자연계열 (저녁) 2번

[문제 2-1](1) 검은 바둑돌이 $\displaystyle k$번째 시행에서 규칙 ㉢에 의해 버려질 확률을 구하자.$\displaystyle k=1$: 처음 시행에서 규칙 ㉢의 경우가 나와야 하므로 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3}$이다.$\displaystyle k=2$: 처음 두 시행에서 ㉡-㉢이 나와야 하므로 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$이다.$\displaystyle k=3$: 세 번의 시행동안 가능한 경우는 ㉡-㉡-㉢ 혹은 ㉠-㉡-㉢ 의 경우이므로 구하는 확률은 $\displaystyle 2\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{27}$이다.

따라서 검은 바둑돌이 $\displaystyle 3$회 시행 직후 수직선에 남아 있지 않을 확률은 $\displaystyle p=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{2}{27}=\frac{14}{27}$이고, $\displaystyle \log p=\log2+\log7-3\log3=0.30+0.84-1.41=-0.27$이다.

(2) $\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{B}\mid\mathrm{A})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{A})$와 $\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})$를 각각 구하자.$\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})$를 먼저 계산하자. 사건 $\displaystyle \mathrm{A}\cap\mathrm{B}$은 $\displaystyle 12$회 시행하는 동안 $\displaystyle 2k$번째 시행 직후 $\displaystyle (k=1,2,\ldots,6)$ 검은 바둑돌은 $\displaystyle x=1$의 위치에 있어야 한다. 처음 검은 바둑돌의 위치는 원점이므로 두 번째 시행 직후에 검은 바둑돌이 $\displaystyle x=1$의 위치에 있기 위해서는 시행된 규칙은 ㉠-㉠의 경우, ㉠-㉢의 경우, ㉡-㉠의 경우로 총 $\displaystyle 3$가지 경우가 있다. 이제 두 번의 시행을 더 했을 때 여전히 $\displaystyle x=1$의 위치에 있으려면 차례로 시행된 규칙은 아래의 $\displaystyle 5$가지 중 하나이다.㉠-㉠, ㉠-㉢, ㉡-㉠, ㉢-㉠, ㉢-㉢따라서 $\displaystyle 12$회의 시행을 마치기까지 이렇게 $\displaystyle 5$번을 시행해야 하므로, $\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})=\frac{3}{9}\times\left(\frac{5}{9}\right)^5$이다.

이제 $\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{A})$를 구하자. $\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{A})=\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}^{\mathrm{C}})+\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})$이므로, $\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}^{\mathrm{C}})$을 구하면 된다.바둑돌이 $\displaystyle 2k+1$번째 혹은 $\displaystyle 2k+2$번째에서 버려지는 확률을 구하자.$\displaystyle k=0$일 때 : 첫 번째 혹은 두 번째 시행에서 버려져야 하므로, 첫 시행에서 규칙 ㉢의 경우이거나 두 번째 시행까지 차례로 ㉡-㉢의 경우가 된다. 따라서 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$이다.$\displaystyle k>0$일 때 : $\displaystyle 2k$번째 까지는 검은 바둑돌이 남아 있어야 하므로 $\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})$를 구하는 풀이 구할 수 있으므로 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3}\times\left(\frac{5}{9}\right)^{k-1}$이고, $\displaystyle 2k+1$ 혹은 $\displaystyle 2k+2$번째에서 버려지는 경우는 규칙 ㉡-㉢이 차례대로 나오는 경우 밖에 없으므로 구하고자 하는 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3}\times\left(\frac{5}{9}\right)^{k-1}\times\frac{1}{9}=\frac{1}{27}\left(\frac{5}{9}\right)^{k-1}$이다.즉, $\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}^{\mathrm{C}})=\frac{4}{9}+\frac{1}{27}\sum_{k=1}^5\left(\frac{5}{9}\right)^{k-1}=\frac{4}{9}+\frac{1}{12}\left(1-\frac{5^5}{9^5}\right)$이다. 이제 $\displaystyle \frac{5^5}{9^5}=\alpha$라 하고, 조건부 확률을 구하면

$\displaystyle \frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})+\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}^{\mathrm{C}})}=\frac{\frac{\alpha}{3}}{\frac{\alpha}{3}+\frac{4}{9}+\frac{1}{12}(1-\alpha)}=\frac{12\alpha}{9\alpha+19}$이다.

한편, $\displaystyle 359\alpha<19$이므로, $\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{B}\mid\mathrm{A})=\frac{12\alpha}{9\alpha+19}<\frac{12\alpha}{9\alpha+359\alpha}=\frac{3}{92}$이다.

(3) 총 $\displaystyle 27$가지의 경우 중 각 $\displaystyle X$에 대하여 경우의 수를 구하면 다음과 같다.$\displaystyle X=0$인 경우 : ㉢-㉢-*, ㉢-㉡-㉢, ㉡-㉢-㉢ 으로 모두 $\displaystyle 5$가지.$\displaystyle X=2$인 경우 : ㉠-㉠-㉢, ㉢이 나오지 않는 경우로 총 $\displaystyle 1+8=9$가지.$\displaystyle X=1$인 경우 : 나머지 $\displaystyle 27$개에 대한 나머지 경우 $\displaystyle 13$가지

따라서 $\displaystyle \mathrm{E}(X)=0\times\frac{5}{27}+1\times\frac{13}{27}+2\times\frac{9}{27}=\frac{31}{27}$이다.

분산을 구해보면 $\displaystyle \mathrm{V}(X)=\mathrm{E}(X^2)-(\mathrm{E}(X))^2=\frac{49}{27}-\frac{31^2}{27^2}=\frac{7^2\times3^3-31^2}{27^2}$이다.따라서 $\displaystyle \sigma(X)=\frac{\sqrt{362}}{27}$이다.

[문제 2-2](1) 홀수가 $\displaystyle m$번 (단, $\displaystyle 2m\le n$) 나온다고 하면 흰 바둑돌의 위치는 $\displaystyle k=n-2m$이며, 홀수가 $\displaystyle n-m$번 나오면 흰 바둑돌의 위치는 $\displaystyle -k$이다. $\displaystyle \sum_{k=1}^nk^2(p_k+p_{-k})=\sum_{k=1}^nk^2p_k+\sum_{k=1}^n(-k)^2p_{-k}$이므로$\displaystyle \sum_{k=1}^nk^2(p_k+p_{-k})=\sum_{m=0}^n(n-2m)^2\frac{{}_{n}\mathrm{C}_{m}}{2^n}$

한편, $\displaystyle n$번의 시행에서 주사위의 눈의 수가 홀수가 나오는 횟수를 확률변수 $\displaystyle X$라 하면, $\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}\left(n,\frac{1}{2}\right)$를 따르므로 이항분포의 평균과 분산으로부터 $\displaystyle \mathrm{E}(X)$와 $\displaystyle \mathrm{V}(X)$를 구하면 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm{E}(X)=\frac{n}{2}=0\times{}_{n}\mathrm{C}_{0}\left(\frac{1}{2}\right)^n+1\times{}_{n}\mathrm{C}_{1}\left(\frac{1}{2}\right)^n+\cdots+n\times{}_{n}\mathrm{C}_{n}\left(\frac{1}{2}\right)^n$$\displaystyle \mathrm{V}(X)=\frac{n}{4}=\mathrm{E}(X^2)-\{\mathrm{E}(X)\}^2=0^2\times{}_{n}\mathrm{C}_{0}\left(\frac{1}{2}\right)^n+1^2\times{}_{n}\mathrm{C}_{1}\left(\frac{1}{2}\right)^n+\cdots+n^2\times{}_{n}\mathrm{C}_{n}\left(\frac{1}{2}\right)^n-\left(\frac{n}{2}\right)^2$이로부터 $\displaystyle \mathrm{E}(X^2)=\frac{n^2+n}{4}$임을 확인 할 수 있다.

$\displaystyle \text{(준식)}=n^2-4n\mathrm{E}(X)+4\mathrm{E}(X^2)=n^2-2n^2+n+n^2=n$

(2) 검은 바둑돌은 원점 혹은 $\displaystyle x=1$위에 있어야 하고 최대 $\displaystyle 3$개까지 있을 수 있다. 원점의 검은 바둑돌의 개수를 $\displaystyle a$, $\displaystyle x=1$위의 검은 바둑돌의 개수를 $\displaystyle b$라고 하면 가능한 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle a+b\le3$이 되는 음이 아닌 정수의 순서쌍이 되므로, $\displaystyle (0,0),\ (1,0),\ (0,1),\ (2,0),\ (1,1),\ (0,2),\ (3,0),\ (2,1),\ (1,2),\ (0,3)$으로 모두 $\displaystyle 10$개이다. 또한 흰 바둑돌 배치의 경우의 수는 $\displaystyle n+1$이다.

한편 검은 바둑돌이 규칙 ㉠을 따라 움직이는 사건을 $\displaystyle \mathrm{A}$라 하고 흰 바둑돌이 규칙 Ⓐ를 따라 움직이는 사건을 $\displaystyle \mathrm{B}$라 하면, $\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{1}{3}$, $\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{1}{2}$, $\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})=\frac{1}{6}$이므로 두 사건은 독립이다. 비슷하게 하면, 검은 바둑돌의 규칙 중 ㉠, ㉡, ㉢ 하나가 일어나는 사건과 흰 바둑돌의 규칙 중 Ⓐ와 Ⓑ가 일어나는 사건은 독립이다. 따라서 검은 바둑돌과 흰 바둑돌의 움직임은 서로 독립적이므로 전체 경우의 수는 $\displaystyle 10(n+1)$가지이다.

(3) 먼저 흰 바둑돌의 위치는 주사위의 눈의 순서에 상관없이 그 횟수에 의해서만 결정되므로 조건 ①에 의해 $\displaystyle 12$회 시행 직후에 흰 바둑돌은 원점에 있고 조건 ②에 의하여 $\displaystyle x_{13}$은 $\displaystyle 2,\ 4,\ 6$중에 하나가 되어야 한다.

(i) ㉡-㉡-㉡-㉠-㉠-㉠-㉠-㉢-㉢-㉢-㉢-㉡검은 바둑돌 $\displaystyle 1$개가 $\displaystyle 12$회 시행 직후에 원점의 위치에 있으므로, ㉠의 경우가 일어나는 $\displaystyle x_{13}=4$이다.

(ii) ㉡-㉡-㉡-㉡-㉠-㉠-㉠-㉠-㉢-㉢-㉢-㉢검은 바둑돌이 모두 $\displaystyle x=1$의 위치에 있으므로, ㉠, ㉢의 경우가 일어나는 $\displaystyle x_{13}=4$ 또는 $\displaystyle x_{13}=6$이다.

즉 ㉠의 자리에는 $\displaystyle 1,1,4,4$, ㉡의 자리에는 $\displaystyle 2,2,5,5$, ㉢의 자리에는 $\displaystyle 3,3,6,6$이 있어야 한다. $\displaystyle a,\ a,\ b,\ b$를 일렬로 나열하는 순열의 개수는 $\displaystyle 6$이므로, 구하고자 하는 답은 $\displaystyle 3\cdot6^3=648$이다.