자연계열 1번

$\displaystyle g(3)<2<f(3)$이므로 닫힌구간 $\displaystyle [2,3]$에서 함수 $\displaystyle h(x)$의 최댓값은 $\displaystyle h(3)=f(3)=\frac52$이다.

$\displaystyle f(2)=0<g(2)=1$이므로 닫힌구간 $\displaystyle [2,3]$에서 함수 $\displaystyle h(x)$의 최솟값은 $\displaystyle h(2)=g(2)=1$이다.

따라서 열린구간 $\displaystyle (-\pi,\pi)$에서 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$의 교점 중 $\displaystyle x$좌표가 가장 큰 값이 $\displaystyle \alpha$이고 $\displaystyle \sin2\alpha=\frac34\cos\alpha$이다.

삼각함수의 덧셈정리에 의하여 $\displaystyle \sin2\alpha=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$이므로 $\displaystyle 2\sin\alpha\cos\alpha=\frac34\cos\alpha$이다. $\displaystyle \cos\alpha\ne0$이므로 $\displaystyle \sin\alpha=\frac38$이다.

$\displaystyle \frac\pi2<\alpha<\pi$이므로 $\displaystyle \tan\alpha=-\frac{3\sqrt{55}}{55}$이다.

[문제 1-2](1) 점 P와 점 Q는 원 $\displaystyle C$ 위의 점이므로 두 점의 $\displaystyle x$좌표를 구하면 $\displaystyle -\frac{2\sqrt2}3$와 $\displaystyle \frac{2\sqrt2}3$이다. 즉, $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\frac{4\sqrt2}3$이다. 따라서 삼각형 OPQ의 넓이는 $\displaystyle \frac12\overline{\mathrm{PQ}}\cdot\frac13=\frac{2\sqrt2}9$이다.

한편 삼각형 OPQ는 두 변의 길이가 1이고 그 끼인각의 크기가 $\displaystyle \theta$인 삼각형이므로 삼각형 OPQ의 넓이는 $\displaystyle \frac12\sin\theta$이다. 따라서 $\displaystyle \sin\theta=\frac{4\sqrt2}9$이다.

(2) $\displaystyle 0<\theta<\pi$일 때, 반지름이 1이고 중심각의 크기가 $\displaystyle \theta$인 부채꼴의 넓이는 $\displaystyle \frac\theta2$이고, 길이가 1인 두 변의 끼인각의 크기가 $\displaystyle \theta$인 삼각형 POQ의 넓이는 $\displaystyle \frac{\sin\theta}2$이므로 $\displaystyle A(\theta)=\frac\theta2-\frac{\sin\theta}2$이다. $\displaystyle \theta=0$일 때 $\displaystyle A(0)=0$이고, $\displaystyle \theta=\pi$일 때 $\displaystyle A(\pi)=\frac\pi2$이다. 따라서 닫힌구간 $\displaystyle [0,\pi]$에서 $\displaystyle A(\theta)=\frac\theta2-\frac{\sin\theta}2$이다.

그러므로$\displaystyle \int_0^\pi A(\theta)\,d\theta=\int_0^\pi\frac12(\theta-\sin\theta)\,d\theta=\Biggl[\frac{\theta^2}4+\frac{\cos\theta}2\Biggr]_0^\pi=\left(\frac{\pi^2}4-\frac12\right)-\frac12=\frac{\pi^2}4-1$이다.

(3) 선분 PQ의 중점을 점 R이라 하면 각 ROQ의 크기는 $\displaystyle \frac\theta2$이고 삼각형 ROQ의 빗변의 길이가 1이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{RQ}}=\sin\frac\theta2$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=2\sin\frac\theta2$이고

$\displaystyle B(\theta)=\theta+2\sin\frac\theta2$이며$\displaystyle \lim_{\theta\to0^+}\frac{B(\theta)}{\sin\theta}=\lim_{\theta\to0^+}\frac{\theta+\overline{\mathrm{PQ}}}{\sin\theta}=\lim_{\theta\to0^+}\frac\theta{\sin\theta}+\lim_{\theta\to0^+}\frac{2\sin\frac\theta2}{\sin\theta}=1+1=2$이다.