수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

의예과 2번

가톨릭대 2015학년도 수시 의예과 2번 · mathesis.kr/archive/catholic/2015su/uiye_2

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가톨릭대 2015학년도 수시 의예과 2번 · mathesis.kr/archive/catholic/2015su/uiye_2

+20점 · Yi\displaystyle Y_i를 i−1\displaystyle i-1번째 종류의 스티커가 나온 후 i\displaystyle i번째 종류의 스티커가 나올 때 까지 사게 될 초콜릿 봉지수라고 하자. (i=1,2,3,⋯ ,100\displaystyle i=1,2,3,\cdots,100) 그러면 Yi\displaystyle Y_i는 기존에 몇 개의 초콜릿 봉지를 구입하였는지와 관계없고, 또한 i\displaystyle i번째 종류의 스티커가 나온 후에 사게 될 초콜릿 봉지 수와도 관계없으므로 Yi\displaystyle Y_i들은 서로 독립이다. 100종류의 스티커를 모두 구할 때 까지 사야할 초콜릿 봉지수를 X\displaystyle X라고 하면 X=∑i=1100Yi\displaystyle X=\sum_{i=1}^{100}Y_i이다.

Yi\displaystyle Y_i를 i−1\displaystyle i-1번째 종류의 스티커가 나온 후 i\displaystyle i번째 종류의 스티커가 나올 때 까지 사게 될 초콜릿 봉지수라고 하자. (i=1,2,3,⋯ ,100\displaystyle i=1,2,3,\cdots,100) 그러면 Yi\displaystyle Y_i는 기존에 몇 개의 초콜릿 봉지를 구입하였는지와 관계없고, 또한 i\displaystyle i번째 종류의 스티커가 나온 후에 사게 될 초콜릿 봉지 수와도 관계없으므로 Yi\displaystyle Y_i들은 서로 독립이다.100종류의 스티커를 모두 구할 때 까지 사야할 초콜릿 봉지수를 X\displaystyle X라고 하면 X=∑i=1100Yi\displaystyle X=\sum_{i=1}^{100}Y_i이다.

+10점 · i\displaystyle i종류의 스티커를 모은 상태에서 구입한 초콜릿 봉지에서 새로운 스티커가 나올 확률은 100−i100\displaystyle \frac{100-i}{100}, 기존에 이미 얻은 스티커가 나올 확률은 i100\displaystyle \frac i{100}이므로, P(Yi+1=m)=(i100)m−1(1−i100)\displaystyle \mathrm P(Y_{i+1}=m)=\left(\frac i{100}\right)^{m-1}\left(1-\frac i{100}\right)이다.

i\displaystyle i종류의 스티커를 모은 상태에서 구입한 초콜릿 봉지에서 새로운 스티커가 나올 확률은 100−i100\displaystyle \frac{100-i}{100}, 기존에 이미 얻은 스티커가 나올 확률은 i100\displaystyle \frac i{100}이므로,P(Yi+1=m)=(i100)m−i(1−i100)\displaystyle \mathrm P(Y_{i+1}=m)=\left(\frac i{100}\right)^{m-i}\left(1-\frac i{100}\right)이다.Correction. 확률식의 지수 m−i\displaystyle m-i는 m−1\displaystyle m-1의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+20점 · S1=∑m=1∞mrm−1(1−r)\displaystyle S_1=\sum_{m=1}^{\infty}mr^{m-1}(1-r)라고 하면 (0<r<1)\displaystyle (0<r<1), rS1=∑m=1∞mrm(1−r)=(1−r)∑k=1∞(k−1)rk−1=S1−1\displaystyle rS_1=\sum_{m=1}^{\infty}mr^m(1-r)=(1-r)\sum_{k=1}^{\infty}(k-1)r^{k-1}=S_1-1이므로, S1=11−r\displaystyle S_1=\frac1{1-r}이 된다. 이를 이용하여 Yi+1\displaystyle Y_{i+1}의 평균을 계산하면, E(Yi+1)=∑m=1∞m(i100)m−1(1−i100)=100100−i\displaystyle E(Y_{i+1})=\sum_{m=1}^{\infty}m\left(\frac i{100}\right)^{m-1}\left(1-\frac i{100}\right)=\frac{100}{100-i}을 얻는다. 따라서, E(X)=∑i=099E(Yi+1)=∑i=099100100−i=100∑i=11001i=100a100=518.7\displaystyle E(X)=\sum_{i=0}^{99}E(Y_{i+1})=\sum_{i=0}^{99}\frac{100}{100-i}=100\sum_{i=1}^{100}\frac1i=100a_{100}=518.7이 된다.

S1=∑m=1∞mrm−1(1−r)\displaystyle S_1=\sum_{m=1}^{\infty}mr^{m-1}(1-r)라고 하면 (0<r<1)\displaystyle (0<r<1),rS1=∑m=1∞mrm(1−r)=(1−r)∑k=1∞(k−1)rk−1=S1−1\displaystyle rS_1=\sum_{m=1}^{\infty}mr^m(1-r)=(1-r)\sum_{k=1}^{\infty}(k-1)r^{k-1}=S_1-1이므로, S1=11−r\displaystyle S_1=\frac1{1-r}이 된다.이를 이용하여 Yi+1\displaystyle Y_{i+1}의 평균을 계산하면,E(Yi+1)=∑m=1∞m(i100)m−i(1−i100)=100100−i\displaystyle E(Y_{i+1})=\sum_{m=1}^{\infty}m\left(\frac i{100}\right)^{m-i}\left(1-\frac i{100}\right)=\frac{100}{100-i}을 얻는다. 따라서,Correction. 확률식의 지수 m−i\displaystyle m-i는 m−1\displaystyle m-1의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.E(X)=∑i=099E(Yi+1)=∑i=099100100−i=100∑i=11001i=100a100=518.7\displaystyle E(X)=\sum_{i=0}^{99}E(Y_{i+1})=\sum_{i=0}^{99}\frac{100}{100-i}=100\sum_{i=1}^{100}\frac1i=100a_{100}=518.7이 된다.

+30점 · X\displaystyle X의 확률분포가 정규분포에 가깝다고 했으므로 X\displaystyle X의 표준편차 σ\displaystyle \sigma를 계산하여 1000−E(X)σ\displaystyle \frac{1000-E(X)}\sigma의 값이 2.33\displaystyle 2.33보다 크다면 불공정하다고 결론을 내릴 것이다. S2=(1−r)∑m=1∞m2rm−1\displaystyle S_2=(1-r)\sum_{m=1}^{\infty}m^2r^{m-1}이라 하면 (0<r<1)\displaystyle (0<r<1), rS2=∑m=1∞m2rm(1−r)=(1−r)∑k=1∞(k−1)2rk−1=S2−2S1+1\displaystyle rS_2=\sum_{m=1}^{\infty}m^2r^m(1-r)=(1-r)\sum_{k=1}^{\infty}(k-1)^2r^{k-1}=S_2-2S_1+1이므로 S2=1+r(1−r)2\displaystyle S_2=\frac{1+r}{(1-r)^2}이 되고, S2−S12=r(1−r)2\displaystyle S_2-S_1^2=\frac r{(1-r)^2}이므로 V(Yi+1)=100i(100−i)2\displaystyle V(Y_{i+1})=\frac{100i}{(100-i)^2}이다. V(X)=∑i=099V(Yi+1)=1002∑i=11001i2−100∑i=11001i=1002b100−100a100=1.583×104\displaystyle V(X)=\sum_{i=0}^{99}V(Y_{i+1})=100^2\sum_{i=1}^{100}\frac1{i^2}-100\sum_{i=1}^{100}\frac1i=100^2b_{100}-100a_{100}=1.583\times10^4이 된다.

X\displaystyle X의 확률분포가 정규분포에 가깝다고 했으므로 X\displaystyle X의 표준편차 σ\displaystyle \sigma를 계산하여 1000−E(X)σ\displaystyle \frac{1000-E(X)}\sigma의 값이 2.33\displaystyle 2.33보다 크다면 불공정하다고 결론을 내릴 것이다.S2=(1−r)∑m=1∞m2rm−1\displaystyle S_2=(1-r)\sum_{m=1}^{\infty}m^2r^{m-1}이라 하면 (0<r<1)\displaystyle (0<r<1),rS2=∑m=1∞m2rm(1−r)=(1−r)∑k=1∞(k−1)2rk−1=S2−2S1+1\displaystyle rS_2=\sum_{m=1}^{\infty}m^2r^m(1-r)=(1-r)\sum_{k=1}^{\infty}(k-1)^2r^{k-1}=S_2-2S_1+1이므로S2=1+r(1−r)2\displaystyle S_2=\frac{1+r}{(1-r)^2}이 되고, S2−S12=r(1−r)2\displaystyle S_2-S_1^2=\frac r{(1-r)^2}이므로V(Yi+1)=100i(100−i)2\displaystyle V(Y_{i+1})=\frac{100i}{(100-i)^2}이다.V(X)=∑i=099V(Yi+1)=1002∑i=11001i2−100∑i=11001i=1002b100−100a100=1.583×104\displaystyle V(X)=\sum_{i=0}^{99}V(Y_{i+1})=100^2\sum_{i=1}^{100}\frac1{i^2}-100\sum_{i=1}^{100}\frac1i=100^2b_{100}-100a_{100}=1.583\times10^4이 된다.

+20점 · 따라서 X\displaystyle X의 표준편차는 200보다 작다. 1000−E(X)σ>1000−520200=2.4>2.33\displaystyle \frac{1000-E(X)}\sigma>\frac{1000-520}{200}=2.4>2.33이므로, 가홍이는 불공정하다고 결론을 내릴 것이다.

따라서 X\displaystyle X의 표준편차는 200보다 작다.1000−E(X)σ>1000−520200=2.4>2.33\displaystyle \frac{1000-E(X)}\sigma>\frac{1000-520}{200}=2.4>2.33이므로, 가홍이는 불공정하다고 결론을 내릴 것이다.

각 논제를 각각 가중치를 가지고 채점하되 총점으로 환산하여 총괄 평가. 수학논술에서는 배당된 점수 범위 내에서 등급이 아닌 점수로 표기하여 합산함.

각 논제를 채점위원 2인이 각각 1차 채점을 하고, 두 위원의 1차 채점 결과가 논제 총점의 25% 이상 차이가 날 경우 채점위원이 공동 협의하여 2차 채점을 진행한다. 2차 채점에서 위원간의 조정이 이루어지지 않을 경우 3차 채점을 실시한다. 3차 채점은 출제위원을 포함한 새로운 채점위원 2인이 채점하되 1차 채점의 상위와 하위 점수 사이의 점수를 부여한다.

논술 답안에 수험생의 신원을 알릴만한 요소가 있을 때는 0점으로 채점한다.

문제의 의도에서 완전히 벗어났거나 각 논제와 전혀 다른 내용을 서술한 경우는 0점으로 채점한다.

“예시답안”과 비슷하더라도 논술의 완결성에 대하여 아래 항목 “논제별 채점기준”을 통해 얻게 되는 점수의 최대 10%까지 채점자가 감점할 수 있다.

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