자연계열 (오후) 2번

[문제 2-1](1) 일곱개의 자리에서 세 자리를 고른 후에 카드 세 장을 차례로 나열하는 경우의 수이므로 $\displaystyle {}_{7}\mathrm{P}_3=210$이다.

(2) 아홉 개의 자리에서 세 자리를 고르는 경우의 수와 같으므로 $\displaystyle {}_{9}\mathrm{C}_3=84$이다.

(3) 두 카드가 이웃하기 위해서는 두 카드의 자리 번호는 1과 2, 2와 3, ⋯, 10과 11 이렇게 열 가지 중 하나이어야 한다. 가위/보 또는 보/가위를 배치한 후에 ‘바위’를 남은 아홉 자리 중 한 자리에 배치하면 된다.

따라서 답은 $\displaystyle 10\times2\times9=180$이다.

[문제 2-2](1) 1번 자리에 임의의 카드 한 장을 놓으면 그 카드를 이기는 카드는 반드시 2번 자리에 놓아야 하고, $\displaystyle f(2)=3$이므로 2번 자리의 카드를 이기는 카드는 남은 3번 자리에 놓으면 $\displaystyle f(3)=3$이므로 $\displaystyle f$-카드배열이다.

따라서 (가위/바위/보), (바위/보/가위), (보/가위/바위) 이렇게 3개의 $\displaystyle f$-카드배열이 있다.

(2) $\displaystyle g(2)\ne3$일 때 $\displaystyle g$-카드배열 (A/B/C)가 존재한다고 하자. $\displaystyle g(2)\ne3$이므로 B를 이기는 카드는 A이다. $\displaystyle g(1)=2$이므로 A를 이기는 카드는 B가 되어 모순이다. 따라서 $\displaystyle g(2)\ne3$일 때 $\displaystyle g$-카드배열은 존재하지 않는다.

$\displaystyle g(2)=3$이면 $\displaystyle g(3)$의 값에 관계없이 (가위/바위/보)는 $\displaystyle g$-카드배열이다.

따라서 답은• $\displaystyle g(1)=2,g(2)=3,g(3)=1$• $\displaystyle g(1)=2,g(2)=3,g(3)=2$• $\displaystyle g(1)=2,g(2)=3,g(3)=3$이다.

(3) $\displaystyle h(1)\ne3$이면 (가위/보/바위)가 $\displaystyle h$-카드배열이 아니다. 그러므로 $\displaystyle h(1)=3$이다.

$\displaystyle h(2)\ne3$이면 (보/가위/바위)가 $\displaystyle h$-카드배열이 아니다. 그러므로 $\displaystyle h(2)=3$이다.

$\displaystyle h(3)=1$이면 (보/바위/가위)가 $\displaystyle h$-카드배열이 아니다. 따라서 $\displaystyle h(1)=3$, $\displaystyle h(2)=3$이고 $\displaystyle h(3)=2$ 또는 $\displaystyle h(3)=3$이다.(i) $\displaystyle h(1)=3,h(2)=3,h(3)=2$이면 임의의 카드배열을 생각하자. $\displaystyle h(1)=3,h(2)=3$이므로 규칙 ①, ②를 따른다. 3번 자리의 이기는 카드는 이미 1번 또는 2번 자리에 있고 $\displaystyle h(3)=2$이므로 규칙 ③도 따른다. 따라서 모든 카드배열이 $\displaystyle h$-카드배열이다.(ii) $\displaystyle h(1)=3,h(2)=3,h(3)=3$은 어떤 제약 조건도 없으므로 모든 카드배열이 $\displaystyle h$-카드배열이다.따라서 답은 $\displaystyle h(1)=3,h(2)=3,h(3)=3$과 $\displaystyle h(1)=3,h(2)=3,h(3)=2$이다.