자연계열 2번

[문제 2-1](1) $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle p$라 하자. 접선의 방정식을 구해보면 $\displaystyle y-(p^3+16)=3p^2(x-p)$이다. 이 접선이 원점을 지나므로, $\displaystyle p^3+16=3p^3$이고 $\displaystyle p=2$이다.

이때 $\displaystyle k=3p^2=12$이다.

이제 곡선 $\displaystyle y=x^3+16$과 직선 $\displaystyle y=17x$와의 교점을 구해보면, $\displaystyle x^3-17x+16=(x-1)(x^2+x-16)=0$이므로 $\displaystyle x=1,\ x=\frac{-1\pm\sqrt{65}}{2}$에서 해를 가진다.

두 교점 $\displaystyle \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$는 제1사분면 위의 점이므로 두 점의 좌표는 $\displaystyle 1$과 $\displaystyle \frac{-1+\sqrt{65}}{2}$이다.

따라서 $\displaystyle \mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$의 $\displaystyle x$좌표의 곱은 $\displaystyle 2\times1\times\left(\frac{-1+\sqrt{65}}{2}\right)=\sqrt{65}-1$이다.

(2) 두 직선 $\displaystyle y=(t+1)x$, $\displaystyle y=tx$가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각을 각각 $\displaystyle \alpha,\ \beta$라 하자. 이때 $\displaystyle \tan\alpha=t+1$, $\displaystyle \tan\beta=t$이다. 이때 $\displaystyle \theta_t=\alpha-\beta$이므로,$\displaystyle \tan\theta_t=\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=\frac{1}{t^2+t+1}$이고 $\displaystyle \cot\theta_t=t^2+t+1$이다. 따라서 $\displaystyle f(t)=\csc\theta_t=\sqrt{1+(t^2+t+1)^2}$이다.

따라서 $\displaystyle f(1)=\sqrt{10}$이고 $\displaystyle f^{\prime}(t)=\frac{(t^2+t+1)(2t+1)}{\sqrt{1+(t^2+t+1)^2}}$이므로,

$\displaystyle f^{\prime}(1)=\frac{9}{\sqrt{10}}=\frac{9}{10}\sqrt{10}$이다.

(3) $\displaystyle f(\theta)=\int_0^{\theta}(\sin x+\sin2x)(\cos x+\cos2x)\,dx$라 두자. 먼저 $\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle C\ge0$이다. 이때

$\displaystyle \begin{aligned}(\sin x+\sin2x)(\cos x+\cos2x)&=\sin x\cos x+\sin x\cos2x+\cos x\sin2x+\sin2x\cos2x\\&=\frac{\sin2x}{2}+\sin3x+\frac{\sin4x}{2}\end{aligned}$이므로, $\displaystyle f(\theta)$는$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\theta}\left(\frac{\sin2x}{2}+\sin3x+\frac{\sin4x}{2}\right)dx&=\Biggl[-\frac{\cos2x}{4}-\frac{\cos3x}{3}-\frac{\cos4x}{8}\Biggr]_0^{\theta}\\&=\frac{1}{4}-\frac{\cos2\theta}{4}+\frac{1}{3}-\frac{\cos3\theta}{3}+\frac{1}{8}-\frac{\cos4\theta}{8}\end{aligned}$

이다. 한편 $\displaystyle y=\cos x$의 함숫값은 항상 1이하 이므로, $\displaystyle f(\theta)\ge0$이다.

따라서 $\displaystyle C=0$일 때 $\displaystyle C+f(\theta)\ge0$을 만족한다.

따라서 가장 작은 상수 $\displaystyle C$는 0이다.

[문제 2-2](1) 직선 $\displaystyle y=tx$와 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{x}$의 제1사분면의 교점을 구하기 위해, $\displaystyle tx=\frac{1}{x}$라 두면,$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt t}$이다.즉, $\displaystyle \mathrm{P}_t$의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle x_t$라 두었으므로, $\displaystyle x_t=\frac{1}{\sqrt t}$이다.

한편, 제시문 (나)의 방법을 이용하면, $\displaystyle A(t)$는 정적분 $\displaystyle \int_{x_{t+1}}^{x_t}\frac{1}{x}\,dx$와 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_{t+1}}$를 빗변으로 하는 직각삼각형의 넓이의 합에서 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_t}$을 빗변으로 하는 직각삼각형의 넓이를 빼면 된다. 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_t}$와 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_{t+1}}$을 빗변으로 직각삼각형의 넓이가 각각$\displaystyle \frac{x_t\times\frac{1}{x_t}}{2}=\frac{1}{2},\quad\frac{x_{t+1}\times\frac{1}{x_{t+1}}}{2}=\frac{1}{2}$이므로$\displaystyle A(t)=\left(\int_{x_{t+1}}^{x_t}\frac{1}{x}\,dx+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}=\int_{x_{t+1}}^{x_t}\frac{1}{x}\,dx$이다. 즉, $\displaystyle A(t)=\int_{\frac{1}{\sqrt{t+1}}}^{\frac{1}{\sqrt t}}\frac{1}{x}\,dx=\ln\frac{1}{\sqrt t}-\ln\frac{1}{\sqrt{t+1}}=\frac{1}{2}\ln\frac{t+1}{t}$가 된다.

따라서 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}tA(t)=\frac{1}{2}\lim_{t\to\infty}\ln\left(\frac{t+1}{t}\right)^t=\frac{1}{2}\ln e=\frac{1}{2}$이다.

(2) $\displaystyle f(x)=-\ln\cos x$라 두자. 직선 $\displaystyle y=tx$와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와의 원점이 아닌 교점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle x_t$라 두면 $\displaystyle -\ln\cos x_t=tx_t$가 성립한다. 한편, 곡선의 길이 $\displaystyle s(t)=\int_0^{x_t}\sqrt{1+\{f^{\prime}(x)\}^2}\,dx$이므로

$\displaystyle f^{\prime}(t)=\tan x$와 제시문 (다)의 성질을 이용하면,Correction. 함수는 $\displaystyle f(x)=-\ln\cos x$이므로 도함수는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\tan x$이다. 원문에서는 도함수의 변수를 $\displaystyle t$로 잘못 적었다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \begin{aligned}s(t)&=\int_0^{x_t}\sqrt{1+\tan^2x}\,dx=\int_0^{x_t}\sec x\,dx=\ln(\sec x_t+\tan x_t)\\&=\ln\left(\frac{1+\sin x_t}{\cos x_t}\right)=\ln(1+\sin x_t)-\ln(\cos x_t)\end{aligned}$가 성립한다. 한편 $\displaystyle -\ln(\cos x_t)=tx_t$임을 이용하면, $\displaystyle s(t)=\ln(1+\sin x_t)+tx_t$이므로$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{s(t)}{t}=\lim_{t\to\infty}\left\{\frac{\ln(1+\sin x_t)}{t}+x_t\right\}$

$\displaystyle t\to\infty$일 때, 교점의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle x_t$는 점근선 $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$와 한없이 가까워지므로 $\displaystyle \frac{\ln(1+\sin x_t)}{t}$는 0으로 수렴한다.

따라서 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{s(t)}{t}=\lim_{t\to\infty}\left\{\frac{\ln(1+\sin x_t)}{t}+x_t\right\}=\frac{\pi}{2}$이다.