의학계 1번

[문제 1-1](1) $\displaystyle A_n$의 넓이를 $\displaystyle S_n$이라 하자. $\displaystyle \frac{x^2}n=\frac{x^2}{2n}+1$에서 $\displaystyle x=\pm\sqrt{2n}$이므로

$\displaystyle S_n=\int_{-\sqrt{2n}}^{\sqrt{2n}}\left(\frac{x^2}{2n}+1-\frac{x^2}n\right)\,dx=\Biggl[-\frac{x^3}{6n}+x\Biggr]_{-\sqrt{2n}}^{\sqrt{2n}}=\frac{4\sqrt{2n}}3$이다.

따라서 $\displaystyle S_n=\frac{4\sqrt{2n}}3\le100$에서 $\displaystyle n\le\frac{90000}{32}=2812.5$이므로 구하는 자연수 $\displaystyle n$의 최댓값은 2812이다.

(2) 두 점 $\displaystyle (0,0)$과 $\displaystyle (0,1)$은 항상 $\displaystyle A_n$의 내부 또는 경계 위에 있는 $\displaystyle y$축 위의 정수점이다. 두 곡선 $\displaystyle y=\frac{x^2}n$과 $\displaystyle y=\frac{x^2}{2n}+1$이 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이고, $\displaystyle A_n$의 내부 또는 경계 위에 있는 정수점의 개수가 12이므로, 제1사분면 위의 정수점의 개수는 5이다. 두 곡선 $\displaystyle y=\frac{x^2}n$과 $\displaystyle y=\frac{x^2}{2n}+1$의 교점의 좌표는 $\displaystyle (\pm\sqrt{2n},2)$이다. 따라서 점 $\displaystyle (p,q)$가 $\displaystyle A_n$의 내부 또는 경계 위에 있는 제1사분면 위의 정수점일 때 $\displaystyle p$는 자연수이고, $\displaystyle q=1$ 또는 $\displaystyle q=2$이다.

(i) $\displaystyle \sqrt{2n}$이 정수인 경우두 곡선의 교점 $\displaystyle (\sqrt{2n},2)$는 $\displaystyle A_n$의 경계 위에 있는 제1사분면의 정수점이므로, $\displaystyle (p,1)$꼴의 정수점의 개수가 4이다. $\displaystyle y=1$일 때 제1사분면의 $\displaystyle A_n$의 경계 위에 있는 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x^2=n$을 만족한다. 따라서 $\displaystyle (p,1)$꼴의 정수점의 개수가 4가 되려면 $\displaystyle 16\le n<25$를 만족해야 한다. 또한 $\displaystyle \sqrt{2n}$이 정수이므로 $\displaystyle n=18$이다.

(ii) $\displaystyle \sqrt{2n}$이 정수가 아닌 경우$\displaystyle (p,2)$꼴의 정수점은 존재하지 않으므로, $\displaystyle (p,1)$꼴의 정수점의 개수가 5이다. (i)과 마찬가지로 이 경우에는 $\displaystyle 25\le n<36$을 만족해야 한다. 또한 $\displaystyle \sqrt{2n}$이 정수가 아니므로 $\displaystyle 25\le n<36$이고 $\displaystyle n\ne32$이다.

(i), (ii)에 의하여 구하는 모든 자연수 $\displaystyle n$의 값은 18, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35이다.

[문제1-2](1) 함수 $\displaystyle f(x)=\log_2(x+p)$의 반복함수의 그래프 위에 정수점이 존재하려면 $\displaystyle f(0)$의 값이 정수이어야 하고 이때 정수점은 무수히 많다.

따라서 $\displaystyle |f(0)|=|\log_2p|$의 값은 20이하의 정수이므로 $\displaystyle p=2^{-20},2^{-19},2^{-18},\cdots,2^{19},2^{20}$이다.

따라서 구하는 모든 양수 $\displaystyle p$의 값의 합은 등비수열의 합에 의하여 $\displaystyle \frac{2^{-20}(2^{41}-1)}{2-1}=2^{21}-2^{-20}$이다.

(2) $\displaystyle g(x)$가 모든 실수 $\displaystyle x$에서 미분가능하므로 $\displaystyle f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1)$, $\displaystyle f(0)=f(1)$이다. 또한 $\displaystyle \sqrt3=g(3)=g(0)=f(0)=f(1)$이므로 상수 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle f(x)=x(x-1)(x-a)+\sqrt3$이다. $\displaystyle f^{\prime}(0)=a$, $\displaystyle f^{\prime}(1)=1-a$이므로 $\displaystyle a=\frac12$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=x\left(x-\frac12\right)(x-1)+\sqrt3=x^3-\frac32x^2+\frac12x+\sqrt3$이므로

$\displaystyle 0\le x<1$에서 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 개형을 살펴보면 함수 $\displaystyle g(x)$의 최댓값은 함수 $\displaystyle f(x)$의 극댓값임을 알 수 있다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-3x+\frac12=0$에서 $\displaystyle x=\frac{3\pm\sqrt3}6$이므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\frac{3-\sqrt3}6$에서 극대이다. 따라서 구하는 $\displaystyle g(x)$의 최댓값은 $\displaystyle f\left(\frac{3-\sqrt3}6\right)=\frac{37\sqrt3}{36}$이다.

(i) $\displaystyle a=-\frac1{2024}$인 경우제2사분면에 2025개의 교점이 있고, 제4사분면에 2024개의 교점이 있다. 즉, $\displaystyle p=4049$이다.

(ii) $\displaystyle -\frac1{2023}<a<-\frac1{2024}$인 경우• $\displaystyle -2024<x<-2023$에서 함수 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=ax$가 만나지 않는 경우 제2사분면에 2023개의 교점이 있고 제4사분면에 2023개의 교점이 있다. 즉, $\displaystyle p=4046$이다.

• $\displaystyle -2024<x<-2023$인 한 점에서 함수 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=ax$가 접하는 경우 제2사분면에 2024개의 교점이 있고 제4사분면에 2024개의 교점이 있다. 즉, $\displaystyle p=4048$이다.

• $\displaystyle -2024<x<-2023$에서 함수 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=ax$가 두 점에서 만나는 경우 제2사분면에 2025개의 교점이 있고 제4사분면에 2025개의 교점이 있다. 즉, $\displaystyle p=4050$이다.