자연계열 (오후) 1번

[문제 1-1](1) 4이하의 양의 정수 $\displaystyle m$에 대하여 직선 $\displaystyle \ell_m$과 원 $\displaystyle C_5$가 제1사분면에서 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle p_m$이라 하자. 이때 제시문 (가)와 같은 방법으로 $\displaystyle p_m^2+m=5$이 성립하므로 $\displaystyle p_m=\sqrt{5-m}$이다. $\displaystyle \ell_m$과 $\displaystyle C_6$이 만나는 점에 대해서는 $\displaystyle (p_m+x_m)^2+m=6$이 성립하므로 $\displaystyle x_m=\sqrt{6-m}-\sqrt{5-m}$이다. 이를 이용하면$\displaystyle x_1=\sqrt5-2,\quad x_2=2-\sqrt3,\quad x_3=\sqrt3-\sqrt2,\quad x_4=\sqrt2-1$이고, $\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=\sqrt5-1$임을 알 수 있다.

(2) $\displaystyle \alpha$가 예각인 경우 아래의 그림에서, 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}_1$과 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 하면, $\displaystyle \mathrm{P}_1(\sqrt3,1)$이므로 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$이고 $\displaystyle \mathrm{P}_2(\sqrt2,\sqrt2)$이므로 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}_2$와 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각은 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$이다. 따라서 탄젠트함수의 덧셈정리에 의하여$\displaystyle \tan\alpha=\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1-\frac{1}{\sqrt3}}{1+\frac{1}{\sqrt3}}=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}=2-\sqrt3$이다. $\displaystyle \alpha$가 둔각인 경우는 $\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{2}=\frac{7\pi}{12}$가 되고, $\displaystyle \tan\alpha=-2-\sqrt3$가 된다. 따라서 $\displaystyle \tan\alpha$는 $\displaystyle 2-\sqrt3$혹은 $\displaystyle -2-\sqrt3$이다. 또한 $\displaystyle \mathrm{P}_3(1,\sqrt3)$를 이용하면 $\displaystyle \beta=\frac{\pi}{6}$이므로 $\displaystyle \csc\beta=\csc\frac{\pi}{6}=2$이다.

(3) 직선 $\displaystyle \ell_1$이 제1사분면에서 두 원 $\displaystyle C_n,\ C_{n+1}$과 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표는 각각 $\displaystyle \sqrt{n-1}$, $\displaystyle \sqrt n$이므로 $\displaystyle y_n=\sqrt n-\sqrt{n-1}$이다. 이때$\displaystyle y_n+\frac{1}{y_n}=\sqrt n-\sqrt{n-1}+\frac{1}{\sqrt n-\sqrt{n-1}}=2\sqrt n\le20$이므로 $\displaystyle n\le100$이다. 따라서 가장 큰 양의 정수 $\displaystyle n$은 100이다.

[문제 1-2](1) 제시문 (나)에 의해 이차함수 $\displaystyle y=f(x)$는 $\displaystyle f(x)\le0$이고 $\displaystyle (0,0)$, $\displaystyle (-1,-1)$, $\displaystyle (1,-1)$을 지나야 하므로 $\displaystyle f(x)=-x^2$이다. 또한 $\displaystyle A$의 넓이는 $\displaystyle 2+2\int_0^1(-x^2)\,dx=\frac{4}{3}$이다.

직사각형 $\displaystyle R_2$의 $\displaystyle x$축과 평행한 한 변의 길이를 $\displaystyle 2b$ (단, $\displaystyle b>1$)라 하면, $\displaystyle R_2$와 $\displaystyle y=f(x)$가 만나는 두 점의 좌표는 $\displaystyle (-b,-b^2)$, $\displaystyle (b,-b^2)$이고, 제시문 (나)에 의해 영역 $\displaystyle A$와 영역 $\displaystyle B$가 합쳐진 부분의 넓이는 $\displaystyle 2b^3+2\int_0^b(-x^2)\,dx=\frac{4}{3}b^3$이다. 영역 $\displaystyle B$의 넓이는 $\displaystyle \frac{4}{3}b^3-\frac{4}{3}$이고, 영역 $\displaystyle A$와 영역 $\displaystyle B$의 넓이가 서로 같으므로 $\displaystyle \frac{4}{3}=\frac{4}{3}b^3-\frac{4}{3}$이고, $\displaystyle b=\sqrt[3]{2}$이다. 직사각형 $\displaystyle R_2$의 넓이는 $\displaystyle 4b^3=8$이다.

(2) 함수 $\displaystyle y=\cos^2x-1$에 대하여 $\displaystyle y^{\prime}=-2\cos x\sin x=-\sin2x$이고, $\displaystyle y^{\prime\prime}=-2\cos2x$이므로 $\displaystyle y^{\prime\prime}=0$의 해는 $\displaystyle -\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$의 범위에서 $\displaystyle x=\frac{\pi}{4},-\frac{\pi}{4}$이다. 따라서 변곡점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{4},-\frac{1}{2}\right)$, $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{4},-\frac{1}{2}\right)$이다. 제시문 (나)에 의해 영역 $\displaystyle A$의 넓이를 구하면 $\displaystyle \frac{\pi}{4}+2\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos^2x-1)\,dx$가 된다. $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos^2x-1)\,dx=\Biggl[\frac{\sin2x}{4}-\frac{x}{2}\Biggr]_0^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{4}-\frac{\pi}{8}$이므로 $\displaystyle \frac{\pi}{4}+2\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos^2x-1)\,dx=\frac{\pi}{4}+\left(\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}$이다.

한편, 함수 $\displaystyle y=\cos^2x-1$은 $\displaystyle x=\pm\frac{\pi}{2}$에서 함숫값 $\displaystyle -1$을 갖게 되므로 영역 $\displaystyle A$와 영역 $\displaystyle B$의 넓이의 합을 구하면$\displaystyle \pi+2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos^2x-1)\,dx=\pi+\Biggl[\frac{\sin2x}{2}-x\Biggr]_0^{\frac{\pi}{2}}=\pi-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$이다. 따라서, 영역 $\displaystyle B$의 넓이는 $\displaystyle \frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}$이다.

(3) 제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle g(a)=-2af(a)+2\int_0^af(x)\,dx$이다. 따라서 $\displaystyle g^{\prime}(a)=-2f(a)-2af^{\prime}(a)+2\frac{d}{da}\int_0^af(x)\,dx$이고, 적분과 미분의 관계에 의하여 $\displaystyle \frac{d}{da}\int_0^af(x)\,dx=f(a)$이므로, $\displaystyle g^{\prime}(a)=-2af^{\prime}(a)$가 성립한다. 따라서 $\displaystyle \lim_{a\to0}\frac{g^{\prime}(a)}{a}=-2f^{\prime}(0)$이다. 한편 $\displaystyle y=f(x)$는 $\displaystyle y$축에 대칭인 함수이므로 $\displaystyle f(-x)=f(x)$가 성립하고, 미분가능한 함수이므로 $\displaystyle f^{\prime}(0)=-f^{\prime}(0)$이다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$이고, $\displaystyle \lim_{a\to0}\frac{g^{\prime}(a)}{a}=0$이다.