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자연계열 1번

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아주대 2024학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2024su/jayeon_1

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문제

[문항 1] (50점) 다음 제시문을 읽고 문제에 답하시오.

(가) 두 함수 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)에 대하여 함수 h(x)\displaystyle h(x)의 값을 f(x)\displaystyle f(x)의 값과 g(x)\displaystyle g(x)의 값 중 작지 않은 값으로 정의하자. 예를 들어 f(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\sin x, g(x)=cos⁡x\displaystyle g(x)=\cos x이면 y=h(x)\displaystyle y=h(x)의 그래프는 [그림 1]과 같다.

sin x와 cos x 중 작지 않은 값을 취하는 함수 h(x)

(나) 0≤t≤1\displaystyle 0\le t\le1인 실수 t\displaystyle t에 대하여 직선 y=t\displaystyle y=t와 원 C:x2+y2=1\displaystyle C:x^2+y^2=1이 만나는 점을 x\displaystyle x좌표가 크지 않은 순서대로 P와 Q라 하고 각 POQ의 크기를 θ\displaystyle \theta (0≤θ≤π\displaystyle 0\le\theta\le\pi)라 하자. 이때 t=1\displaystyle t=1이면 점 P와 점 Q는 같은 점이며 θ=0\displaystyle \theta=0이다. [그림 2]의 색칠된 도형과 같이 원 C\displaystyle C가 선분 PQ에 의하여 나뉘는 두 부분 중 윗부분의 도형을 생각하자. 이 도형의 넓이를 A(θ)\displaystyle A(\theta)라 하고 둘레의 길이를 B(θ)\displaystyle B(\theta)라 하자. (단, 각의 크기의 단위는 라디안이다.)

직선 y=t와 단위원의 교점 P, Q, 중심각 θ와 색칠된 활꼴

[문제 1-1] (20점)제시문 (가)를 읽고 물음에 답하시오.(1) (8점) f(x)=x22−2\displaystyle f(x)=\frac{x^2}2-2이고 g(x)=log⁡2x\displaystyle g(x)=\log_2x일 때, 닫힌구간 [2,3]\displaystyle [2,3]에서 h(x)\displaystyle h(x)의 최댓값과 최솟값을 구하시오.(2) (12점) f(x)=sin⁡2x\displaystyle f(x)=\sin2x이고 g(x)=34cos⁡x\displaystyle g(x)=\frac34\cos x일 때, 열린구간 (−π,π)\displaystyle (-\pi,\pi)에서 함수 h(x)\displaystyle h(x)가 극솟값을 갖는 x\displaystyle x의 값 중 가장 큰 값을 α\displaystyle \alpha라 하자. tan⁡α\displaystyle \tan\alpha의 값을 구하시오.

[문제 1-2] (30점)제시문 (나)를 읽고 물음에 답하시오.(1) (8점) t=13\displaystyle t=\frac13일 때, sin⁡θ\displaystyle \sin\theta의 값을 구하시오.(2) (10점) ∫0πA(θ) dθ\displaystyle \int_0^\pi A(\theta)\,d\theta의 값을 구하시오.(3) (12점) lim⁡θ→0+B(θ)sin⁡θ\displaystyle \lim_{\theta\to0^+}\frac{B(\theta)}{\sin\theta}의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

아주대 2024학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2024su/jayeon_1

[문제 1-1](1) 두 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 그래프는 그림과 같다.

이차함수 x²/2−2와 로그함수 log₂x의 그래프
+4점 · 두 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 그래프를 관찰하여 최댓값을 올바르게 구함

g(3)<2<f(3)\displaystyle g(3)<2<f(3)이므로 닫힌구간 [2,3]\displaystyle [2,3]에서 함수 h(x)\displaystyle h(x)의 최댓값은 h(3)=f(3)=52\displaystyle h(3)=f(3)=\frac52이다.

+4점 · 두 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 그래프를 관찰하여 최솟값을 올바르게 구함

f(2)=0<g(2)=1\displaystyle f(2)=0<g(2)=1이므로 닫힌구간 [2,3]\displaystyle [2,3]에서 함수 h(x)\displaystyle h(x)의 최솟값은 h(2)=g(2)=1\displaystyle h(2)=g(2)=1이다.

(2) 두 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 그래프는 그림과 같다.

함수 sin 2x와 ¾cos x의 그래프
+4점 · x\displaystyle x좌표가 α\displaystyle \alpha일 때 두 곡선의 교점임을 관찰

따라서 열린구간 (−π,π)\displaystyle (-\pi,\pi)에서 두 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 교점 중 x\displaystyle x좌표가 가장 큰 값이 α\displaystyle \alpha이고 sin⁡2α=34cos⁡α\displaystyle \sin2\alpha=\frac34\cos\alpha이다.

+4점 · sin⁡α\displaystyle \sin\alpha 또는 cos⁡α\displaystyle \cos\alpha의 값을 올바르게 구함

삼각함수의 덧셈정리에 의하여 sin⁡2α=sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=2sin⁡αcos⁡α\displaystyle \sin2\alpha=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha이므로 2sin⁡αcos⁡α=34cos⁡α\displaystyle 2\sin\alpha\cos\alpha=\frac34\cos\alpha이다. cos⁡α≠0\displaystyle \cos\alpha\ne0이므로 sin⁡α=38\displaystyle \sin\alpha=\frac38이다.

+4점 · π2<α<π\displaystyle \frac\pi2<\alpha<\pi임을 관찰하여 답을 올바르게 구함

π2<α<π\displaystyle \frac\pi2<\alpha<\pi이므로 tan⁡α=−35555\displaystyle \tan\alpha=-\frac{3\sqrt{55}}{55}이다.

+4점 · 삼각형 OPQ의 넓이 또는 PQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}를 올바르게 구함

[문제 1-2](1) 점 P와 점 Q는 원 C\displaystyle C 위의 점이므로 두 점의 x\displaystyle x좌표를 구하면 −223\displaystyle -\frac{2\sqrt2}3와 223\displaystyle \frac{2\sqrt2}3이다. 즉, PQ‾=423\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\frac{4\sqrt2}3이다. 따라서 삼각형 OPQ의 넓이는 12PQ‾⋅13=229\displaystyle \frac12\overline{\mathrm{PQ}}\cdot\frac13=\frac{2\sqrt2}9이다.

+4점 · 삼각함수의 정의를 이해하여 답을 올바르게 구함 4점

한편 삼각형 OPQ는 두 변의 길이가 1이고 그 끼인각의 크기가 θ\displaystyle \theta인 삼각형이므로 삼각형 OPQ의 넓이는 12sin⁡θ\displaystyle \frac12\sin\theta이다. 따라서 sin⁡θ=429\displaystyle \sin\theta=\frac{4\sqrt2}9이다.

+6점 · 부채꼴 또는 삼각형의 넓이를 이용하여 A(θ)\displaystyle A(\theta)를 올바르게 구함

(2) 0<θ<π\displaystyle 0<\theta<\pi일 때, 반지름이 1이고 중심각의 크기가 θ\displaystyle \theta인 부채꼴의 넓이는 θ2\displaystyle \frac\theta2이고, 길이가 1인 두 변의 끼인각의 크기가 θ\displaystyle \theta인 삼각형 POQ의 넓이는 sin⁡θ2\displaystyle \frac{\sin\theta}2이므로 A(θ)=θ2−sin⁡θ2\displaystyle A(\theta)=\frac\theta2-\frac{\sin\theta}2이다. θ=0\displaystyle \theta=0일 때 A(0)=0\displaystyle A(0)=0이고, θ=π\displaystyle \theta=\pi일 때 A(π)=π2\displaystyle A(\pi)=\frac\pi2이다. 따라서 닫힌구간 [0,π]\displaystyle [0,\pi]에서 A(θ)=θ2−sin⁡θ2\displaystyle A(\theta)=\frac\theta2-\frac{\sin\theta}2이다.

+4점 · 정적분을 계산하여 답을 올바르게 구함

그러므로∫0πA(θ) dθ=∫0π12(θ−sin⁡θ) dθ=[θ24+cos⁡θ2]0π=(π24−12)−12=π24−1\displaystyle \int_0^\pi A(\theta)\,d\theta=\int_0^\pi\frac12(\theta-\sin\theta)\,d\theta=\Biggl[\frac{\theta^2}4+\frac{\cos\theta}2\Biggr]_0^\pi=\left(\frac{\pi^2}4-\frac12\right)-\frac12=\frac{\pi^2}4-1이다.

+4점 · 선분 PQ 또는 호 PQ의 길이 구함

(3) 선분 PQ의 중점을 점 R이라 하면 각 ROQ의 크기는 θ2\displaystyle \frac\theta2이고 삼각형 ROQ의 빗변의 길이가 1이므로 RQ‾=sin⁡θ2\displaystyle \overline{\mathrm{RQ}}=\sin\frac\theta2이다. 따라서 PQ‾=2sin⁡θ2\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=2\sin\frac\theta2이고

+4점 · B(θ)\displaystyle B(\theta)를 구하고 구하고자 하는 극한을 올바르게 표현함
+4점 · 삼각함수의 극한을 이해하여 답을 올바르게 구함

B(θ)=θ+2sin⁡θ2\displaystyle B(\theta)=\theta+2\sin\frac\theta2이며lim⁡θ→0+B(θ)sin⁡θ=lim⁡θ→0+θ+PQ‾sin⁡θ=lim⁡θ→0+θsin⁡θ+lim⁡θ→0+2sin⁡θ2sin⁡θ=1+1=2\displaystyle \lim_{\theta\to0^+}\frac{B(\theta)}{\sin\theta}=\lim_{\theta\to0^+}\frac{\theta+\overline{\mathrm{PQ}}}{\sin\theta}=\lim_{\theta\to0^+}\frac\theta{\sin\theta}+\lim_{\theta\to0^+}\frac{2\sin\frac\theta2}{\sin\theta}=1+1=2이다.

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