자연계열 1번

[문제 1-1](1) 구간 $\displaystyle (-\infty,201]$에서 직선의 기울기가 음수이고, 구간 $\displaystyle [201,\infty)$에서 기울기가 양수이다. 따라서 그래프의 개형으로부터 $\displaystyle x=201$에서 최솟값을 가짐을 알 수 있다.

따라서 $\displaystyle B(201)=\sum_{k=1}^{401}|201-k|$가 최솟값이 되며, 이를 계산하면$\displaystyle B(201)=2\sum_{k=1}^{200}k=2\cdot\frac{200\times201}{2}=200\times201=40200$이다.

(2) $\displaystyle x_k$들이 모두 다르기 때문에, 집합 $\displaystyle S$는 $\displaystyle n+1$개의 원소를 가지고 다음과 같은 형태를 가진다.$\displaystyle S=\{-n,-(n-2),\ldots,n-2,n\}$

따라서 $\displaystyle S$의 원소들의 제곱의 합은$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{i=0}^{n}(-n+2i)^2&=\sum_{i=0}^{n}(n^2-4ni+4i^2)=n^2(n+1)-4n\sum_{i=1}^{n}i+4\sum_{i=1}^{n}i^2\\&=n^2(n+1)-4n\cdot\frac{n(n+1)}{2}+4\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\&=-n^2(n+1)+\frac{2}{3}\cdot n(n+1)(2n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\end{aligned}$이고, $\displaystyle a_n$은 $\displaystyle n$에 대한 삼차식으로 최고차항이 $\displaystyle \frac{1}{3}n^3$이 되어 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^3}=\frac{1}{3}$이다.

(3) $\displaystyle x_k=1$인 $\displaystyle k$의 개수를 $\displaystyle a_1$, $\displaystyle x_k=2$인 $\displaystyle k$의 개수를 $\displaystyle a_2$, $\displaystyle x_k=3$인 $\displaystyle k$의 개수를 $\displaystyle a_3$이라 하고 다음 ①과 ②를 생각하자.

① $\displaystyle a_1,\ a_2,\ a_3$가 모두 양수인 경우:집합 $\displaystyle S=\{-a_1-a_2-a_3,-a_1-a_2+a_3,-a_1+a_2+a_3,a_1+a_2+a_3\}$이 된다.이때 $\displaystyle -a_1-a_2-a_3=-n$이고 $\displaystyle a_1+a_2+a_3=n$이므로 $\displaystyle S$의 원소의 곱이 양수가 되기 위해서는 $\displaystyle -a_1-a_2+a_3=-n+2a_3<0$이고 $\displaystyle -a_1+a_2+a_3=n-2a_1>0$이어야 한다.즉, $\displaystyle a_1$과 $\displaystyle a_3$은 모두 $\displaystyle 0$보다 크고 $\displaystyle \frac{n}{2}$보다 작은 정수이므로 $\displaystyle a_2$가 결정되고, 모든 가능한 경우의 수는 $\displaystyle \left(\frac{n}{2}-1\right)^2$이다.

② $\displaystyle a_1,\ a_2,\ a_3$ 중 어느 하나가 $\displaystyle 0$인 경우:$\displaystyle a_1,\ a_2,\ a_3$ 중 $\displaystyle 0$인 것이 $\displaystyle 2$개이면, $\displaystyle S=\{-n,n\}$이 되어 $\displaystyle S$의 원소의 곱이 항상 음수가 되어 모순이다. 따라서 정확히 하나만 $\displaystyle 0$이 되는데, $\displaystyle a_i=0$이고 $\displaystyle a_j,a_l>0$ (단, $\displaystyle j<l$)이라 두자. 그러면, $\displaystyle S=\{-a_j-a_l,-a_j+a_l,-a_j+a_l\}$이고 $\displaystyle -a_j-a_l=-n$이고 $\displaystyle a_j+a_l=n$이므로 $\displaystyle -a_j+a_l<0$가 성립해야 한다. 즉 가능한 경우는 $\displaystyle a_l$이 $\displaystyle 0$보다 크고 $\displaystyle \frac{n}{2}$보다 작은 정수인 경우로 총 경우의 수는 $\displaystyle \frac{n}{2}-1$이 된다.Correction. 집합 $\displaystyle S$의 마지막 원소는 $\displaystyle a_j+a_l$인데, 원문에는 $\displaystyle -a_j+a_l$이 두 번 적혀 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle a_i=0$인 $\displaystyle i$를 고르는 방법이 $\displaystyle 3$가지이므로, 이 경우 가능한 경우의 수는 $\displaystyle \frac{3n}{2}-3$이다.

따라서 ①과 ②의 경우를 고려하면 $\displaystyle S$의 원소의 곱이 양수가 되는 $\displaystyle n$에 대한 식은 $\displaystyle \left(\frac{n}{2}-1\right)^2+\frac{3n}{2}-3=\frac{n^2}{4}+\frac{n}{2}-2$이다.

(4) $\displaystyle |x_k|<1$로부터 $\displaystyle B(1)=n-\sum x_k$, $\displaystyle B(-1)=n+\sum x_k$이다.

$\displaystyle B(1)=n$이면 $\displaystyle x=1$이 $\displaystyle B(x)=n$의 해가 된다.

$\displaystyle B(1)\ne n$이면, $\displaystyle B(1)+B(-1)=2n$이므로 $\displaystyle B(1)<n,\ B(-1)>n$이거나 $\displaystyle B(1)>n,\ B(-1)<n$이다. 사잇값 정리에 의해 열린구간 $\displaystyle (-1,1)$에서 방정식 $\displaystyle B(x)-n=0$은 적어도 $\displaystyle 1$개의 해를 가진다. 따라서 방정식 $\displaystyle B(x)=n$은 닫힌구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 항상 해를 가진다.

[문제 1-2](1) $\displaystyle \sec0=1$, $\displaystyle \sec\frac{\pi}{3}=2$이므로 $\displaystyle C(x)=(1-\sec x)^2+(2-\sec x)^2=5-6\sec x+2\sec^2x$이다. 따라서 $\displaystyle \int C(x)\tan x\,dx=5\int\tan x\,dx-6\int\tan x\sec x\,dx+2\int\sec^2x\tan x\,dx$이다.

한편 $\displaystyle \int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C$, $\displaystyle \int\tan x\sec x\,dx=\sec x+C$,$\displaystyle \int\sec^2x\tan x\,dx=\frac{\sec^2x}{2}+C$이므로, $\displaystyle \int C(x)\tan x\,dx=-5\ln|\cos x|-6\sec x+\sec^2x+C$가 된다.

(2) $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{C(x)}{(\ln x)^2}$이 수렴하고 분모의 극한 $\displaystyle \lim_{x\to1}(\ln x)^2=0$이므로 분자의 극한도 $\displaystyle \lim_{x\to1}C(x)=0$이다.

$\displaystyle C(x)$가 연속함수이므로, $\displaystyle 0=\lim_{x\to1}C(x)=C(1)=(f(1)-f(x_1))^2+(f(1)-f(x_2))^2$이 되어 $\displaystyle f(1)=f(x_1)=f(x_2)$이고, $\displaystyle C(x)=2(f(x)-f(1))^2$이다.이를 계산하기 위해 $\displaystyle \ln x=t$로 치환하면,$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{C(x)}{(\ln x)^2}=2\cdot\lim_{x\to1}\left(\frac{f(x)-f(1)}{\ln x}\right)^2=2\cdot\lim_{t\to0}\left(\frac{f(e^t)-f(e^0)}{t}\right)^2$

이 된다. $\displaystyle g(t)=f(e^t)$라 두면, $\displaystyle g^{\prime}(t)=f^{\prime}(e^t)e^t$이며, 미분 계수의 정의로부터 $\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{g(t)-g(0)}{t-0}=g^{\prime}(0)=f^{\prime}(1)=3e^3$이다. 따라서 답은 $\displaystyle 18e^6$이다.