자연계열 1번

[문제1-1](1) 두 번째 가로수열과 두 번째 세로수열이 등차수열이므로 $\displaystyle a+e=c+d=20$이다. 이로부터 $\displaystyle a+c+d+e=40$을 얻는다.

한편 첫 번째 세로수열은 등비수열이므로 $\displaystyle c^2=400$이고 $\displaystyle c=\pm20$이다. 만약 $\displaystyle c=20$이면, $\displaystyle d=0$이 되어 세 번째 가로수열 $\displaystyle b,d,10$이 등비수열을 이룬다는 조건에 모순이다. 따라서 $\displaystyle c=-20$일 수밖에 없고 $\displaystyle d=40$이 된다.

세 번째 가로수열이 등비수열이라는 조건을 사용하여 $\displaystyle b=160$을 얻는다. 처음 얻은 식과 종합하면 $\displaystyle a+b+c+d+e=200$이다. (3-등차등비표를 완성하면 아래와 같다.)

(2) ②에 의하여, 첫 번째 가로수열은 등차수열이 될 수 없으므로 공비가 1이 아닌 등비수열이 된다. 이 가로수열의 첫째항을 $\displaystyle a$, 공비를 $\displaystyle r$이라 하자. 조건에 따라 $\displaystyle a$는 홀수이고 $\displaystyle ar$과 $\displaystyle ar^2$은 짝수이다. ①로부터 $\displaystyle ar^2\le9$이므로, $\displaystyle a=1$, $\displaystyle r=2$이거나 $\displaystyle a=9$, $\displaystyle r=\frac{3}{2}$이어야 한다. 한편, ③에 의하여 첫 번째 세로수열은 등비수열이 될 수 없으므로 공차가 0이 아닌 등차수열이 된다. 이 세로수열의 공차를 $\displaystyle d$라 하자. $\displaystyle d$는 홀수이며 $\displaystyle a+2d\le9$이므로, $\displaystyle a=1$일 때 $\displaystyle d=1$ 또는 3이고 $\displaystyle a=9$일 때 $\displaystyle d=-1$ 또는 $\displaystyle -3$이다. 이에 따라 총 4가지 경우를 모두 고려하면 아래의 그림과 같다. 나머지 칸을 그림과 같이 $\displaystyle x,w,y,z$라 두자.Correction. $\displaystyle a=9$일 때 공비 $\displaystyle r=3/2$는 $\displaystyle r=2/3$의 오기다. 아래 표의 첫째 행도 $\displaystyle 9,6,4$이므로 공비는 $\displaystyle 2/3$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

만약 $\displaystyle z$가 짝수이면, 세 번째 가로수열인 $\displaystyle 3,y,z$ 또는 $\displaystyle 7,y,z$가 홀수로 시작하여 짝수로 끝나므로 등차수열일 수 없다. 또한 $\displaystyle z$가 9이하의 짝수라는 조건 때문에 등비수열도 될 수 없어 모순이다. 따라서 $\displaystyle z$가 홀수여야 하고, 세 번째 세로수열인 $\displaystyle 4,w,z$는 등차수열이 될 수 없다. 따라서 세 번째 세로수열은 등비수열이 되어 4, 2, 1이거나 4, 6, 9이어야만 한다. 각 경우마다 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$를 결정하는 방법이 유일하므로 총 8개이다. (8개의 등차등비표를 완성하면 아래와 같다.)

(3) $\displaystyle k$번째 가로수열의 첫째항을 $\displaystyle a_k$, 제$\displaystyle n$항을 $\displaystyle b_k$라 하자. 모든 칸에 적힌 수의 총합이 20이라는 조건으로부터 $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{n(a_k+b_k)}2=20$을 얻는다. 또한 $\displaystyle \alpha=\sum_{k=1}^n a_k$이고 $\displaystyle \beta=\sum_{k=1}^n b_k$이기 때문에, $\displaystyle n(\alpha+\beta)=40$이 된다.

한편 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$가 이차방정식 $\displaystyle x^2-5x+p=0$의 서로 다른 두 실근이므로, 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 $\displaystyle \alpha+\beta=5$이고 $\displaystyle \alpha\beta=p$이다. 따라서 $\displaystyle n=8$이다.

또한 $\displaystyle x^2-5x+p=0$가 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식에 의해 $\displaystyle 25-4p>0$, 즉 $\displaystyle p<\frac{25}4$를 얻는다.

[문제1-2](1) 첫째항이 4이고 제10항이 40인 등차수열의 공차는 4이다. 이 등차수열은 함수 $\displaystyle f(x)=\log_2x$에 의하여 변환된 수열이므로, 변환하기 이전의 표에서는 첫째항이 $\displaystyle 2^4$, 공비가 $\displaystyle 2^4$인 등비수열이 된다.

이 등비수열의 합은 $\displaystyle 2^4\times\frac{2^{40}-1}{2^4-1}=\frac{16}{15}(2^{40}-1)$이다.

(2) 함숫값 $\displaystyle f(1)$, $\displaystyle f(2)$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle f(9)$는 각각 1, 0, $\displaystyle -1$, 0, 1, 0, $\displaystyle -1$, 0, 1이므로 합성함수 $\displaystyle (g\circ f)(x)$에 의해 변환된 표는 아래와 같다.

따라서 $\displaystyle a+b+1=-b$이고 $\displaystyle a=-2b-1$이다. 이를 대입하면 첫 번째 가로수열이 $\displaystyle -b,b,-b-2$이다. 항상 $\displaystyle -b\ne-b-2$이므로 등비수열이 될 수 없다. 첫 번째 가로수열이 등차수열인 조건을 사용하면 $\displaystyle b=-\frac12$이고 $\displaystyle a=0$이므로 $\displaystyle g(x)=x^3-\frac12$이다.

이제 구간을 나누어서 $\displaystyle y=\sin\frac\pi2x$와 $\displaystyle y=x^3-\frac12$의 그래프의 교점의 개수를 구하자.