자연계열 (저녁) 1번

[문제 1-1](1) $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=kx$가 세 점에서 만나려면 아래 그림과 같이, $\displaystyle y=kx$가 $\displaystyle (1,1)$을 지나거나 $\displaystyle y=kx$가 $\displaystyle y=f(x)$와 접해야 한다. $\displaystyle y=kx$가 $\displaystyle (1,1)$을 지나는 경우 $\displaystyle k=1$이다.

$\displaystyle y=kx$와 $\displaystyle y=f(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 접하는 경우를 생각하면, $\displaystyle 1\le a\le3$가 되고, $\displaystyle f(x)=2-(x-2)^2$가 되므로 $\displaystyle f^{\prime}(a)=-2(a-2)$이다. 따라서 $\displaystyle k=-2(a-2)$가 되어 접점의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle -2a(a-2)$이다. 한편 접점의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle f(a)$이므로, $\displaystyle -2a(a-2)=2-(a-2)^2$가 성립한다. 이를 정리하면, $\displaystyle a^2=2$이고 $\displaystyle 1\le a\le3$이므로 $\displaystyle a=\sqrt2$이다. 따라서 $\displaystyle k=-2(\sqrt2-2)=4-2\sqrt2$이다. 따라서 가능한 $\displaystyle k$는 $\displaystyle k=1,4-2\sqrt2$이다.

(2) $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-6x+2$이고 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=6x-6$이므로, 변곡점의 좌표는 $\displaystyle (1,-4)$이다. 따라서 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x^3-3x^2+2x-4=-4$의 세 근 $\displaystyle x=0,1,2$에서 극솟값을 가진다. 또한, $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-6x+2=0$의 두 근 $\displaystyle x=\frac{3\pm\sqrt3}{3}$에서 극댓값을 가지므로, $\displaystyle p=1\pm\frac{\sqrt3}{3}$, $\displaystyle q=0,1,2$이다.

(3) 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 삼차함수 $\displaystyle y=f(x)$를 $\displaystyle y=1$에서 접어 올렸더니 미분가능한 함수의 그래프가 되었으므로, $\displaystyle f(a)=1$인 모든 $\displaystyle a$에 대하여, $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$이어야 한다. 그런데 $\displaystyle x=a$에서 함수가 극댓값을 가지거나 극솟값을 가지면, 삼차함수 그래프의 개형으로부터 $\displaystyle g(x)$가 미분 불가능한 점이 항상 존재한다. 따라서 $\displaystyle x=a$에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 변곡점을 가지므로 $\displaystyle f(x)=(x-a)^3+1$이다.교점을 구하기 위해서 $\displaystyle x$축 방향으로 $\displaystyle -a$만큼 평행이동 시켜 생각하면 $\displaystyle a=0$일 때만 구하면 충분하다. $\displaystyle g(x)=|x^3|+1$과 $\displaystyle h(x)=|3x^2-1|+1$은 둘 다 $\displaystyle y$축 대칭이므로, $\displaystyle x>0$일 때의 교점의 개수를 구하면 된다.

① $\displaystyle x<\frac{1}{\sqrt3}$일 때: $\displaystyle g(x)$는 증가하고 $\displaystyle h(x)$는 감소한다. $\displaystyle g(0)-h(0)<0$이고 $\displaystyle g\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)-h\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)>0$이므로 $\displaystyle g(x)-h(x)=0$이 되는 점이 하나 존재하므로, $\displaystyle g(x)$와 $\displaystyle h(x)$는 한 점에서 만난다.

② $\displaystyle x>\frac{1}{\sqrt3}$일 때: $\displaystyle g\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)-h\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)>0,\ g(1)-h(1)<0,\ g(3)-h(3)>0$이므로, 사잇값 정리에 의해 한 근은 구간 $\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt3},1\right)$에, 다른 근은 구간 $\displaystyle (1,3)$에 존재한다. 두 근 모두 $\displaystyle x>\frac{1}{\sqrt3}$이므로, 두 점에서 만난다. 그래프 $\displaystyle g(x)$와 $\displaystyle h(x)$의 개형으로부터, $\displaystyle x>0$인 근은 두 개 뿐이다.Comment. 여기서 두 개라고 한 것은 ②에서 다루는 $\displaystyle x>\frac{1}{\sqrt3}$ 구간의 교점이다. 전체 $\displaystyle x>0$ 구간에는 바로 다음 문장처럼 교점이 세 개 있다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서 $\displaystyle x>0$에서 교점은 세 개이고, 대칭성에 의해 모두 $\displaystyle 6$개의 교점이 있다.

(4) $\displaystyle y=a\tan^3\left(\frac{\pi x}{4}\right)$는 원점 대칭인 함수이므로 $\displaystyle y=f(x)$는 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이다. 즉, $\displaystyle \int_{-1}^1f(x)\,dx=2\int_0^1f(x)\,dx$이고, 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle \tan^3\left(\frac{\pi x}{4}\right)\ge0$이므로, $\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx=\int_0^1a\tan^3\left(\frac{\pi x}{4}\right)dx$이다.한편,$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1\tan^3\left(\frac{\pi x}{4}\right)dx&=\int_0^1\left(\sec^2\left(\frac{\pi x}{4}\right)-1\right)\tan\left(\frac{\pi x}{4}\right)dx\\&=\frac{2}{\pi}\Biggl[\tan^2\left(\frac{\pi x}{4}\right)\Biggr]_0^1+\frac{4}{\pi}\Biggl[\ln\left(\cos\left(\frac{\pi x}{4}\right)\right)\Biggr]_0^1\\&=\frac{2}{\pi}(1-\ln2)\end{aligned}$

이므로, $\displaystyle \int_{-1}^1f(x)\,dx=2a\cdot\frac{2}{\pi}(1-\ln2)=\frac{4}{\pi}$이고, $\displaystyle a=\frac{1}{1-\ln2}$이다.

[문제 1-2](1) 먼저, $\displaystyle S_0,\ S_1$의 원소의 개수가 각각 $\displaystyle 1,\ 2$이다. 또한 $\displaystyle k\ge2$에 대하여 $\displaystyle S_k$는 $\displaystyle S_{k-2}$와 $\displaystyle \{x\mid f(x)=k\}$의 합집합이고 그래프의 개형으로부터 $\displaystyle S_k$의 원소의 개수는 $\displaystyle k+1$임을 알 수 있다. $\displaystyle S_k$의 원소 $\displaystyle s$에 대하여 $\displaystyle 14-s$도 $\displaystyle S_k$의 원소이므로 원소의 합은 $\displaystyle 7k$이다. 따라서 $\displaystyle a=1+2\cdot5=11$이며, $\displaystyle b=7a=77$이다.Correction. $\displaystyle S_k$의 원소는 $\displaystyle k+1$개이고 각 원소가 $\displaystyle 7$을 중심으로 대칭이므로, 원소의 합은 $\displaystyle 7k$가 아니라 $\displaystyle 7(k+1)$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2) 먼저 $\displaystyle S_0=\left\{\frac{1}{3}\right\}$이고, $\displaystyle \ln3x=\pm1$으로부터 $\displaystyle S_1=\left\{\frac{e}{3},\frac{e^{-1}}{3}\right\}$이다. 따라서 $\displaystyle p_0=\frac{1}{3}$이고 $\displaystyle p_1=\frac{1}{9}$이다.$\displaystyle n\ge2$일 때 그래프의 개형으로부터 $\displaystyle S_n=S_{n-2}\cup\{x\mid\ln3x=\pm n\}=S_{n-2}\cup\left\{\frac{e^n}{3},\frac{e^{-n}}{3}\right\}$가 되므로 $\displaystyle p_n=p_{n-2}\times\frac{1}{9}$이다. 따라서 $\displaystyle p_n=\frac{1}{3}p_{n-1}$이 되고, 구하고자 하는 값은 첫째항이 $\displaystyle \frac{1}{3}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{1}{3}$인 등비급수와 같으므로 값은 $\displaystyle \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$이다.