자연계열 (오후) 1번

[문제1-1](1) 직선 $\displaystyle L_\mathrm{P}$의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac x{2t}+t^2-\frac12$이므로

구하는 영역의 넓이는$\displaystyle S(t)=\int_0^t\left(-\frac x{2t}+t^2-\frac12-x^2+1\right)\,dx=\frac23t^3+\frac t4$이다.

(2) $\displaystyle t=\frac1{2\tan\theta}=\frac{\cot\theta}2$이므로 합성함수의 미분법에 의하여 $\displaystyle S^{\prime}(t)\times\frac{dt}{d\theta}=\left(2t^2+\frac14\right)\times\left(-\frac{\csc^2\theta}2\right)$이다.

$\displaystyle t=1$일 때 $\displaystyle \tan\theta=\frac12$이고 $\displaystyle \csc\theta=\sqrt5$이므로,

구하는 값은 $\displaystyle -\frac{45}8$이다.

(3) 직선 $\displaystyle L_\mathrm{P}$와 곡선 $\displaystyle C$의 교점의 $\displaystyle x$좌표를 구하면 $\displaystyle -t-\frac1{2t}$, $\displaystyle t$이다. 따라서 점 Q의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -t-\frac1{2t}$이다. 점 P의 $\displaystyle x$좌표와 점 Q의 $\displaystyle x$좌표의 차를 $\displaystyle c$라 하면 $\displaystyle c=2t+\frac1{2t}=\frac1{\tan\theta}+\tan\theta$이다.

$\displaystyle \cos\theta=\frac c{\overline{\mathrm{PQ}}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\frac c{\cos\theta}=\left(\frac1{\tan\theta}+\tan\theta\right)\frac1{\cos\theta}=\frac1{\sin\theta\cos^2\theta}$이다.

$\displaystyle a=\sin\theta$라 하면 $\displaystyle \theta$는 예각이므로 $\displaystyle 0<a<1$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\frac1{a(1-a^2)}$이고 $\displaystyle 0<a<1$에서 $\displaystyle a(1-a^2)$의 최댓값을 가질 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$는 최솟값을 가진다. $\displaystyle a=\frac1{\sqrt3}$에서 $\displaystyle a(1-a^2)$는 최댓값 $\displaystyle \frac2{3\sqrt3}$를 갖는다. 그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{3\sqrt3}2$이다.

[문제1-2](1) 점 R을 $\displaystyle (t+a,t^2-1+b)$라 두자. 두 점 P, R은 직선 $\displaystyle L_\mathrm{P}$ 위에 있으므로 $\displaystyle L_\mathrm{P}$의 기울기는 $\displaystyle \frac ba=-\frac1{2t}$이다. 또한 점 P와 점 R의 거리가 1이므로 $\displaystyle 1=a^2+b^2=a^2\left(1+\frac1{4t^2}\right)$이다.

이때 $\displaystyle t$는 양수이고 점 R의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle t$보다 작아야 하므로 $\displaystyle a=-\frac{2t}{\sqrt{4t^2+1}}$, $\displaystyle b=\frac1{\sqrt{4t^2+1}}$이다. 따라서 점 R의 $\displaystyle x$좌표와 $\displaystyle y$좌표를 매개변수 $\displaystyle t$로 나타낸 함수는 $\displaystyle x(t)=t-\frac{2t}{\sqrt{4t^2+1}}$, $\displaystyle y(t)=t^2-1+\frac1{\sqrt{4t^2+1}}$이다.

(2) $\displaystyle x^{\prime}(t)=1-\frac2{(\sqrt{4t^2+1})^3}$이고 $\displaystyle y^{\prime}(t)=2t-\frac{4t}{(\sqrt{4t^2+1})^3}=2t\left(1-\frac2{(\sqrt{4t^2+1})^3}\right)$이므로

$\displaystyle l(s)=\int_1^s\sqrt{(x^{\prime}(t))^2+(y^{\prime}(t))^2}\,dt=\int_1^s\left(\sqrt{1+4t^2}-\frac2{4t^2+1}\right)\,dt$이다.

정적분과 미분의 관계에 의하여$\displaystyle l^{\prime}(s)=\frac d{ds}l(s)=\frac d{ds}\int_1^s\left(\sqrt{1+4t^2}-\frac2{4t^2+1}\right)\,dt=\sqrt{1+4s^2}-\frac2{4s^2+1}$이다.

따라서$\displaystyle \lim_{s\to2}\frac{l(s)-l(2)}{s^2-4}=\lim_{s\to2}\left(\frac1{s+2}\right)\left(\frac{l(s)-l(2)}{s-2}\right)=\frac14l^{\prime}(2)=\frac{\sqrt{17}}4-\frac1{34}$이다.