자연계열 2번

i) $\displaystyle f\in A$이므로 $\displaystyle f(2a)=2f(a)+a^2$이고 $\displaystyle f(2a+h)=f(2(a+\frac h2))=2f(a+\frac h2)+(a+\frac h2)^2$이다. 따라서$\displaystyle \frac{f(2a+h)-f(2a)}h=2\frac{f(a+h/2)-f(a)}h+\frac{ah+h^2/2}h=\frac{f(a+h/2)-f(a)}{h/2}+a+h/2$Correction. 분자의 $\displaystyle h^2/2$는 $\displaystyle h^2/4$, 다음 몫의 $\displaystyle h/2$는 $\displaystyle h/4$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.

그런데, 함수 $\displaystyle f$가 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하므로 극한값 $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(a+h/2)-f(a)}{h/2}$가 존재하고, 극한값 $\displaystyle \lim_{h\to0}(a+h/2)$도 존재한다. 따라서 극한값 $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(2a+h)-f(2a)}h$가 존재한다.그러므로 $\displaystyle f$는 $\displaystyle x=2a$에서 미분가능하고, $\displaystyle f^{\prime}(2a)=\lim_{h\to0}\frac{f(2a+h)-f(2a)}h=f^{\prime}(a)+a$임을 알 수 있다.

$\displaystyle n=1$인 경우, $\displaystyle g$는 집합 $\displaystyle B$의 원소이므로, $\displaystyle g(x)=g(2\frac x2)=g(\frac x2)+\frac x2$가 된다.즉, $\displaystyle g(x)=g(\frac x{2^1})+(1-\frac1{2^1})x$이 되어 $\displaystyle n=1$일 때 성립한다.

자연수 $\displaystyle k$에 대해, $\displaystyle n=k$일 때 성립한다고 가정하자. 즉, $\displaystyle g(x)=g(\frac x{2^k})+(1-\frac1{2^k})x$라고 가정하자.$\displaystyle g$는 $\displaystyle B$의 원소이므로 $\displaystyle g(\frac x{2^k})=g(2\frac x{2^{k+1}})=g(\frac x{2^{k+1}})+\frac x{2^{k+1}}$이 성립한다. 그러므로$\displaystyle \begin{aligned}g(x)&=g(\frac x{2^k})+(1-\frac1{2^k})x\\&=g(\frac x{2^{k+1}})+\frac x{2^{k+1}}+(1-\frac1{2^k})x\\&=g(\frac x{2^{k+1}})+(1-\frac1{2^{k+1}})x\end{aligned}$이 된다.즉, $\displaystyle n=k+1$일 때 $\displaystyle g(x)=g(\frac x{2^n})+(1-\frac1{2^n})x$가 성립한다.

따라서, 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle g(x)=g(\frac x{2^n})+(1-\frac1{2^n})x$이다.

함수 $\displaystyle g$가 $\displaystyle C$의 원소라고 하자. 그러면, 제시문 (바)에 의해 $\displaystyle g$는 집합 $\displaystyle B$의 원소이고 $\displaystyle x=0$에서 연속이다.그러면 제시문 (다)에 의해 실수 $\displaystyle x$에 대해 다음이 성립한다.모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle g(x)=g(\frac x{2^n})+(1-\frac1{2^n})x$이다.그런데 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac x{2^n}=0$이고 함수 $\displaystyle g$가 $\displaystyle x=0$에서 연속이므로 제시문 (마)에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}g(\frac x{2^n})=g(0)$이다.

따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\{g(\frac x{2^n})+(1-\frac1{2^n})x\}=g(0)+x$이다.그러므로, $\displaystyle g(x)=x+g(0)$이다.

반대로 함수 $\displaystyle g(x)=x+c$라고 하자. ($\displaystyle c$는 상수.) $\displaystyle g$는 연속함수이다. 그리고$\displaystyle g(2x)=2x+c=(x+c)+x=g(x)+x$이므로 함수 $\displaystyle g$는 집합 $\displaystyle C$의 원소이다. 즉, $\displaystyle C$의 원소는 $\displaystyle x+c$ 형태로 표현되는 모든 함수이다.

함수 $\displaystyle f$가 $\displaystyle D$의 원소라고 하자. 그러면 (사)에 의해 $\displaystyle f$는 집합 $\displaystyle A$의 원소이고, $\displaystyle f$는 모든 점에서 미분가능하다.그런데, 논제 1의 풀이를 통해 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f^{\prime}(2x)=f^{\prime}(x)+x$가 성립함을 확인하였다.즉, 도함수 $\displaystyle f^{\prime}$은 집합 $\displaystyle B$의 원소이다. 또한 집합 $\displaystyle D$의 정의에 의해 $\displaystyle f^{\prime}$은 $\displaystyle x=0$에서 연속이므로 $\displaystyle f^{\prime}$은 집합 $\displaystyle C$의 원소이다.

즉, $\displaystyle f^{\prime}(x)=x+c$이다. ($\displaystyle c$는 상수) 그러므로 $\displaystyle f(x)=\frac12x^2+cx+k$이다. 그런데 함수 $\displaystyle f$는 집합 $\displaystyle A$의 원소이므로,$\displaystyle f(0)=2f(0)+0$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle f(0)=0$이고, 이로부터 $\displaystyle k=0$임을 알 수 있다. 따라서 어떤 실수 $\displaystyle c$에 대해$\displaystyle f(x)=\frac12x^2+cx$이다.

반대로 $\displaystyle f(x)=\frac12x^2+cx$라고 하자. ($\displaystyle c$는 상수) $\displaystyle f$는 미분가능하고, 도함수가 연속이다.또한, $\displaystyle f(2x)=\frac12(2x)^2+c(2x)=2(\frac12x^2+cx)+x^2=2f(x)+x^2$이므로, 함수 $\displaystyle f$는 집합 $\displaystyle D$의 원소이다.즉, 집합 $\displaystyle D$의 원소는 $\displaystyle \frac12x^2+cx$ 형태로 표현되는 모든 함수이다.