자연계열 2번

[문제 2-1](1) $\displaystyle f(3)=3$이므로 $\displaystyle (f\circ f)(3)=f(f(3))=f(3)=3$이다. $\displaystyle f$가 2-상수함수이므로 모든 $\displaystyle n\in X$에 대하여 $\displaystyle (f\circ f)(n)=3$이다.

따라서 모든 $\displaystyle n\in X$에 대하여 $\displaystyle a_n=(f\circ f\circ f)(n)=f((f\circ f)(n))=f(3)=3$이다.

그러므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{2024}a_n=3\times2024=6072$이다.

(2) 자연수 $\displaystyle m,n$에 대하여 $\displaystyle m>n$이면 $\displaystyle f(m)\ge f(n)$이다. 그러므로 함수 $\displaystyle f(n)$은 $\displaystyle n=1$에서 최솟값을 갖는다. 같은 방법으로 합성함수 $\displaystyle (f\circ f)(n)$은 $\displaystyle n=1$에서 최솟값을 갖고, $\displaystyle (f\circ f\circ f)(n)$은 $\displaystyle n=1$에서 최솟값을 갖는다.

함수 $\displaystyle f$는 상수함수가 아니어야 하므로 $\displaystyle f(1)=4$이다. $\displaystyle f$는 2-상수함수가 아니므로 $\displaystyle k>4$이고 $\displaystyle (f\circ f)(1)=7$이다.

함수 $\displaystyle f$는 3-상수함수이므로 $\displaystyle k\le7$이어야 한다. 그러므로 가능한 $\displaystyle k$의 값은 5, 6, 7이다.

[문제 2-2]함수 $\displaystyle f:X\to X$는 4-상수함수이고 $\displaystyle (f\circ f\circ f\circ f)(1)=4$이므로 <조건>의 ①에 의하여 $\displaystyle f(4)=4$이다. 만약 $\displaystyle f(x)=x$를 만족하는 $\displaystyle x\in\{1,2,3\}$가 존재하면 $\displaystyle f\circ f\circ f\circ f$의 치역에는 $\displaystyle x$와 4가 모두 포함되어 상수함수가 아니다.

$\displaystyle x=1,2,3$일 때 $\displaystyle f(x)\ne x$이며, <조건>의 ②에 의하여 $\displaystyle x=1,2,3$일 때 $\displaystyle x<f(x)$이다. 즉, $\displaystyle f(3)=4$가 된다. 따라서, $\displaystyle f(1)$과 $\displaystyle f(2)$로 가능한 값은 다음과 같다.• $\displaystyle f(1)=2$이면 $\displaystyle f(2)$는 3 또는 4이다.• $\displaystyle f(1)=3$이면 $\displaystyle f(2)$는 3 또는 4이다.• $\displaystyle f(1)=4$이면 $\displaystyle f(2)=4$이다.

이를 종합하면, 주어진 조건을 만족하는 함수는 아래와 같이 모두 다섯 경우가 있다.

[문제 2-3]어떤 함수가 일대일대응이면 그 함수를 여러 번 합성한 함수도 일대일대응이므로 상수함수가 될 수 없다. 따라서 일대일대응이 아닌 함수만 살펴보아도 충분하다. 일대일대응인 경우는 치역의 원소의 개수가 3이므로 치역의 원소의 개수가 1과 2인 경우를 확인해보자.

(i) 치역의 원소의 개수가 1인 경우는 1-상수함수이므로 이러한 함수 $\displaystyle g$에 대하여 주어진 명제는 참이며, 이러한 함수의 개수는 3이다.(ii) 치역의 원소의 개수가 2인 경우 치역을 $\displaystyle \{a,b\}$라 하고 치역에 속하지 않는 $\displaystyle X$의 원소를 $\displaystyle c$라 하자.• 함수 $\displaystyle g$에 대하여 $\displaystyle g(a)\ne g(b)$라 하자. $\displaystyle g(a)=a$, $\displaystyle g(b)=b$ 또는 $\displaystyle g(a)=b$, $\displaystyle g(b)=a$이면 함수 $\displaystyle g$는 여러 번 합성해도 함숫값으로 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$를 가지므로 이러한 함수 $\displaystyle g$에 대하여 주어진 명제는 참이 아니다.• 함수 $\displaystyle g$에 대하여 $\displaystyle g(a)=g(b)$라 하자. 치역이 $\displaystyle \{a,b\}$이므로, $\displaystyle g(a)=g(b)=a$, $\displaystyle g(c)=b$이거나 $\displaystyle g(a)=g(b)=b$, $\displaystyle g(c)=a$이다. 두 함수 모두 2-상수함수로 이 함수들에 대하여 주어진 명제는 참이다.

치역의 원소의 개수가 2인 경우는 3가지이므로 이러한 함수의 개수는 6이다. 따라서, 총 $\displaystyle 3+6=9$개의 함수가 주어진 명제를 참이 되도록 한다.