자연계열 1번

두 사람이 $\displaystyle P_k$ 휴게소에서 만난다고 가정하면 $\displaystyle A$가 사용하는 휘발유 양은$\displaystyle (22-\frac{32}{1\cdot2})+(22-\frac{32}{2\cdot3})+\cdots+(22-\frac{32}{(k-1)\cdot k})\quad\left[=\sum_{i=1}^{k-1}\left(22-\frac{32}{i(i+1)}\right)\right]$가 되고, 이를 부분분수로 나타내어 정리하면$\displaystyle 22(k-1)-32((\frac11-\frac12)+(\frac12-\frac13)+\cdots+(\frac1{k-1}-\frac1k))\quad\left[=22(k-1)-32\sum_{i=1}^{k-1}\left(\frac1i-\frac1{i+1}\right)\right]=22k+\frac{32}k-54$이다.

$\displaystyle B$가 사용하는 휘발유 양은$\displaystyle (20+1)+(20-1)+\cdots+(20+(-1)^{k+1})\quad\left[=\sum_{i=k+1}^{20}(20+(-1)^i)\right]$이를 정리하면$\displaystyle 20(20-k)+a,\;a=\frac12(1-(-1)^k)\quad\left[=\begin{cases}1&k\text{ 홀수}\\0&k\text{ 짝수}\end{cases}\right]$가 된다.

따라서 두 사람이 사용한 휘발유의 합은$\displaystyle 346+2(k+\frac{16}k)+a$가 되고 가운데 항은 $\displaystyle k=\frac{16}k$, 즉, $\displaystyle k=4$에서 최소가 된다.이 경우 $\displaystyle a=0$이 되어 모든 $\displaystyle k$에 대해 최소가 됨을 알 수 있다.따라서 $\displaystyle P_4$에서 만나면 두 사람이 사용하는 휘발유의 총량을 최소화할 수 있다.

두 사람이 $\displaystyle P_k$ 휴게소에서 만난다고 가정하면$\displaystyle A$가 걸리는 시간은$\displaystyle 3(1+2+\cdots+(k-1))=3k(k-1)/2$가 되고$\displaystyle B$가 걸리는 시간은$\displaystyle (2m+(2m-1)+\cdots+(k+1))=(k+2m+1)(2m-k)/2=(2m(2m+1)-k-k^2)/2$이 된다.

서로 같은 시간이 걸려서 만나게 되면 두 사람이 가장 빨리 만나게 되므로$\displaystyle 3k(k-1)/2=(2m(2m+1)-k-k^2)/2$을 만족하는 $\displaystyle k$를 찾는다. 식을 정리하면$\displaystyle 3k^2-3k=2m(2m+1)-k-k^2$, 즉$\displaystyle 2k^2-k-m(2m+1)=0$이 되므로 $\displaystyle (k+m)(2k-(2m+1))=0$에서 $\displaystyle k=m+0.5$를 얻는다.

만나는 시간을 같게 하는 $\displaystyle k$가 자연수가 아니므로, $\displaystyle P_m$과 $\displaystyle P_{m+1}$에서 만나는 시간을 고려해야 한다.$\displaystyle P_m$에서 만나는 경우는 더 많이 걸리는 $\displaystyle B$가 걸리는 시간이 $\displaystyle m(3m+1)/2$분이고$\displaystyle P_{m+1}$에서 만나는 경우는 더 많이 걸리는 $\displaystyle A$가 걸리는 시간이 $\displaystyle m(3m+3)/2$분이므로$\displaystyle P_m$에서 만나야 가장 빨리 만날 수 있다.