의학계 1번

[문제 1-1](1) $\displaystyle a=\overline{\mathrm{PM}}$, $\displaystyle b=\overline{\mathrm{MN}}$, $\displaystyle c=\overline{\mathrm{NR}}$이라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=2a$, $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}=2c$이고, 삼각형 중점연결정리에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}=2b$이다. 한편 $\displaystyle b<a+c$이므로, $\displaystyle 2(a^2+c^2)-b^2>2(a^2+c^2)-(a+c)^2=(a-c)^2$이다. 따라서 $\displaystyle 2(a^2+c^2)>b^2$이고

$\displaystyle (\overline{\mathrm{PQ}}^2+\overline{\mathrm{QR}}^2)-(\overline{\mathrm{PM}}^2+\overline{\mathrm{MN}}^2+\overline{\mathrm{NR}}^2)=(4a^2+4c^2)-(a^2+b^2+c^2)=3a^2+3c^2-b^2>a^2+c^2\ge0$이다. 그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}^2+\overline{\mathrm{QR}}^2>\overline{\mathrm{PM}}^2+\overline{\mathrm{MN}}^2+\overline{\mathrm{NR}}^2$이다.

(2) 10이하의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle n-1$번째 시행에서 새로 생긴 선분(단, $\displaystyle n=1$이면 $\displaystyle x$축)과 $\displaystyle n$번째 시행에서 새로 생긴 선분, $\displaystyle y$축으로 둘러싸인 삼각형을 $\displaystyle T_n$이라 하고, $\displaystyle T_n$의 넓이를 $\displaystyle t_n$이라 하자. 삼각형 $\displaystyle T_1$의 세 점은 $\displaystyle \mathrm{P}_1\left(0,\frac12\right)$, O, $\displaystyle \mathrm{R}_1\left(\frac12,0\right)$이므로 $\displaystyle t_1=\frac18$이다. $\displaystyle n\ge2$일 때, $\displaystyle n$번째 새로 생긴 선분의 양 끝점 중 $\displaystyle y$축 위에 있는 것을 $\displaystyle \mathrm{P}_n$, 다른 점을 $\displaystyle \mathrm{R}_n$이라 두면, $\displaystyle t_n=\frac12\times\overline{\mathrm{P}_n\mathrm{P}_{n-1}}\times(\mathrm{R}_n\text{의 }x\text{좌표})$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}_n$은 $\displaystyle \mathrm{P}_{n-1}$과 점 $\displaystyle (0,1)$의 중점이고 $\displaystyle \mathrm{R}_n$은 $\displaystyle \mathrm{P}_{n-1}$과 $\displaystyle \mathrm{R}_{n-1}$의 중점이므로 밑변과 높이는 절반씩 줄어든다. 따라서 $\displaystyle t_n=\frac14t_{n-1}$이므로 $\displaystyle \{t_n\}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac18$이고 공비가 $\displaystyle \frac14$인 등비수열이다.

이 등비수열의 합은$\displaystyle \sum_{n=1}^{10}t_n=\frac{\frac18\left(1-\frac1{4^{10}}\right)}{1-\frac14}=\frac{2^{20}-1}{3\cdot2^{21}}$

이므로 구하고자 하는 영역의 넓이는 $\displaystyle \frac12-\frac{2^{20}-1}{3\cdot2^{21}}=\frac{2^{21}+1}{3\cdot2^{21}}$이다.

(3) $\displaystyle n$회 반복하여 얻은 도형에서 $\displaystyle n$번째 시행에서 새로 생긴 선분의 기울기를 $\displaystyle p_n$이라 하자. $\displaystyle n=1$일 때 새로 생긴 직선의 기울기는 선분의 좌표로부터 $\displaystyle p_1=-1$이다.

도형의 일부를 그린 아래의 그림과 같이 $\displaystyle n$번째 시행에서 새로 생긴 선분을 빗변으로 직각삼각형의 밑변의 길이를 $\displaystyle a$, 높이를 $\displaystyle b$라 하면, $\displaystyle p_n=-\frac ba$이다. 따라서 $\displaystyle p_{n+1}$에 대하여 다음이 성립한다.$\displaystyle p_{n+1}=-\frac{a+b}a=-1-\frac ba=-1+p_n$

즉 $\displaystyle p_n$은 첫째항이 $\displaystyle -1$, 공차가 $\displaystyle -1$인 등차수열이므로 $\displaystyle p_n=-n$이다.

[문제1-2](1) $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac6{25}(x^2+ax+b)$라 하자. $\displaystyle f^{\prime}(0)=f^{\prime}(7)$이므로 $\displaystyle a=-7$이고, 이를 적분하고 $\displaystyle f(0)=0$으로부터 $\displaystyle f(x)=\frac2{25}x^3-\frac{21}{25}x^2+\frac{6b}{25}x$이다. $\displaystyle f(5)=1$이므로, $\displaystyle b=10$이고, 따라서 $\displaystyle f(x)=\frac2{25}x^3-\frac{21}{25}x^2+\frac{12}5x$이다. 한편 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac6{25}(x-2)(x-5)$이므로 $\displaystyle x=2$, $\displaystyle x=5$에서 극값을 가진다.

선분 PQ의 중점 M에 대하여 $\displaystyle f(2)=\frac{52}{25}$이므로 M의 좌표는 $\displaystyle (1,1)$이다. 선분 QR의 중점을 N이라 하자. 점 M과 N을 지나는 직선 $\displaystyle \ell$이 $\displaystyle y=|f(x)|$의 그래프와 세 점에서 만나야 하므로 $\displaystyle \ell$은 $\displaystyle (1,1)$을 지나고, $\displaystyle x>0$범위에서 $\displaystyle y=f(x)$와 접하거나 원점을 지나야 한다.

한편 $\displaystyle f^{\prime}(5)=0$이고 $\displaystyle f(5)=1$이므로 $\displaystyle y=f(x)$와 접할 때는 $\displaystyle \ell$의 방정식은 $\displaystyle y=1$이다. 이 경우, $\displaystyle f(r)=f(2)=\frac{52}{25}$이다. $\displaystyle f(r)-\frac{52}{25}=\frac1{25}(r-2)^2(2r-13)=0$이고 $\displaystyle r\ne2$이므로 이 방정식의 근을 $\displaystyle r_1$이라 하면 $\displaystyle r_1=\frac{13}2$이다.

이제 $\displaystyle \ell$이 $\displaystyle (0,0)$을 지나는 경우를 생각하자. $\displaystyle \ell$은 선분 PR과 평행하므로 R은 P를 지나면서 기울기가 1인 직선과 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 교점이라 할 수 있다. 즉, $\displaystyle f(r)-f(2)=r-2$가 성립하므로$\displaystyle f(r)-f(2)-r+2=\frac1{25}(r-2)(2r^2-17r+1)=0$이고, $\displaystyle r\ne2$이므로 $\displaystyle 2r^2-17r+1=0$이다. 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 이 식을 만족하는 근을 $\displaystyle r_2,r_3$라 하면 $\displaystyle r_2+r_3=\frac{17}2$이다.따라서 <조건>을 만족하는 모든 $\displaystyle r$의 합은 $\displaystyle \frac{13}2+\frac{17}2=15$이다.

(2) $\displaystyle x>0$일 때, $\displaystyle y=-\frac x{\sqrt e}+k$와 $\displaystyle y=e^{-x}$의 그래프의 교점의 좌표를 $\displaystyle (p,e^{-p})$이라 하자. 주어진 함수의 그래프는 모두 $\displaystyle y$축에 대칭이므로, 또 다른 교점은 $\displaystyle (-p,e^{-p})$이 된다. 선분 PQ의 중점과 선분 QR의 중점을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{1+e^{-p}}2$이다.$\displaystyle x>0$일 때, $\displaystyle p$가 클수록 구하고자 하는 정적분 값이 커지기 때문에, $\displaystyle y=-\frac x{\sqrt e}+k$와 $\displaystyle y=e^{-x}$의 그래프가 한 점에서 만나면서 $\displaystyle p$가 가장 작을 때, 즉 접하는 경우를 생각해야 한다.

$\displaystyle y=e^{-x}$의 $\displaystyle x=p$에서의 접선의 기울기를 생각하면 $\displaystyle -e^{-p}=-\frac1{\sqrt e}$이므로 $\displaystyle p=\frac12$이다.

직선 $\displaystyle y=\frac{1+e^{-\frac12}}2=\frac12+\frac1{2\sqrt e}$와 $\displaystyle y=e^{-x}$의 교점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle \beta$이므로, $\displaystyle e^{-\beta}=\frac12+\frac1{2\sqrt e}$이다. 즉,$\displaystyle \frac12\int_\alpha^\beta e^{-|x|}\,dx=\int_0^\beta e^{-x}\,dx=-e^{-\beta}+1=\frac12-\frac1{2\sqrt e}$이므로 $\displaystyle \int_\alpha^\beta e^{-|x|}\,dx$의 최솟값은 $\displaystyle 1-\frac1{\sqrt e}$이다.