간호-자연 2번

I) $\displaystyle \int_a^{a+T}f(x)dx=\int_a^Tf(x)dx+\int_T^{a+T}f(x)dx$

두 번째 적분은 $\displaystyle y=x-T$로 치환하여 적분하면$\displaystyle \int_T^{a+T}f(x)dx=\int_0^af(y+T)dy=\int_0^af(y)dy$가 된다. 여기에서 주기함수의 성질 $\displaystyle f(y+T)=f(y)$를 이용하였다. 따라서 임의의 실수 $\displaystyle a$에 대해$\displaystyle \int_a^{a+T}f(x)dx=\int_a^Tf(x)dx+\int_0^af(x)dx=\int_0^Tf(x)dx$가 성립한다.

II) $\displaystyle g$가 $\displaystyle A$의 원소이므로 어떤 상수 $\displaystyle c$가 존재하여 $\displaystyle g(x+c)=g(x)+g(c)$가 모든 $\displaystyle x$에서 성립한다.이 식의 양변을 $\displaystyle x$로 미분하면 $\displaystyle g^{\prime}(x+c)=g^{\prime}(x)$가 성립하므로 주기함수가 된다.

I) $\displaystyle F(x+T)=\int_0^{x+T}f(t)dt-\alpha(x+T)=\int_0^xf(t)dt-\alpha x+\int_x^{x+T}f(t)dt-\alpha T$인데,논제 1에 의해 $\displaystyle \int_x^{x+T}f(t)dt=\int_0^Tf(t)dt=\alpha T$이므로 $\displaystyle F(x+T)=F(x)$가 성립한다.

II) $\displaystyle h$가 $\displaystyle B$의 원소라고 하자. 그러면 $\displaystyle h(x)=ax+f(x)-f(0)$를 만족하는 상수 $\displaystyle a$와 어떤 주기함수 $\displaystyle f$가 존재한다. $\displaystyle h$가 실수 전체에서 미분 가능하므로 $\displaystyle f$ 역시 실수 전체에서 미분가능하다. 어떤 $\displaystyle 0$이 아닌 상수 $\displaystyle T$에 대하여 $\displaystyle f(x+T)=f(x)$가 모든 실수에서 만족한다고 하자.따라서 $\displaystyle h(x+T)=a(x+T)+f(x+T)-f(0)=ax+f(x)-f(0)+aT=h(x)+aT$가 성립한다.그런데 $\displaystyle h(T)=aT+f(T)-f(0)=aT$이므로 $\displaystyle h(x+T)=h(x)+h(T)$가 모든 실수 $\displaystyle x$에서 성립함을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle h$는 $\displaystyle A$의 원소이다. 즉, $\displaystyle B$는 $\displaystyle A$의 부분집합이다.

III) $\displaystyle g$가 $\displaystyle A$의 원소라고 하자. 어떤 $\displaystyle 0$ 아닌 상수 $\displaystyle T$에 대하여 $\displaystyle g(x+T)=g(x)+g(T)$가 모든 $\displaystyle x$에서 성립하므로 이 식에 $\displaystyle x=0$을 대입하면 $\displaystyle g(T)=g(0)+g(T)$, 즉 $\displaystyle g(0)=0$임을 알 수 있다.

논제 1에서 본 바와 같이 $\displaystyle g$의 도함수는 주기함수이다. $\displaystyle g^{\prime}(x+T)=g^{\prime}(x)$을 모든 $\displaystyle x$에서 만족시키는 $\displaystyle 0$이 아닌 상수 $\displaystyle T$가 있다.

$\displaystyle \alpha=\frac1T\int_0^Tg^{\prime}(x)dx$라고 정의하고 $\displaystyle f(x)=\int_0^xg^{\prime}(x)dx-\alpha x+f(0)$라고 정의하자.앞에서 보인 것처럼 $\displaystyle f(x)$는 주기함수이다. 그러면 $\displaystyle g(x)=\int_0^xg^{\prime}(x)dx=\alpha x+f(x)-f(0)$가 되어,$\displaystyle B$의 원소가 된다. 즉 $\displaystyle A$는 $\displaystyle B$의 부분집합이다.

$\displaystyle A$는 $\displaystyle B$의 부분집합이고 동시에 $\displaystyle B$는 $\displaystyle A$의 부분집합이므로 $\displaystyle A=B$이다.