의예과 2번

$\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle V$의 원소이므로 $\displaystyle f(0)=g(0)=0\quad f(1)=g(1)=1$을 만족한다. 따라서 $\displaystyle (f\circ g)(0)=f(g(0))=f(0)=0$이고, $\displaystyle (f\circ g)(1)=f(g(1))=f(1)=1$임을 알 수 있다.$\displaystyle 0\le x_1<x_2\le1$인 임의의 두 실수 $\displaystyle x_1,x_2$에 대하여 $\displaystyle y_1=g(x_1)\;y_2=g(x_2)$라고 하자. $\displaystyle g(x)$는 단조증가함수이므로 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle y_1\le y_2$가 성립한다. $\displaystyle f(x)$ 또한 단조증가함수이므로 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle f(y_1)\le f(y_2)$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle (f\circ g)(x_1)=f(y_1)\le f(y_2)=(f\circ g)(x_2)$가 성립하므로 $\displaystyle f\circ g$는 단조증가함수이다. 한편, $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle V$의 원소이므로 임의의 $\displaystyle 0\le z\le1$인 실수 $\displaystyle z$에 대하여 $\displaystyle z=f(y)$를 만족하는 실수 $\displaystyle y,\;(0\le y\le1)$가 유일하게 존재하며 그러한 실수 $\displaystyle y$에 대하여 $\displaystyle y=g(x)$인 실수 $\displaystyle x,\;(0\le x\le1)$가 유일하게 존재한다. 따라서 $\displaystyle f\circ g$는 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle [0,1]$로 가는 일대일 대응이 되며 $\displaystyle f\circ g\in V$이다.

만약 $\displaystyle f_n$이 $\displaystyle V$의 원소라면 위의 논증으로부터 $\displaystyle f_{n+1}=f\circ f_n$ 역시 $\displaystyle V$의 원소이다. 그런데, $\displaystyle f_1=f$가 $\displaystyle V$의 원소이므로 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle f_n$이 $\displaystyle V$의 원소임은 증명된다.

$\displaystyle f(0)=0,f(1)=1$이고 $\displaystyle 0\le x_1<x_2\le1$인 임의의 두 실수 $\displaystyle x_1,x_2$에 대하여$\displaystyle (*)\quad f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)(2x_2(1-x_1)+2x_1(1-x_2)+x_2(1-x_2)+x_1(1-x_1))>0$가 되어 함수 $\displaystyle f(x)$는 최대값이 1 최소값이 0인 단조증가함수가 된다. 한편, 함수 $\displaystyle f$가 연속함수이므로 중간값 정리를 적용할 수 있다. 즉, 임의의 실수 $\displaystyle y,\;(0\le y\le1)$에 대해서 $\displaystyle y=f(x)$인 실수 $\displaystyle x,\;(0\le x\le1)$가 존재하고 또한 식 (*)에 의해서 이러한 실수 $\displaystyle x$가 유일하게 존재함을 알 수 있다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle [0,1]$로 가는 일대일 대응이 된다. 위의 성질들에 의해 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle V$의 원소이다.

제시문 (바)에 의해 $\displaystyle 0\le a\le1$인 임의의 $\displaystyle a$에 대해 수열 $\displaystyle \{f_n(a)\}$는 극한값이 존재한다. 이 수열은 $\displaystyle f_{n+1}(a)=f(f_n(a))$가 성립하므로 제시문 (아)에 의해 그 극한값은 $\displaystyle x=f(x)$의 해가 되어야 한다. $\displaystyle f(x)-x=-2x^3+3x^2-x=-x(2x-1)(x-1)$이므로 방정식 $\displaystyle f(x)=x$의 해는 $\displaystyle 0,1,\frac12$이고 수열 $\displaystyle \{f_n(a)\}$는 $\displaystyle 0,1$, 혹은 $\displaystyle \frac12$ 셋 중의 하나의 값으로 수렴해야만 한다. 한편, 함수 $\displaystyle f(x)$는 열린구간 $\displaystyle (0,\frac12)$에서는 $\displaystyle x$보다 작고, 열린 구간 $\displaystyle (\frac12,1)$에서는 $\displaystyle x$보다 크다.

1. $\displaystyle a=0,1,\frac12$인 경우.$\displaystyle f(\frac12)=\frac12$이므로, $\displaystyle f_n(\frac12)=\frac12$가 모든 $\displaystyle n$에 대해서 성립한다. 따라서 $\displaystyle f_0(\frac12)=\frac12$이다. 유사하게 $\displaystyle f_0(0)=0\;f_0(1)=1$임을 알 수 있다.

2. $\displaystyle 0<a<\frac12$인 경우.논제 1의 결과에 따라 $\displaystyle f_n(x)$역시 $\displaystyle V$의 원소이고 $\displaystyle 0<a<\frac12$이므로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle 0<f_n(a)<\frac12$이다. 한편, 열린구간 $\displaystyle (0,\frac12)$에서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x$보다 작으므로, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle f_{n+1}(x)=f(f_n(x))<f_n(x)\le f(x)<x$가 성립함을 알 수 있다. 즉, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle 0<f_n(x)<x$이다. 따라서 제시문 (사)에 의해 수열 $\displaystyle \{f_n(a)\}$의 극한값은 닫힌구간 $\displaystyle [0,a]$의 한 값이어야 하는데, 앞에서 가능한 극한값이 $\displaystyle 0,1,\frac12$ 셋 중에 하나라고 했으므로 그 극한값은 0이 되어야 한다. 따라서 $\displaystyle f_0(a)=0$이다.

3. $\displaystyle \frac12<a<1$인 경우.$\displaystyle \frac12<x<1$이므로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle \frac12<f_n(x)<1$이다. 한편, 열린구간 $\displaystyle (\frac12,1)$에서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x$보다 크므로 $\displaystyle f_{n+1}(x)=f(f_n(x))>f_n(x)\ge f_1(x)>x$가 성립되어 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle x<f_n(x)<1$가 만족한다. 제시문 (사)에 의해 수열 $\displaystyle \{f_n(a)\}$의 극한값은 닫힌구간 $\displaystyle [a,1]$의 한 값이므로, 그 극한값은 1이 되어야 한다. 따라서 $\displaystyle f_0(a)=1$이다.