자연계열 (오후) 1번

[문제 1-1](1) 두 함수 $\displaystyle f(x)=x^2-3x-6$과 $\displaystyle g(x)=x^3-4x+c$가 $\displaystyle x=a$에서 부드럽게 만나므로 $\displaystyle f(a)=g(a)$이고 $\displaystyle f^{\prime}(a)=g^{\prime}(a)$이다. 즉, $\displaystyle a^2-3a-6=a^3-4a+c$이고 $\displaystyle 2a-3=3a^2-4$이다.이를 풀면 $\displaystyle 2a-3=3a^2-4$로부터, $\displaystyle 3a^2-2a-1=(3a+1)(a-1)=0$이 되고 $\displaystyle a$는 정수가 아니므로 $\displaystyle a=-\frac{1}{3}$이다.

이제 $\displaystyle a^2-3a-6=a^3-4a+c$에 $\displaystyle a=-\frac{1}{3}$을 대입하면 $\displaystyle \frac{1}{9}+1-6=-\frac{1}{27}+\frac{4}{3}+c$이므로 $\displaystyle 27c=-167$이다.

(2) $\displaystyle f(x)=x^4-2x^2-2x$과 $\displaystyle g(x)=\frac{3}{2}x^2-5x+\frac{1}{2}$이 $\displaystyle x=a$에서 부드럽게 만나므로 $\displaystyle f(a)=g(a)$이고 $\displaystyle f^{\prime}(a)=g^{\prime}(a)$이다. 즉, $\displaystyle a^4-2a^2-2a=\frac{3}{2}a^2-5a+\frac{1}{2}$이고 $\displaystyle 4a^3-4a-2=3a-5$이다.이를 풀면 $\displaystyle 4a^3-4a-2=3a-5$로부터, $\displaystyle 4a^3-7a+3=(a-1)(2a-1)(2a+3)=0$이다. 따라서 가능한 $\displaystyle a$의 값은 $\displaystyle 1,\ \frac{1}{2},\ -\frac{3}{2}$이다. 이 중 $\displaystyle a^4-2a^2-2a=\frac{3}{2}a^2-5a+\frac{1}{2}$을 만족하는 것을 찾으면 $\displaystyle a=1$이다. 따라서 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle f(x)$에서 $\displaystyle g(x)$로 $\displaystyle x=1$에서 갈아타는 함수이고, 주어진 식을 계산하면 아래와 같다.

$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^2h(x)\,dx&=\int_0^1f(x)\,dx+\int_1^2g(x)\,dx=\Biggl[\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}-x^2\Biggr]_0^1+\Biggl[\frac{x^3}{2}-\frac{5x^2}{2}+\frac{x}{2}\Biggr]_1^2\\&=\left(\frac{1}{5}-\frac{2}{3}-1\right)+\left(4-10+1-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\right)=-\frac{149}{30}\end{aligned}$

[문제 1-2](1) 양의 정수 $\displaystyle n$에 대해, $\displaystyle y=2^x$와 $\displaystyle x=n$에서 부드럽게 만나는 직선의 방정식은 $\displaystyle x=n$에서의 접선이다. $\displaystyle f^{\prime}(n)=2^n\ln2$이고 점 $\displaystyle (n,2^n)$을 지나므로 접선의 방정식은 $\displaystyle y-2^n=2^n\ln2(x-n)$가 되어 $\displaystyle a_n=\ln2\left(e^{n\ln2}\right)=2^n\ln2$이고,

$\displaystyle b_n=2^n-n2^n\ln2$이다.

따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{100}\frac{b_n}{a_n}=\sum_{n=1}^{100}\left(\frac{1}{\ln2}-n\right)=\frac{100}{\ln2}-5050$이다.

(2) $\displaystyle g(x)=px^2+qx+r$이라 하자. $\displaystyle g(0)=f(0)$로부터 $\displaystyle r=1$이고 $\displaystyle g^{\prime}(0)=f^{\prime}(0)$로부터 $\displaystyle q=1$이다. $\displaystyle g(2)=f(2)$로부터 $\displaystyle p=\frac{e^2-3}{4}$이므로 $\displaystyle g(x)=\frac{e^2-3}{4}x^2+x+1$이다.

함수 $\displaystyle f(x)$위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle f^{\prime}(2)=e^2$이고, 함수 $\displaystyle g(x)$위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle g^{\prime}(2)=e^2-2$이고,

$\displaystyle \theta$는 예각이므로 삼각함수의 덧셈정리에 의하여$\displaystyle \tan\theta=\frac{e^2-(e^2-2)}{1+e^2(e^2-2)}=\frac{2}{(e^2-1)^2}$이다.

[문제 1-3](1) $\displaystyle f(x)=-x^4-2x^2+b$와 $\displaystyle g(x)=-\frac{4}{3}x^3-4x+c$가 $\displaystyle x=a$에서 부드럽게 만나므로 $\displaystyle f(a)=g(a)$이고 $\displaystyle f^{\prime}(a)=g^{\prime}(a)$이다. 즉, $\displaystyle -4a^3-4a=-4a^2-4$로부터, $\displaystyle 4(a^2+1)(a-1)=0$이므로 $\displaystyle a=1$이다.

한편, $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x\ge1$에서 감소하므로 $\displaystyle h(x)$의 최댓값은 구간 $\displaystyle (-\infty,1]$에서 $\displaystyle f(x)$의 최댓값과 같고, 따라서 $\displaystyle f(x)$의 극댓값 혹은 $\displaystyle f(1)$에서 최댓값을 가진다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=-4(x^2+1)x=0$의 실수해는 $\displaystyle x=0$이므로 $\displaystyle f(0)$와 $\displaystyle f(1)$의 값을 비교하면 $\displaystyle f(0)=b$이고 $\displaystyle f(1)=b-6$이므로 $\displaystyle b$ 최댓값이다. 즉, $\displaystyle b=20$이다. Correction. $\displaystyle f(1)=-1-2+b=b-3$이므로, 원문의 $\displaystyle b-6$은 $\displaystyle b-3$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle f(1)=g(1)$로부터, $\displaystyle -3+b=-\frac{16}{3}+c$이고 $\displaystyle c=17+\frac{16}{3}$이다. 따라서 $\displaystyle 3(a+b+c)=3\left(1+20+17+\frac{16}{3}\right)=130$이다.

(2) 함수 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 부드럽게 만나므로, $\displaystyle f(a)=g(a)$이고 $\displaystyle a\ne\frac{\pi}{2}$이며, $\displaystyle f^{\prime}(a)=g^{\prime}(a)$이다.$\displaystyle f(a)=g(a)$로부터, $\displaystyle d=-\sin2a-\left|a-\frac{\pi}{2}\right|$가 된다. $\displaystyle f(x)$에서 $\displaystyle g(x)$로 $\displaystyle x=a$에서 갈아타는 함수의 최댓값 $\displaystyle M$은 $\displaystyle d+1$ 혹은 $\displaystyle 0$이다. 따라서 $\displaystyle 1+d>0$인 $\displaystyle d$의 존재여부와 존재하는 경우 그 최댓값을 살펴보면 된다.

$\displaystyle \left|a-\frac{\pi}{2}\right|\ge2$이면 $\displaystyle 1+d=1-\sin2a-\left|a-\frac{\pi}{2}\right|\le0$이므로 $\displaystyle \left|a-\frac{\pi}{2}\right|<2$이라 가정하자. 먼저 $\displaystyle a\le\frac{\pi}{2}$라 하자. $\displaystyle f^{\prime}(a)=g^{\prime}(a)$로부터 $\displaystyle 2\cos2a=1$이므로 $\displaystyle a=\frac{\pi}{6}+k\pi$ 혹은 $\displaystyle a=\frac{5\pi}{6}+k\pi$ (단, $\displaystyle k$는 정수)꼴이고 이 중 범위를 만족하는 $\displaystyle a$는 $\displaystyle \frac{\pi}{6}$뿐이다. 이때 $\displaystyle d+1=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\left|\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\right|+1=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{3}+1<0$이다.

$\displaystyle a>\frac{\pi}{2}$인 경우를 살펴보자. $\displaystyle f^{\prime}(a)=g^{\prime}(a)$로부터 $\displaystyle 2\cos2a=-1$이므로 $\displaystyle a=\frac{\pi}{3}+k\pi$ 혹은 $\displaystyle a=\frac{2\pi}{3}+k\pi$ (단, $\displaystyle k$는 정수)꼴이고 이 중 범위를 만족하는 $\displaystyle a$는 $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$뿐이다. 따라서 $\displaystyle d+1=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6}+1>0$이다.따라서 $\displaystyle M$이 최대가 되는 경우는 $\displaystyle a=\frac{2\pi}{3}$이고 $\displaystyle d=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6}$일 때이다.