의예과 1번

주어진 다항함수 $\displaystyle f(x)=x^3+ax$를 식 $\displaystyle f(x+y)-f(x)=2yf^{\prime}(x)$에 대입하여 $\displaystyle x$에 관한 다음 방정식을 얻을 수 있다.$\displaystyle y(3x^2-3xy-y^2+a)=0$

$\displaystyle y=0$인 경우는 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 성립함을 알 수 있다.

$\displaystyle y\ne0$인 경우에는 양변을 $\displaystyle y$로 나누어 $\displaystyle x$에 관한 이차 방정식$\displaystyle 3x^2-3xy-y^2+a=0\quad(*)$얻을 수 있다. (*)의 판별식을 $\displaystyle D$라 하면, $\displaystyle D=21y^2-12a$이다. 이차 방정식이 실근을 갖기 위해서는 $\displaystyle D\ge0$이어야 하므로, 모든 실수 $\displaystyle y$에 대해 $\displaystyle D=21y^2-12a\ge0$를 만족하는 $\displaystyle a$를 찾으면 된다. 따라서 $\displaystyle a\le0$이 된다.

1) $\displaystyle g^{\prime}(x)=(1-x^2)e^{-\frac{x^2-1}2}=0$에서 $\displaystyle x=1,-1$.2) $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=(x^3-3x)e^{-\frac{x^2-1}2}=0$에서 $\displaystyle x=-\sqrt3,0,\sqrt3$.

따라서 함수 $\displaystyle y=g(x)$의 증가와 감소, 오목과 볼록을 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프의 개형은 아래와 같다.

(ㄹ)의 조건 2에 의해서 집합 $\displaystyle B$에 속하는 함수 $\displaystyle h(t)$는 두 개의 극점 $\displaystyle t=x_1,x_2\;(x_1<x_2)$를 갖는다.(ㄹ)의 조건 3에 의해서 함수 $\displaystyle h(t)$는 $\displaystyle t=x_1$에서 최솟값을 $\displaystyle t=x_2$에서 최댓값을 갖는다. 따라서 임의의 실수 $\displaystyle a$에 대하여, $\displaystyle h(x_1+a)-h(x_1)\ge0,\;h(x_2+a)-h(x_2)\le0\;h^{\prime}(x_1)=0,\;h^{\prime}(x_2)=0$을 만족한다.

임의의 실수 $\displaystyle y$에 대하여, 모든 실수에서 정의된 함수 $\displaystyle \overline h$를 다음과 같이 정의하자.$\displaystyle \overline h(t)=h(t+y)-h(t)-2yh^{\prime}(t).$(ㄹ)의 조건 1에 의해 함수 $\displaystyle \overline h$는 연속이며$\displaystyle \begin{cases}\overline h(x_1)=h(x_1+y)-h(x_1)-2yh^{\prime}(x_1)\ge0\\\overline h(x_2)=h(x_2+y)-h(x_2)-2yh^{\prime}(x_2)\le0\end{cases}$임을 알 수 있다. 따라서 중간값의 정리에 의해 $\displaystyle \overline h(x)=0$이 되는 점 $\displaystyle x$가 닫힌 구간 $\displaystyle [x_1,x_2]$에 존재한다. 즉, 모든 실수 $\displaystyle y$에 대하여$\displaystyle h(x+y)-h(x)=2yh^{\prime}(x)$을 만족하는 $\displaystyle x$가 존재하게 되어 함수 $\displaystyle h$가 $\displaystyle A$의 원소임을 알 수 있다. 그러므로 집합 $\displaystyle B$는 $\displaystyle A$의 부분집합이 된다.