자연계열 (오후) 2번

[문제 2-1](1) 아주가 $\displaystyle D$를 지나지 않으므로 점 $\displaystyle A$와 연결된 선들만 고려하면 된다. 따라서 홀수 번째의 시행에서 뽑는 공과 짝수 번째 시행 때 뽑는 공의 색은 같아야 한다. 그리고 짝수 번째에만 $\displaystyle A$의 위치에 있을 수 있다. 따라서 $\displaystyle p=0$이다.한편, 6번의 시행에서, 홀수 번째 흰 공을 뽑는 경우가 모두 $\displaystyle k$번 있다고 하면 그 확률은 $\displaystyle \sum_{k=0}^3{}_{3}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{4}{25}\right)^k\left(\frac{9}{25}\right)^{3-k}$이다. 따라서 이항정리에 의하여 $\displaystyle q=\left(\frac{4}{25}+\frac{9}{25}\right)^3=\left(\frac{13}{25}\right)^3$이다.

(2) $\displaystyle 2n$회의 시행 후, $\displaystyle D$를 지나지 않았고 홀수 번째 흰 공을 뽑는 경우가 $\displaystyle k$번 있다고 하자. 그럼 그때 받는 보상이 정확히 $\displaystyle X=2^k$가 된다. 각 경우의 확률은 $\displaystyle \left(\frac{4}{25}\right)^k\left(\frac{9}{25}\right)^{n-k}$이며, $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}$가지의 경우가 있으므로 이러한 경우의 확률은 $\displaystyle P(X=2^k)={}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{4}{25}\right)^k\left(\frac{9}{25}\right)^{n-k}$가 된다.

확률변수 $\displaystyle X$는 $\displaystyle 0,\ 2^0,\ 2^1,\ \ldots,\ 2^n$의 값이 가능하므로 기댓값 $\displaystyle E(X)$는 $\displaystyle \sum_{k=0}^n2^k{}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{4}{25}\right)^k\left(\frac{9}{25}\right)^{n-k}$이며, 이항정리에 의하여$\displaystyle E(X)=\sum_{k=0}^n2^k{}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{4}{25}\right)^k\left(\frac{9}{25}\right)^{n-k}=\left(\frac{8}{25}+\frac{9}{25}\right)^n=\left(\frac{17}{25}\right)^n$

이다. 한편, 같은 방법으로 $\displaystyle E(X^2)=\sum_{k=0}^n2^{2k}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{4}{25}\right)^k\left(\frac{9}{25}\right)^{n-k}=\left(\frac{16}{25}+\frac{9}{25}\right)^n=1$이므로,분산은 $\displaystyle E(X^2)-\{E(X)\}^2=1-\left(\frac{17}{25}\right)^{2n}$이다.

[문제 2-2](1) 흰 공이나 검은 공을 뽑는 횟수를 $\displaystyle k$회라 하면, 이때의 확률은 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{5}{6}\right)^k\left(\frac{1}{6}\right)^{n-k}$이다.따라서$\displaystyle p_n={}_{n}\mathrm{C}_{0}\left(\frac{5}{6}\right)^0\left(\frac{1}{6}\right)^n+{}_{n}\mathrm{C}_{1}\left(\frac{5}{6}\right)^1\left(\frac{1}{6}\right)^{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{5}{6}\right)^2\left(\frac{1}{6}\right)^{n-2}+{}_{n}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{5}{6}\right)^3\left(\frac{1}{6}\right)^{n-3}+{}_{n}\mathrm{C}_{4}\left(\frac{5}{6}\right)^4\left(\frac{1}{6}\right)^{n-4}$이다. 위의 식을 정리하면 $\displaystyle 6^np_n$은 최고차항의 계수가 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{4}\times5^4=\frac{625}{24}$인 $\displaystyle n$에 대한 사차다항식이 된다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{6^np_n}{n^4}=\frac{625}{24}$이다.Correction. $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{4}5^4$는 $\displaystyle n$에 대한 다항식이고, 그 최고차항의 계수가 $\displaystyle \frac{625}{24}$이다. 원문은 다항식 자체와 계수를 등호로 이었다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2) 양의 정수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle q_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\times\frac{1}{3}$가 성립한다. 따라서 $\displaystyle q_n$은 첫째항이 $\displaystyle q_3=\frac{4}{27}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{2}{3}$인 등비수열이므로 $\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}q_n=\frac{1}{3}\sum_{n=3}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{3}\times\frac{\frac{4}{9}}{1-\frac{2}{3}}=\frac{4}{9}$이다.

(3) $\displaystyle y$의 값을 먼저 구해보자. 뽑힌 흰 공의 수에 대한 제약이 없다면, 수리가 정확히 5번 만에 $\displaystyle A$의 위치로 돌아오는 경우의 수는, 첫 번째 시행 후에 가능한 위치는 세 가지이고, 두 번째, 세 번째, 네 번째의 시행 후에 수리의 가능한 위치는 $\displaystyle B,\ C,\ D$중에서 자기 자신이 아닌 위치인 두 가지이므로, 총 $\displaystyle 3\times2\times2\times2=24$가지이다. 따라서 24에서 흰 공이 3번 이상 뽑히는 경우의 수를 빼주면 된다.공을 뽑는 순서를 달리하더라도, 최종 위치는 변하지 않는다. 흰 공이 5번 뽑히는 경우는 두 번째에 $\displaystyle A$의 위치로 돌아와야 하고, 4번 뽑히는 경우는 5번째에 $\displaystyle A$의 위치에 있을 수 없으므로 5번째에 처음으로 $\displaystyle A$의 위치로 돌아오기 위해서는 흰 공은 3번 이하 뽑혀야 한다. 따라서 $\displaystyle y$는 24에서 흰 공이 정확히 3번 뽑히는 경우의 수를 뺀 수이다. 흰 공이 정확히 3번 뽑히는 경우에는 반드시 검은 공이 1번, 붉은 공이 1번 뽑혀야 한다.(i) 처음에 흰 공을 뽑지 않는 경우두 번째, 세 번째는 무조건 흰 공을 뽑아야 하고 네 번째 흰 공 선택하는지 여부에 따라 한가지로 결정된다. 따라서 경우의 수는 모두 4가지이다.(ii) 처음에 흰 공이 뽑는 경우두 번째에는 흰 공이 뽑히면 안 되고, 세 번째는 무조건 흰 공이 뽑혀야 한다. 또한 네 번째 흰 공 선택하는지 여부에 따라 한 가지로 결정이 되므로 총 4가지 경우가 있다.따라서 전체 방법의 수는 $\displaystyle y=24-8=16$이다.

이제 $\displaystyle x$의 값을 구해보자. 뽑힌 흰 공의 수에 대한 제약이 없다면, 수리가 정확히 6번 만에 $\displaystyle A$의 위치로 돌아오는 경우의 수는 $\displaystyle 3\times2\times2\times2\times2=48$가지다.이제 흰 공이 세 번 이상 뽑히는 경우를 세어보자. 공을 뽑는 순서를 달리하더라도, 최종 위치는 변하지 않는다. 따라서 흰 공을 정확히 4번 뽑아야 하고, 다른 2개의 공은 색이 같아야 한다.(i) 처음에 흰 공을 뽑는 경우두 번째에는 흰 공이 뽑히면 안 되고 세 번째, 네 번째에는 무조건 흰 공이 뽑혀야 한다. 다섯 번째 흰 공 선택하는지 여부에 따라 한가지로 결정된다. 따라서 경우의 수는 모두 4가지이다.(ii) 처음에 흰 공이 아닌 공을 뽑는 경우두 번째, 세 번째, 네 번째는 무조건 흰 공을 뽑아야 하고 다섯 번째 흰 공 선택하는지 여부에 한가지로 결정된다. 따라서 경우의 수는 모두 4가지이다.따라서 전체 방법의 수는 $\displaystyle x=48-8=40$이다.