의예과 2번

신뢰구간 $\displaystyle I=[\overline X-d,\;\overline X+d]$가 모평균 $\displaystyle m$을 포함할 확률은$\displaystyle \begin{aligned}P(m\in[\overline X-d,\;\overline X+d])&=P(|\overline X-m|\le d)\\&=P\left(\frac{|\overline X-m|}{\sigma/\sqrt n}\le\frac d{\sigma/\sqrt n}\right)\end{aligned}$이다. 그런데 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(m,\sigma^2)$를 따르는 모집단에서 크기가 $\displaystyle n$인 표본 $\displaystyle X_1,\cdots,X_n$을 임의추출하였을 때 표본평균 $\displaystyle \overline X=\frac1n(X_1+\cdots+X_n)$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(m,\frac{\sigma^2}n)$을 따르므로, $\displaystyle \frac{\overline X-m}{\sigma/\sqrt n}$은 표준정규분포를 따르게 된다. 따라서 $\displaystyle P\left(\frac{|\overline X-m|}{\sigma/\sqrt n}\le z_{\alpha/2}\right)=1-\alpha$이다. 그러므로 $\displaystyle d=z_{\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt n}$일 때 신뢰구간 $\displaystyle I=[\overline X-d,\;\overline X+d]$는 신뢰도 $\displaystyle 100(1-\alpha)\%$인 모평균 $\displaystyle m$의 신뢰구간이다. 즉, $\displaystyle R_1=[\overline X-z_{\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt n},\;\overline X+z_{\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt n}]$이다.

표본 $\displaystyle X_1,\cdots,X_k$의 표본평균 $\displaystyle \overline X_1=\frac1k(X_1+\cdots+X_k)$, 표본 $\displaystyle X_{k+1},\cdots,X_n$의 표본평균 $\displaystyle \overline X_2=\frac1k(X_{k+1}+\cdots+X_n)$는 모두 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(m,\frac{2\sigma^2}n)$를 따르고, $\displaystyle \overline X_1$과 $\displaystyle \overline X_2$는 서로 독립이다. 이 때 신뢰구간 $\displaystyle I_1$과 $\displaystyle I_2$는 어떤 상수 $\displaystyle d$에 대해 $\displaystyle I_1=[\overline X_1-d,\;\overline X_1+d],\;I_2=[\overline X_2-d,\;\overline X_2+d]$이고 신뢰범위 $\displaystyle R_2$는 $\displaystyle R_2=I_1\cup I_2$이다. 신뢰범위 $\displaystyle R_2$가 모평균 $\displaystyle m$을 포함할 확률은$\displaystyle \begin{aligned}P(m\in R_2)&=1-P(m\notin R_2)=1-P(m\notin I_1,m\notin I_2)\\&=1-P(|\overline X_1-m|>d,|\overline X_2-m|>d)\\&=1-P(|\overline X_1-m|>d)P(|\overline X_2-m|>d)\end{aligned}$이다. 따라서 신뢰범위 $\displaystyle R_2$의 신뢰도가 $\displaystyle 100(1-\alpha)\%$이라면 $\displaystyle I_1,I_2$의 신뢰도는 모두 $\displaystyle 1-\sqrt\alpha$이고, 따라서 $\displaystyle d=z_{\sqrt\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt{n/2}}$이다.즉, $\displaystyle R_2=[\overline X_1-z_{\sqrt\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt{n/2}},\;\overline X_1+z_{\sqrt\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt{n/2}}]\cup[\overline X_2-z_{\sqrt\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt{n/2}},\;\overline X_2+z_{\sqrt\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt{n/2}}]$이다. 따라서 $\displaystyle l(R_1)=2z_{\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt n},\;l(R_2)=|\overline X_1-\overline X_2|+2z_{\sqrt\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt{n/2}}$이다.

$\displaystyle l(R_1)$은 상수이므로 신뢰범위 $\displaystyle R_1$의 평균 지름은 $\displaystyle E(l(R_1))=2z_{\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt n}$이고, 신뢰범위 $\displaystyle R_2$의 평균 지름은$\displaystyle E(l(R_2))=E(|\overline X_1-\overline X_2|+2z_{\sqrt\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt{n/2}})=E(|\overline X_1-\overline X_2|)+2z_{\sqrt\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt{n/2}}$이다. 그런데 $\displaystyle \overline X_1-\overline X_2$의 평균은 $\displaystyle 0$, 분산은 $\displaystyle 2\frac{\sigma^2}{n/2}=\frac{4\sigma^2}n$이므로 $\displaystyle \overline X_1-\overline X_2$은 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(0,\frac{4\sigma^2}n)$을 따른다. 따라서 $\displaystyle \overline X_1-\overline X_2$의 확률밀도함수는 $\displaystyle f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\frac{\sqrt n}{2\sigma}e^{-\frac n{8\sigma^2}x^2}$이다. 따라서 $\displaystyle E(|\overline X_1-\overline X_2|)$은$\displaystyle E(|\overline X_1-\overline X_2|)=\lim_{n\to-\infty}\int_a^0|x|f(x)dx+\lim_{n\to\infty}\int_0^b|x|f(x)dx=\sqrt{\frac2\pi}\frac{2\sigma}{\sqrt n}$이다. 따라서 신뢰범위 $\displaystyle R_1$이 더 나은 신뢰범위가 될 필요충분조건은 $\displaystyle z_{\alpha/2}<\sqrt2z_{\sqrt\alpha/2}+\sqrt{\frac2\pi}$이다.Correction. 두 적분의 극한 변수 $\displaystyle n\to-\infty$, $\displaystyle n\to\infty$는 각각 $\displaystyle a\to-\infty$, $\displaystyle b\to\infty$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \alpha=0.01$일 때, $\displaystyle z_{\alpha/2}=z_{0.005}=2.57583$이고,$\displaystyle \sqrt2z_{\sqrt\alpha/2}+\sqrt{\frac2\pi}=\sqrt2z_{0.05}+\sqrt{\frac2\pi}>1.4\times1.6+0.79=3.03$이므로 신뢰도 99%인 경우 신뢰범위 $\displaystyle R_1$이 더 나은 신뢰범위이다.

$\displaystyle 0.5\le\alpha\le1$인 $\displaystyle \alpha$에 대해 $\displaystyle z_{\alpha/2}\le z_{0.25}<0.68<\sqrt{\frac2\pi}<\sqrt2z_{\sqrt\alpha/2}+\sqrt{\frac2\pi}$이므로 신뢰도 50%이하인 경우 $\displaystyle R_1$이 더 나은 신뢰범위이다.

$\displaystyle 0.36\le\alpha\le0.5$인 $\displaystyle \alpha$에 대해 $\displaystyle z_{\alpha/2}\le z_{0.18}<0.92$이고,$\displaystyle \sqrt2z_{\sqrt\alpha/2}+\sqrt{\frac2\pi}>\sqrt2z_{\sqrt{0.64}/2}+\sqrt{\frac2\pi}>1.4\times0.25+0.79=1.14$이므로 신뢰도가 50%이상이고 64%이하인 경우 $\displaystyle R_1$이 더 나은 신뢰범위이다. 따라서 신뢰도가 64%이하인 경우 신뢰범위 $\displaystyle R_1$이 항상 더 나은 신뢰범위이다.