자연계열 (오후) 2번

[문제 2-1](1) 문제의 조건에 의해, 닫힌구간 $\displaystyle [-2,2]$에서 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 $\displaystyle x$축과 서로 다른 세 점에서 만나야 하므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 이 구간에서 극댓값과 극솟값을 모두 갖는다.따라서, $\displaystyle f^{\prime}(x)=3(x^2-a)=0$이 $\displaystyle [-2,2]$에서 두 실근을 가지므로 $\displaystyle 0<a<4$이고,

$\displaystyle f(-\sqrt a)f(\sqrt a)<0$이어야 한다. 이때, $\displaystyle f(-\sqrt a)=a(1+2\sqrt a)>0$이므로 $\displaystyle f(\sqrt a)=a(1-2\sqrt a)<0$이다. 따라서 $\displaystyle a>\frac14$이다.

또한 $\displaystyle f(-2)=-8+7a\le0$이므로 $\displaystyle a\le\frac87$이다.

따라서 실수 $\displaystyle a$의 값의 범위는 $\displaystyle \frac14<a\le\frac87$이다.

$\displaystyle a<1$이면 $\displaystyle f(2)=10-6a>4$, $\displaystyle a\ge4$이면 $\displaystyle f(-2)=6a-6>4$이므로 $\displaystyle |f(x)|$의 최댓값은 4보다 크다.

$\displaystyle 1<a<4$이면 $\displaystyle f(-\sqrt a)=2(a\sqrt a+1)>4$이다. 따라서, $\displaystyle a\ne1$일 때 $\displaystyle |f(x)|$의 최댓값은 4보다 크다.

따라서 $\displaystyle a=1$일 때 $\displaystyle |f(x)|$의 최댓값이 가장 작고, 그때의 $\displaystyle |f(x)|$의 최댓값은 4이다.

[문제 2-2](1) 문제의 조건으로부터, 이차방정식 $\displaystyle f(t)=t^2+at+b=0$의 두 실근은 모두 양수이고 $\displaystyle A^2$보다 크다.

이때, 이차방정식의 근과 계수와의 관계로부터 $\displaystyle -a>2A^2$이다.

$\displaystyle F^{\prime}(x)=2x(x^2+a)$이므로 방정식 $\displaystyle F^{\prime}(x)=0$의 실근은 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle \pm\sqrt{-\frac a2}$이다. 즉, 0이 아닌 실근의 절댓값은 $\displaystyle \sqrt{-\frac a2}$이고 이 값은 $\displaystyle A$보다 크다.Correction. $\displaystyle F^{\prime}(x)=2x(2x^2+a)$이므로 괄호 안 $\displaystyle x^2$의 계수 $\displaystyle 2$가 빠졌다. 뒤에서 구한 도함수의 영점은 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2) 이차함수 $\displaystyle f(x)=x^2-x+c$라 두자. 방정식 $\displaystyle f(x)=0$은 서로 다른 두 양의 실근을 가지므로 $\displaystyle s=-p$, $\displaystyle r=-q>0$이다. 따라서, 이차방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 서로 다른 두 실근은 $\displaystyle r^2,s^2$이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계로부터 $\displaystyle r^2+s^2=1$, $\displaystyle r^2s^2=c$를 만족한다.

한편$\displaystyle 0=\int_{-s}^s(x^4-x^2+c)\,dx=2\left(\frac15s^5-\frac13s^3+cs\right)$

이므로 $\displaystyle c=s^2(1-s^2)$를 대입하여 풀면 $\displaystyle s^2=\frac56$이므로

$\displaystyle c=\frac5{36}$이다.

(3) $\displaystyle L(x)=c(x-m)+d$라 두면 $\displaystyle G(x)=x^4-4x^3+9x-\frac{11}2=(x-m)^4+a(x-m)^2+b+c(x-m)+d$이다. 양변의 계수를 비교하면 $\displaystyle m=1$,

$\displaystyle a=-6$, $\displaystyle c=1$이고 $\displaystyle b+d=\frac12$이다. 따라서$\displaystyle G(x)=(x-1)^4-6(x-1)^2+(x-1)+\frac12=F(x-1)+L(x)$이므로 구하는 $\displaystyle F(x)$와 $\displaystyle L(x)$는 모든 실수 $\displaystyle b$에 대하여$\displaystyle F(x)=x^4-6x^2+b$, $\displaystyle L(x)=(x-1)+\frac12-b=x-\frac12-b$이다.

한편, 방정식 $\displaystyle G(x)-L(x)=0$이 서로 다른 네 실근을 가지면 방정식 $\displaystyle F(x)=0$도 서로 다른 네 실근을 갖는다. 조건으로부터 방정식 $\displaystyle F(x)=0$의 가장 큰 실근은 $\displaystyle t-m=t-1>0$이다. ③으로부터$\displaystyle 0=\int_1^tF(x-1)\,dx=\int_0^{t-1}F(x)\,dx=\int_0^{t-1}(x^4-6x^2+b)\,dx=\frac{(t-1)^5}5-2(t-1)^3+b(t-1)$이고 $\displaystyle 0=F(t-1)=(t-1)^4-6(t-1)^2+b$이다. 이 두 방정식을 연립하며 풀면 $\displaystyle t=1+\sqrt5$이고 $\displaystyle b=5$이므로

구하는 일차함수는 $\displaystyle L(x)=x-\frac{11}2$이다.