자연계열 2번

[문제 2-1](1) $\displaystyle k$가지 색을 사용해서 삼색기를 칠하는 방법의 수는 깃발의 이웃하는 영역을 서로 다른 색을 칠하는 경우의 수이다. 이는 곱의 법칙에 의해 $\displaystyle r(k)=k(k-1)(k-1)$이 된다.

$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=2}^{n}r(k)&=\sum_{k=2}^{n}k(k-1)(k-1)=\sum_{\ell=1}^{n-1}(\ell+1)\ell^2=\sum_{\ell=1}^{n-1}\ell^3+\sum_{\ell=1}^{n-1}\ell^2\\&=\left(\frac{(n-1)n}{2}\right)^2+\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\\&=\frac{1}{12}(n-1)n(n+1)(3n-2)\end{aligned}$

(2) $\displaystyle 5$가지 색으로 만드는 삼색기의 총 경우의 수 $\displaystyle r(5)=5\times4^2=80$이므로 이 중 두 개의 깃발을 뽑는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{80}\mathrm{C}_2=40\times79=3160$이다.각 삼색기를 색칠하기 위해서는 두 개 혹은 세 개의 색을 사용해야 한다. 골라진 두 깃발 모두가 세 개의 색을 사용하고 서로 중복되는 색이 사용되지 않았다면 최소 여섯 개의 색이 필요하다. 따라서 주어진 조건을 만족하기 위해서는 두 깃발 모두 두 개의 색을 사용하거나(①), 한 깃발은 세 개의 색, 다른 깃발은 두 개의 색을 사용(②)하여야 한다.

① 두 깃발 모두 두 개의 색을 쓰는 경우 : $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_2\times2\times{}_{3}\mathrm{C}_2\times2\times\frac{1}{2}=60$

② 한 깃발은 세 개의 색, 다른 깃발은 두 개의 색을 쓰는 경우 : $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_3\times3!\times{}_{2}\mathrm{C}_2\times2=120$

①과 ②에 따라서 원하는 확률은 $\displaystyle \frac{60+120}{3160}=\frac{9}{158}$

먼저 ②영역과 ④영역의 색이 같은 경우를 생각하면 ①과 ②의 색 선택은 모두 $\displaystyle 3\times2$가지 경우가 있고, ③과 ⑤의 색이 같은 경우(4가지)와 다른 경우(2가지)를 고려하면, 경우의 수는 곱의 법칙에 의해 $\displaystyle 6\times(4+2)=36$가지이다. 비슷하게 ②영역과 ④영역의 색이 다른 경우를 생각하면 $\displaystyle 6\times(2+1)=18$가지이다. 따라서 $\displaystyle A$를 칠하는 경우의 수를 $\displaystyle a$라 하면, $\displaystyle a=36+18=54$이다.

③, ⑥ 부분에 칠할 수 있는 경우의 수는 모두 $\displaystyle 6$가지이므로 ③, ⑥의 색이 정해져 있다면 표시된 부분을 색칠할 수 있는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{a}{6}$가지. 따라서 $\displaystyle B$를 색칠하는 경우의 수는 먼저 처음 세 줄을 색칠하고($\displaystyle a$가지) 뒤의 두 줄을 색칠하는($\displaystyle \frac{a}{6}$가지)를 색칠하는 경우와 같으므로 곱의 법칙에 의해 $\displaystyle a\times\frac{a}{6}=486$이다.

[문제 2-2]$\displaystyle k$번째 직사각형 안에 검은색으로 칠해지는 부분의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{k}\times\frac{1}{k+1}$이다. 따라서 $\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=1$로 수렴한다.

또한 이 깃발 전체의 넓이는 $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$이고,$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{9}+\cdots\right.\\&>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots=1+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}n=\infty\end{aligned}$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\infty$이다. $\displaystyle S_n=a_n+b_n$이고, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=1$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty$이다.

한편, $\displaystyle -\frac{1}{n+1}=h$라 놓으면 $\displaystyle n\to\infty$일 때, $\displaystyle h\to0$이므로,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(b_n)^{2n+2}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{2(n+1)}=\lim_{h\to0}(1+h)^{\frac{1}{h}\times(-2)}=e^{-2}=\frac{1}{e^2}$이므로 수렴한다.

[문제 2-3](1) $\displaystyle |a|\le\frac{1}{2}$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle -1\le x\le1$ 범위에서 $\displaystyle -1\le f(x)\le1$을 만족하므로 정사각형 내부에 그려진다. 또한 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle y$축에 대한 대칭이다. 따라서 $\displaystyle \int_0^1\left(\frac{1}{2}\cos^3\left(\frac{\pi}{2}x\right)+a\right)dx=0$을 만족하는 $\displaystyle a$를 구하면 충분하다.

한편, $\displaystyle \cos^3\left(\frac{\pi}{2}x\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)-\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\sin^2\left(\frac{\pi}{2}x\right)$이므로$\displaystyle \int\cos^3\left(\frac{\pi}{2}x\right)dx=\frac{2}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)-\frac{2}{3\pi}\sin^3\left(\frac{\pi}{2}x\right)+C$ (단, $\displaystyle C$는 적분 상수)

이고, 이를 이용하면 $\displaystyle \int_0^1\left(\frac{1}{2}\cos^3\left(\frac{\pi}{2}x\right)+a\right)dx=\frac{1}{\pi}-\frac{1}{3\pi}+a=0$이다. 따라서 $\displaystyle a=-\frac{2}{3\pi}$이다.

(2) $\displaystyle f(x)=2-bx^2$는 $\displaystyle y$축에 대한 대칭인 함수이고 $\displaystyle b>3$이므로 아래 그림과 같은 개형을 가지고 있다.$\displaystyle f(x)$가 균형 잡힌 깃발을 만들기 위해서는 아래 그림의 색칠된 넓이가 $\displaystyle 1$이 되어야 한다.

$\displaystyle f(x)=2-bx^2$과 정사각형의 윗변과 아랫변이 만나는 점을 $\displaystyle x>0$범위에서 구해보면 각각 점 $\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt b},1\right)$, 점 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt3}{\sqrt b},-1\right)$이다. 따라서 위 부분의 넓이는

$\displaystyle 1=\frac{2}{\sqrt b}+\int_{\frac{1}{\sqrt b}}^{\frac{\sqrt3}{\sqrt b}}(2-bx^2+1)\,dx$

이므로 이를 계산하면 $\displaystyle \sqrt b=2\sqrt3-\frac{2}{3}$을 얻을 수 있다.