의예과 2번

가톨릭대 2015학년도 수시 의예과 2번 · mathesis.kr/archive/catholic/2015su/uiye_2

[2. 수학 문항 (나)] 제시문 (ㄱ)~(ㅁ)을 읽고 문제(논제 1, 논제 2)에 답하시오. (100점)

(ㄱ) 어느 초콜릿 회사가 새로운 초콜릿 상품을 만들고, 이 상품의 홍보를 위해 초콜릿 봉지마다 아이돌 가수 사진 스티커를 한 장씩 넣어 판매하는 행사를 진행하였다. 스티커의 종류는 총 100가지이며, 모든 종류의 스티커를 모은 사람에게는 노트북 컴퓨터를 주기로 하였다. 가홍이는 1년 동안 1,000장의 스티커를 모았지만, 100종류의 스티커를 다 모으지는 못하였다. 가홍이는 이 회사가 각 종류의 스티커를 골고루 넣지 않고 행사를 불공정하게 진행한 것은 아닐까 하는 의구심이 들어, 자신의 의구심이 타당한지 계산을 통해 확인하려고 한다.

(ㄴ) 계산을 위하여 가홍이는 회사가 초콜릿을 대량생산할 것이라고 생각하고 다음과 같이 가정하였다.

1. 초콜릿은 한 봉지씩 구매하고 다음 봉지를 구매하기 전에 스티커를 확인한다.

2. 스티커를 확인할 때, 어떤 특정한 종류의 스티커가 나올 확률은 종류에 관계없이 항상 $\displaystyle \frac1{100}$ 이다.

3. 100종류의 스티커를 모두 모으면 더 이상 초콜릿을 구매하지 않는다.

4. 100종류의 스티커를 모두 모을 때까지 구매하는 초콜릿 봉지 수의 확률분포는 정규분포에 가깝다.

(ㄷ) 수열 $\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n\frac1k$ 과 $\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}$ 에 대하여, $\displaystyle n=50,100,\cdots,300$ 에서의 $\displaystyle a_n,b_n$ 의 값은 다음과 같다.

$n$	$50$	$100$	$150$	$200$	$250$	$300$
$a_n$	$4.499$	$5.187$	$5.591$	$5.878$	$6.101$	$6.283$
$b_n$	$1.6251$	$1.6350$	$1.6383$	$1.6399$	$1.6409$	$1.6416$

(ㄹ) 확률변수 $\displaystyle Z$ 가 표준정규분포 $\displaystyle \mathrm N(0,1)$ 을 따를 때, $\displaystyle \mathrm P(Z\ge x)=0.01$ 이 되는 $\displaystyle x$ 는 약 $\displaystyle 2.33$ 이다.

(ㅁ) 확률변수 $\displaystyle X_1,X_2,\cdots,X_n$ 이 서로 독립이면, $\displaystyle \sum_{k=1}^nX_k$ 의 평균과 분산은 다음과 같다.

$\displaystyle E\left(\sum_{k=1}^nX_k\right)=\sum_{k=1}^nE(X_k),\quad V\left(\sum_{k=1}^nX_k\right)=\sum_{k=1}^nV(X_k)$

(논제 1) (50점) 제시문 (ㄴ)의 가정 하에, 100종류의 스티커를 모두 모으기 위하여 평균 몇 봉지를 구매하여야 하는지 논술하시오.

(논제 2) (50점) 제시문 (ㄴ)의 가정 하에, 100종류의 스티커를 모두 모으기 위하여 1,000봉지 이상을 사야할 확률이 $\displaystyle 0.01$ 이하이면, 가홍이는 불공정하다는 결론을 내릴 생각이다. 가홍이가 어떤 결론을 내리게 될지 논술하시오.

해설강의 준비중

논술 쿠폰 수집가 문제

가톨릭대 2015학년도 수시 의예과 2번 · mathesis.kr/archive/catholic/2015su/uiye_2

+20점

$\displaystyle Y_i$ 를 $\displaystyle i-1$ 번째 종류의 스티커가 나온 후 $\displaystyle i$ 번째 종류의 스티커가 나올 때 까지 사게 될 초콜릿 봉지수라고 하자. ( $\displaystyle i=1,2,3,\cdots,100$ ) 그러면 $\displaystyle Y_i$ 는 기존에 몇 개의 초콜릿 봉지를 구입하였는지와 관계없고, 또한 $\displaystyle i$ 번째 종류의 스티커가 나온 후에 사게 될 초콜릿 봉지 수와도 관계없으므로 $\displaystyle Y_i$ 들은 서로 독립이다.100종류의 스티커를 모두 구할 때 까지 사야할 초콜릿 봉지수를 $\displaystyle X$ 라고 하면 $\displaystyle X=\sum_{i=1}^{100}Y_i$ 이다.

+10점

$\displaystyle i$ 종류의 스티커를 모은 상태에서 구입한 초콜릿 봉지에서 새로운 스티커가 나올 확률은 $\displaystyle \frac{100-i}{100}$ , 기존에 이미 얻은 스티커가 나올 확률은 $\displaystyle \frac i{100}$ 이므로, $\displaystyle \mathrm P(Y_{i+1}=m)=\left(\frac i{100}\right)^{m-1}\left(1-\frac i{100}\right)$ 이다.Correction. 『가톨릭대학교 2015학년도 논술우수자전형 선행학습 영향 분석』에 따라 확률식의 지수를 $\displaystyle m-1$ 로 실었다. 『2016학년도 가톨릭대학교 논술전형 가이드북』의 예시답안에는 이 지수가 $\displaystyle m-i$ 로 잘못 적혀 있다.

+20점

$\displaystyle S_1=\sum_{m=1}^{\infty}mr^{m-1}(1-r)$ 라고 하면 $\displaystyle (0<r<1)$ , $\displaystyle rS_1=\sum_{m=1}^{\infty}mr^m(1-r)=(1-r)\sum_{k=1}^{\infty}(k-1)r^{k-1}=S_1-1$ 이므로, $\displaystyle S_1=\frac1{1-r}$ 이 된다.이를 이용하여 $\displaystyle Y_{i+1}$ 의 평균을 계산하면, $\displaystyle E(Y_{i+1})=\sum_{m=1}^{\infty}m\left(\frac i{100}\right)^{m-1}\left(1-\frac i{100}\right)=\frac{100}{100-i}$ 을 얻는다. 따라서,Correction. 『가톨릭대학교 2015학년도 논술우수자전형 선행학습 영향 분석』에 따라 평균 계산식의 지수를 $\displaystyle m-1$ 로 실었다. 『2016학년도 가톨릭대학교 논술전형 가이드북』의 예시답안에는 이 지수가 $\displaystyle m-i$ 로 잘못 적혀 있다. $\displaystyle E(X)=\sum_{i=0}^{99}E(Y_{i+1})=\sum_{i=0}^{99}\frac{100}{100-i}=100\sum_{i=1}^{100}\frac1i=100a_{100}=518.7$ 이 된다.

+30점

$\displaystyle X$ 의 확률분포가 정규분포에 가깝다고 했으므로 $\displaystyle X$ 의 표준편차 $\displaystyle \sigma$ 를 계산하여 $\displaystyle \frac{1000-E(X)}\sigma$ 의 값이 $\displaystyle 2.33$ 보다 크다면 불공정하다고 결론을 내릴 것이다. $\displaystyle S_2=(1-r)\sum_{m=1}^{\infty}m^2r^{m-1}$ 이라 하면 $\displaystyle (0<r<1)$ , $\displaystyle rS_2=\sum_{m=1}^{\infty}m^2r^m(1-r)=(1-r)\sum_{k=1}^{\infty}(k-1)^2r^{k-1}=S_2-2S_1+1$ 이므로 $\displaystyle S_2=\frac{1+r}{(1-r)^2}$ 이 되고, $\displaystyle S_2-S_1^2=\frac r{(1-r)^2}$ 이므로 $\displaystyle V(Y_{i+1})=\frac{100i}{(100-i)^2}$ 이다. $\displaystyle V(X)=\sum_{i=0}^{99}V(Y_{i+1})=100^2\sum_{i=1}^{100}\frac1{i^2}-100\sum_{i=1}^{100}\frac1i=100^2b_{100}-100a_{100}=1.583\times10^4$ 이 된다.

+20점

따라서 $\displaystyle X$ 의 표준편차는 200보다 작다. $\displaystyle \frac{1000-E(X)}\sigma>\frac{1000-520}{200}=2.4>2.33$ 이므로, 가홍이는 불공정하다고 결론을 내릴 것이다.

각 논제를 각각 가중치를 가지고 채점하되 총점으로 환산하여 총괄 평가. 수학논술에서는 배당된 점수 범위 내에서 등급이 아닌 점수로 표기하여 합산함.

각 논제를 채점위원 2인이 각각 1차 채점을 하고, 두 위원의 1차 채점 결과가 논제 총점의 25% 이상 차이가 날 경우 채점위원이 공동 협의하여 2차 채점을 진행한다. 2차 채점에서 위원간의 조정이 이루어지지 않을 경우 3차 채점을 실시한다. 3차 채점은 출제위원을 포함한 새로운 채점위원 2인이 채점하되 1차 채점의 상위와 하위 점수 사이의 점수를 부여한다.

논술 답안에 수험생의 신원을 알릴만한 요소가 있을 때는 0점으로 채점한다.

문제의 의도에서 완전히 벗어났거나 각 논제와 전혀 다른 내용을 서술한 경우는 0점으로 채점한다.

“예시답안”과 비슷하더라도 논술의 완결성에 대하여 아래 항목 “논제별 채점기준”을 통해 얻게 되는 점수의 최대 10%까지 채점자가 감점할 수 있다.

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