면 검은 공 두 개의 경우로 나눌 수 있다.

1) 나머지 한 경우가 붉은 공일 때 :- $\displaystyle W,W,R$의 순으로 뽑을 확률은 $\displaystyle \frac{2}{6\times5\times4}=\frac{60}{6^2\times5^2\times4}$이다- $\displaystyle W,R,W$의 순으로 뽑을 확률은 $\displaystyle \frac{2}{6\times5\times5}=\frac{48}{6^2\times5^2\times4}$이다.- $\displaystyle R,W,W$의 순으로 뽑을 확률은 $\displaystyle \frac{2}{6\times6\times5}=\frac{40}{6^2\times5^2\times4}$이다.따라서 이 경우의 확률은 $\displaystyle \frac{148}{6^2\times5^2\times4}$이다.

2) $\displaystyle W$를 2개, $\displaystyle B$를 1개 뽑는 경우는 3가지고 있고, 뽑히는 순서에 상관없이 확률이 $\displaystyle \frac{6}{6\times5\times4}$로 같으므로 이 경우의 확률은 $\displaystyle 3\times\frac{6}{6\times5\times4}=\frac{540}{6^2\times5^2\times4}$이다. 이 중, 수리가 $\displaystyle D$의 위치에 있는 경우는 1)의 경우이므로 조건부 확률에 의해 전체 확률은 $\displaystyle \frac{148}{148+540}=\frac{148}{688}=\frac{37}{172}$이다.