자연계열 (오후) 1번

[문제 1-1](1) $\displaystyle f(x)=ax^2(x-1)^2$(단, $\displaystyle a$는 0이 아닌 실수)라 둘 수 있다.

따라서 $\displaystyle x=\frac12$에서 $\displaystyle f(x)$가 극댓값을 가지고 $\displaystyle f\left(\frac12\right)=\frac a{2^4}=2^{10}$이므로 $\displaystyle a=2^{14}$이다.

따라서 $\displaystyle f(x)=2^{14}x^2(x-1)^2$이므로 다음이 성립한다.$\displaystyle \log f(6)=\log(2^{16}3^2 5^2)=2+14A+2B$

(2) 닫힌구간 $\displaystyle [0,p]$에서 평균값 정리에 의하면, $\displaystyle f^{\prime}(a)=\frac{f(p)-f(0)}{p-0}=\frac{2023}p$인 $\displaystyle a$가 열린구간 $\displaystyle (0,p)$에 존재한다.

닫힌구간 $\displaystyle [p,1]$에서 평균값 정리에 의하면, $\displaystyle f^{\prime}(b)=\frac{f(1)-f(p)}{1-p}=\frac{2023}{p-1}$인 $\displaystyle b$가 열린구간 $\displaystyle (p,1)$에 존재한다.

이때, $\displaystyle \int_a^bf^{\prime\prime}(x)\,dx=f^{\prime}(b)-f^{\prime}(a)$이므로 $\displaystyle \int_a^bf^{\prime\prime}(x)\,dx=\frac{2023}{p-1}-\frac{2023}p=\frac{2023}{p(p-1)}$인 두 실수 $\displaystyle a,b$가 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에 존재한다.

[문제 1-2](1) 치환적분을 이용하면 아래가 성립한다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^2s(x)\,dx&=\int_0^1g(x)\,dx+\int_1^2h(x-1)\,dx=\int_0^1g(x)\,dx+\int_0^1h(t)\,dt\quad(t=x-1\text{로 치환})\\&=\int_0^1\cos^3\left(\frac{\pi x}2\right)\sin\left(\frac{\pi x}2\right)\,dx+\int_0^1(xe^{x^2-1}-x)\,dx\end{aligned}$

각 정적분을 계산하면 아래와 같다.$\displaystyle \int_0^1\cos^3\left(\frac{\pi x}2\right)\sin\left(\frac{\pi x}2\right)\,dx=\Biggl[-\frac1{2\pi}\cos^4\left(\frac{\pi x}2\right)\Biggr]_0^1=\frac1{2\pi}$$\displaystyle \int_0^1(xe^{x^2-1}-x)\,dx=\Biggl[\frac12e^{x^2-1}-\frac{x^2}2\Biggr]_0^1=-\frac1{2e}$따라서 구하고자 하는 정적분값은 $\displaystyle \frac1{2\pi}-\frac1{2e}$이다.

(2) 합성함수의 미분법과 곱의 미분법에 의해서 $\displaystyle G^{\prime}(x)=p^{\prime}(q(x))q^{\prime}(x)+p^{\prime}(x)q(x)+p(x)q^{\prime}(x)$이고 $\displaystyle H^{\prime}(x)=q^{\prime}(r(x))r^{\prime}(x)+2r^{\prime}(x)$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}G^{\prime}(0)&=p^{\prime}(0)q^{\prime}(0)+p^{\prime}(0)q(0)+p(0)q^{\prime}(0)=ac,\\G^{\prime}(1)&=p^{\prime}(0)q^{\prime}(1)+p^{\prime}(1)q(1)+p(1)q^{\prime}(1)=ad,\\H^{\prime}(0)&=q^{\prime}(0)r^{\prime}(0)+2r^{\prime}(0)=ce+2e,\\H^{\prime}(1)&=q^{\prime}(0)r^{\prime}(1)+2r^{\prime}(1)=cf+2f\end{aligned}$이므로 $\displaystyle G(x)$는 $\displaystyle \ll ac,ad\gg$-좋은함수이고 $\displaystyle H(x)$는 $\displaystyle \ll ce+2e,cf+2f\gg$-좋은함수이다. 따라서 $\displaystyle S(x)$가 $\displaystyle \ll n,24\gg$-좋은함수이므로 $\displaystyle ac=n$, $\displaystyle ad=24=(c+2)e$를 만족해야 한다.

$\displaystyle a$는 24의 약수이고 $\displaystyle a,d$가 모두 9이하의 자연수이므로 $\displaystyle a$로 가능한 수는 3, 4, 6, 8이며 각 $\displaystyle a$마다 대응되는 $\displaystyle d$가 유일하게 결정된다. 같은 방식으로 $\displaystyle c+2$ 역시 3, 4, 6, 8만 가능하고, 마찬가지로 $\displaystyle c+2$에 대응되는 $\displaystyle e$가 유일하게 결정된다. $\displaystyle ac$가 24의 약수가 되어야 하므로 가능한 순서쌍 $\displaystyle (a,c)$는 $\displaystyle (3,1)$, $\displaystyle (3,2)$, $\displaystyle (3,4)$, $\displaystyle (4,1)$, $\displaystyle (4,2)$, $\displaystyle (4,6)$, $\displaystyle (6,1)$, $\displaystyle (6,2)$, $\displaystyle (6,4)$, $\displaystyle (8,1)$로 10가지이다.

한편, $\displaystyle b$와 $\displaystyle f$는 9이하의 모든 자연수가 가능하므로 구하는 경우의 수는 $\displaystyle 10\times9\times9=810$이다.