자연계열 2번

[문제2-1](1) $\displaystyle r_1+1$이 양수이므로$\displaystyle r_1+r_2=r_1+\frac{1-r_1}{1+r_1}=(1+r_1)+\frac2{1+r_1}-2\ge2\sqrt2-2>0.8$이다. 즉, $\displaystyle 5(r_1+r_2)>4$가 성립한다.

(2) 직선의 기울기와 탄젠트함수의 정의로부터 $\displaystyle \theta_1=\cdots=\theta_n=\frac\pi{2(n+1)}$이다. 또한 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1}\theta_i=\frac\pi2$이므로 $\displaystyle \theta_{n+1}=\frac\pi{2(n+1)}$이다. $\displaystyle n+1$이하인 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 원점과 원 $\displaystyle C_k$가 접하는 접점 사이의 거리가 1이므로 $\displaystyle r_k=\tan\frac{\theta_k}2=\tan\frac\pi{4(n+1)}$이고,

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}(k-1)r_k=\tan\frac\pi{4(n+1)}\sum_{k=1}^{n+1}(k-1)=\frac{n(n+1)}2\cdot\tan\frac\pi{4(n+1)}$이다.

이제 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan x}x=1$을 사용하여 다음을 얻는다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n+1}(k-1)r_k=\lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)}{2n}\tan\frac\pi{4(n+1)}=\lim_{n\to\infty}\frac\pi8\cdot\frac{\tan\frac\pi{4(n+1)}}{\frac\pi{4(n+1)}}=\frac\pi8$

(3) $\displaystyle k=1$인 경우는 $\displaystyle \tan\theta_1=p_1=1$이고, $\displaystyle k=n+1$인 경우는 $\displaystyle \tan\theta_{n+1}=\frac1{p_n}=\frac1n$이다.

$\displaystyle 2\le k\le n$인 경우, $\displaystyle p_k=\tan\left(\sum_{i=1}^k\theta_i\right)$이므로, $\displaystyle \tan\theta_k=\tan\left(\sum_{i=1}^k\theta_i-\sum_{i=1}^{k-1}\theta_i\right)=\frac{p_k-p_{k-1}}{1+p_kp_{k-1}}=\frac1{1+k^2-k}$이다.

따라서 다음 식을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{\tan\theta_k}&=1+\sum_{k=2}^n(k^2-k+1)+n=\sum_{k=1}^n(k^2-k+1)+n\\&=\frac{n(n+1)(2n+1)}6-\frac{n(n+1)}2+2n=\frac{n(n^2+5)}3=82\end{aligned}$이를 정리하면 $\displaystyle n^3+5n-246=(n-6)(n^2+6n+41)=0$이므로 $\displaystyle n=6$이다.

[문제2-2](1) 방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 서로 다른 실근 중 2보다 큰 것의 개수를 $\displaystyle m$이라 하자. 그러한 $\displaystyle m$개의 실근을 $\displaystyle 2+\alpha_1,\cdots,2+\alpha_m$ ($\displaystyle \alpha_i>0$)이라 하면 $\displaystyle 2-\alpha_1,\cdots,2-\alpha_m$도 방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 근이 된다. 따라서 방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 2가 아닌 서로 다른 실근을 모두 더한 값은 $\displaystyle 4m$이 된다.

서로 다른 실근의 합인 34가 4의 배수가 아니므로, 2가 방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 실근이 되어야 하고 $\displaystyle 4m+2=34$를 얻는다.

즉, $\displaystyle m=8$이므로 방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수는 $\displaystyle 2\times8+1=17$이다.

(2) $\displaystyle \cos(\pi-x)=-\cos x$이므로 $\displaystyle f(\pi-x)=f(x)$이고, $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 직선 $\displaystyle x=\frac\pi2$에 대칭이다. 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle \int_0^\pi xf(x)\,dx=\int_0^\pi(\pi-x)f(x)\,dx$이므로, $\displaystyle 2\int_0^\pi xf(x)\,dx=\pi\int_0^\pi f(x)\,dx$이다. 그래프의 대칭성으로부터$\displaystyle \int_0^\pi xf(x)\,dx=\frac\pi2\int_0^\pi f(x)\,dx=\pi\int_0^{\frac\pi2}f(x)\,dx=\pi\int_0^{\frac\pi2}\frac{\cos x}{3+\cos^2x}\,dx$이다.

여기서 $\displaystyle \sin x=t$로 치환하면 다음과 같이 계산할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}\pi\int_0^{\frac\pi2}\frac{\cos x}{3+\cos^2x}\,dx&=\pi\int_0^1\frac1{4-t^2}\,dt=\frac\pi4\int_0^1\left(\frac1{2-t}+\frac1{2+t}\right)\,dt=\frac\pi4\Biggl[-\ln(2-t)+\ln(2+t)\Biggr]_0^1\\&=\frac\pi4\ln3\end{aligned}$