의예과 2번

가톨릭대 2016학년도 모의 의예과 2번 · mathesis.kr/archive/catholic/2016mo/uiye_2

[2. 수학 문항 (나)] 제시문 (ㄱ)~(ㅁ)을 읽고 문제(논제 1, 논제 2)에 답하시오. (150점)

(ㄱ) 연속확률변수 $\displaystyle X$ 가 모든 실수 값을 취하고 그 확률밀도 함수가 $\displaystyle f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$ 로 주어지면 확률변수 $\displaystyle X$ 는 정규분포를 따른다고 한다. 여기서 $\displaystyle m$ 은 평균, $\displaystyle \sigma\;(\sigma>0)$ 는 표준편차를 나타내는 상수이다.

(ㄴ) 모평균 $\displaystyle m$ 이 알려져 있지 않고 모분산 $\displaystyle \sigma^2$ 이 알려져 있는 정규분포를 따르는 모집단에서 표본을 추출하여 모집단의 평균 $\displaystyle m$ 의 값을 추정하려고 한다. 이를 위해 이 모집단에서 크기 $\displaystyle n$ 인 표본 $\displaystyle X_1,\cdots,X_n$ 을 임의추출하였다.

(ㄷ) 임의추출하여 얻어진 한 표본에 대해 그 표본의 표본평균을 $\displaystyle \overline X$ 라고 하자. 상수 $\displaystyle d$ 에 대해 구간 $\displaystyle I=[\overline X-d,\;\overline X+d]$ 가 모평균 $\displaystyle m$ 을 포함할 확률이 $\displaystyle 1-\alpha$ 이면 이 구간 $\displaystyle I$ 를 신뢰도 $\displaystyle 100(1-\alpha)\%$ 인 모평균 $\displaystyle m$ 의 신뢰구간이라고 한다. 이 때 신뢰도는 신뢰구간 $\displaystyle I=[\overline X-d,\;\overline X+d]$ 의 길이 $\displaystyle 2d$ 에 따라 정해진다.

(ㄹ) 크기 $\displaystyle n$ 이 짝수인 경우 표본 $\displaystyle X_1,\cdots,X_n$ 을 다음과 같이 두 표본으로 나눌 수 있다.

$\displaystyle \text{[표본1]: }X_1,\cdots,X_k\qquad\text{[표본2]: }X_{k+1},\cdots,X_n\quad\text{(단, }n=2k\text{)}$

제시문 (ㄷ)의 방법을 사용하여 [표본1]로부터 얻은 신뢰구간을 $\displaystyle I_1$ , [표본2]로부터 얻은 신뢰구간을 $\displaystyle I_2$ 라고 하자. (단, 이 때 두 신뢰구간 $\displaystyle I_1,I_2$ 의 길이는 같도록 한다.) 이 때 합집합 $\displaystyle I_1\cup I_2$ 은 모평균 $\displaystyle m$ 을 포함할 범위라고 생각할 수 있다. 집합 $\displaystyle I_1\cup I_2$ 이 모평균 $\displaystyle m$ 을 포함할 확률이 $\displaystyle 1-\alpha$ 이면 $\displaystyle I_1\cup I_2$ 을 신뢰도 $\displaystyle 100(1-\alpha)\%$ 인 모평균 $\displaystyle m$ 의 신뢰범위라고 한다.

(ㅁ) $\displaystyle N(N\ge1)$ 개의 신뢰구간의 합집합 $\displaystyle R=[a_1,b_1]\cup[a_2,b_2]\cup\cdots\cup[a_N,b_N]$ 을 신뢰범위라고 하자. 신뢰범위 $\displaystyle R$ 에 속하는 두 값 $\displaystyle x,y\in R$ 에 대해 $\displaystyle |x-y|$ 의 최댓값 즉, $\displaystyle \max_{x,y\in R}|x-y|$ 을 신뢰범위 $\displaystyle R$ 의 지름이라고 정의하고 이 값을 간단히 $\displaystyle l(R)$ 로 나타내도록 하자. 즉, $\displaystyle l(R)=\max_{x,y\in R}|x-y|$ 이다.

(ㅂ) 크기 $\displaystyle n$ 이 짝수인 경우 표본 $\displaystyle X_1,\cdots,X_n$ 전체로부터 제시문 (ㄷ)의 방법으로 얻은 신뢰도 $\displaystyle 100(1-\alpha)\%$ 인 신뢰구간을 신뢰범위 $\displaystyle R_1$ 이라고 하고, 제시문 (ㄹ)의 방법으로 얻은 신뢰도 $\displaystyle 100(1-\alpha)\%$ 인 신뢰범위를 신뢰범위 $\displaystyle R_2$ 라고 하자.

(ㅅ) 제시문 (ㅂ)에서 정의된 두 신뢰범위 $\displaystyle R_1,R_2$ 는 신뢰도가 $\displaystyle 100(1-\alpha)\%$ 로 같지만 지름은 같지 않다. 더구나 $\displaystyle R_1$ 의 지름은 크기 $\displaystyle n$ 이 같으면 추출되는 표본에 상관없이 일정하지만 $\displaystyle R_2$ 의 지름은 추출되는 표본에 따라 달라질 수 있다. 이 때 두 신뢰범위 중 평균 지름이 더 작은 것을 더 나은 신뢰범위라고 판단하기로 한다.

(ㅇ) 확률변수 $\displaystyle Z$ 가 표준정규분포를 따른다고 하자. $\displaystyle 0<\alpha<1$ 인 실수 $\displaystyle \alpha$ 에 대해 $\displaystyle \mathrm P(Z\ge x)=\alpha$ 인 $\displaystyle x$ 를 $\displaystyle z_\alpha$ 라고 쓰자. 즉, $\displaystyle \mathrm P(Z\ge z_\alpha)=\alpha$ 이다. 다음은 몇 가지 $\displaystyle \alpha$ 에 대해 $\displaystyle z_\alpha$ 의 값을 나타내고 있다.

$\alpha$	$0.005$	$0.01$	$0.02$	$0.025$	$0.04$	$0.05$
$z_\alpha$	$2.57583$	$2.32635$	$2.05375$	$1.95996$	$1.75069$	$1.64485$

$\alpha$	$0.1$	$0.18$	$0.2$	$0.25$	$0.4$
$z_\alpha$	$1.28155$	$0.915365$	$0.841621$	$0.67449$	$0.253347$

(ㅈ) 연속확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률밀도 함수가 $\displaystyle f(x)$ 이면 $\displaystyle X$ 의 평균 $\displaystyle E(X)$ 는

$\displaystyle E(X)=\lim_{a\to-\infty}\int_a^0xf(x)dx+\lim_{b\to\infty}\int_0^bxf(x)dx$ 이다.

논제 1. (75점) 크기 $\displaystyle n$ 이 짝수일 때 제시문 (ㅂ)에서 정의된 신뢰도 $\displaystyle 100(1-\alpha)\%$ 인 신뢰범위 $\displaystyle R_1,R_2$ 를 제시문 (ㅇ)에서 정의된 기호, 모표준편차 $\displaystyle \sigma$ , 표본 $\displaystyle X_1,\cdots,X_n$ 등을 이용하여 나타내는 방법을 논술하고 각 신뢰범위의 지름이 어떻게 되는지 논술하라.

논제 2. (75점) 제시문 (ㅂ)에서 정의된 신뢰도 99%인 두 신뢰범위 $\displaystyle R_1,R_2$ 에 대해 제시문 (ㅅ)의 판단기준을 적용했을 때 어떤 것이 더 나은지 논술하고, 신뢰도가 64% 이하인 경우 $\displaystyle R_1$ 이 $\displaystyle R_2$ 에 비해 항상 더 나은 신뢰범위가 됨을 논술하라. (단, 필요하면 $\displaystyle \sqrt{\frac2\pi}=0.797885$ 을 이용하라.)

해설강의 준비중

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+30점 · 따라서,

\displaystyle P\left(\frac{|\overline X-m|}{\sigma/\sqrt n}\le z_{\alpha/2}\right)=1-\alpha

이다.

신뢰구간 $\displaystyle I=[\overline X-d,\;\overline X+d]$ 가 모평균 $\displaystyle m$ 을 포함할 확률은 $\displaystyle \begin{aligned}P(m\in[\overline X-d,\;\overline X+d])&=P(|\overline X-m|\le d)\\&=P\left(\frac{|\overline X-m|}{\sigma/\sqrt n}\le\frac d{\sigma/\sqrt n}\right)\end{aligned}$ 이다. 그런데 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(m,\sigma^2)$ 를 따르는 모집단에서 크기가 $\displaystyle n$ 인 표본 $\displaystyle X_1,\cdots,X_n$ 을 임의추출하였을 때 표본평균 $\displaystyle \overline X=\frac1n(X_1+\cdots+X_n)$ 는 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(m,\frac{\sigma^2}n)$ 을 따르므로, $\displaystyle \frac{\overline X-m}{\sigma/\sqrt n}$ 은 표준정규분포를 따르게 된다. 따라서 $\displaystyle P\left(\frac{|\overline X-m|}{\sigma/\sqrt n}\le z_{\alpha/2}\right)=1-\alpha$ 이다. 그러므로 $\displaystyle d=z_{\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt n}$ 일 때 신뢰구간 $\displaystyle I=[\overline X-d,\;\overline X+d]$ 는 신뢰도 $\displaystyle 100(1-\alpha)\%$ 인 모평균 $\displaystyle m$ 의 신뢰구간이다. 즉, $\displaystyle R_1=[\overline X-z_{\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt n},\;\overline X+z_{\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt n}]$ 이다.

+30점

표본 $\displaystyle X_1,\cdots,X_k$ 의 표본평균 $\displaystyle \overline X_1=\frac1k(X_1+\cdots+X_k)$ , 표본 $\displaystyle X_{k+1},\cdots,X_n$ 의 표본평균 $\displaystyle \overline X_2=\frac1k(X_{k+1}+\cdots+X_n)$ 는 모두 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(m,\frac{2\sigma^2}n)$ 를 따르고, $\displaystyle \overline X_1$ 과 $\displaystyle \overline X_2$ 는 서로 독립이다. 이 때 신뢰구간 $\displaystyle I_1$ 과 $\displaystyle I_2$ 는 어떤 상수 $\displaystyle d$ 에 대해 $\displaystyle I_1=[\overline X_1-d,\;\overline X_1+d],\;I_2=[\overline X_2-d,\;\overline X_2+d]$ 이고 신뢰범위 $\displaystyle R_2$ 는 $\displaystyle R_2=I_1\cup I_2$ 이다. 신뢰범위 $\displaystyle R_2$ 가 모평균 $\displaystyle m$ 을 포함할 확률은 $\displaystyle \begin{aligned}P(m\in R_2)&=1-P(m\notin R_2)=1-P(m\notin I_1,m\notin I_2)\\&=1-P(|\overline X_1-m|>d,|\overline X_2-m|>d)\\&=1-P(|\overline X_1-m|>d)P(|\overline X_2-m|>d)\end{aligned}$ 이다. 따라서 신뢰범위 $\displaystyle R_2$ 의 신뢰도가 $\displaystyle 100(1-\alpha)\%$ 이라면 $\displaystyle I_1,I_2$ 의 신뢰도는 모두 $\displaystyle 1-\sqrt\alpha$ 이고, 따라서 $\displaystyle d=z_{\sqrt\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt{n/2}}$ 이다.즉, $\displaystyle R_2=[\overline X_1-z_{\sqrt\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt{n/2}},\;\overline X_1+z_{\sqrt\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt{n/2}}]\cup[\overline X_2-z_{\sqrt\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt{n/2}},\;\overline X_2+z_{\sqrt\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt{n/2}}]$ 이다.

+15점

따라서 $\displaystyle l(R_1)=2z_{\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt n},\;l(R_2)=|\overline X_1-\overline X_2|+2z_{\sqrt\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt{n/2}}$ 이다.

+45점 · 따라서

\displaystyle \overline X_1-\overline X_2

의 확률밀도함수는

\displaystyle f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\frac{\sqrt n}{2\sigma}e^{-\frac n{8\sigma^2}x^2}

이고,

\displaystyle E(|\overline X_1-\overline X_2|)

은

\displaystyle E(|\overline X_1-\overline X_2|)=\lim_{n\to-\infty}\int_a^0|x|f(x)dx+\lim_{n\to\infty}\int_0^b|x|f(x)dx=\sqrt{\frac2\pi}\frac{2\sigma}{\sqrt n}

이다.

$\displaystyle l(R_1)$ 은 상수이므로 신뢰범위 $\displaystyle R_1$ 의 평균 지름은 $\displaystyle E(l(R_1))=2z_{\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt n}$ 이고, 신뢰범위 $\displaystyle R_2$ 의 평균 지름은 $\displaystyle E(l(R_2))=E(|\overline X_1-\overline X_2|+2z_{\sqrt\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt{n/2}})=E(|\overline X_1-\overline X_2|)+2z_{\sqrt\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt{n/2}}$ 이다. 그런데 $\displaystyle \overline X_1-\overline X_2$ 의 평균은 $\displaystyle 0$ , 분산은 $\displaystyle 2\frac{\sigma^2}{n/2}=\frac{4\sigma^2}n$ 이므로 $\displaystyle \overline X_1-\overline X_2$ 은 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(0,\frac{4\sigma^2}n)$ 을 따른다. 따라서 $\displaystyle \overline X_1-\overline X_2$ 의 확률밀도함수는 $\displaystyle f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\frac{\sqrt n}{2\sigma}e^{-\frac n{8\sigma^2}x^2}$ 이다. 따라서 $\displaystyle E(|\overline X_1-\overline X_2|)$ 은 $\displaystyle E(|\overline X_1-\overline X_2|)=\lim_{n\to-\infty}\int_a^0|x|f(x)dx+\lim_{n\to\infty}\int_0^b|x|f(x)dx=\sqrt{\frac2\pi}\frac{2\sigma}{\sqrt n}$ 이다. 따라서 신뢰범위 $\displaystyle R_1$ 이 더 나은 신뢰범위가 될 필요충분조건은 $\displaystyle z_{\alpha/2}<\sqrt2z_{\sqrt\alpha/2}+\sqrt{\frac2\pi}$ 이다.Correction. 두 적분의 극한 변수 $\displaystyle n\to-\infty$ , $\displaystyle n\to\infty$ 는 각각 $\displaystyle a\to-\infty$ , $\displaystyle b\to\infty$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+7.5점

$\displaystyle \alpha=0.01$ 일 때, $\displaystyle z_{\alpha/2}=z_{0.005}=2.57583$ 이고, $\displaystyle \sqrt2z_{\sqrt\alpha/2}+\sqrt{\frac2\pi}=\sqrt2z_{0.05}+\sqrt{\frac2\pi}>1.4\times1.6+0.79=3.03$ 이므로 신뢰도 99%인 경우 신뢰범위 $\displaystyle R_1$ 이 더 나은 신뢰범위이다.

+7.5점

$\displaystyle 0.5\le\alpha\le1$ 인 $\displaystyle \alpha$ 에 대해 $\displaystyle z_{\alpha/2}\le z_{0.25}<0.68<\sqrt{\frac2\pi}<\sqrt2z_{\sqrt\alpha/2}+\sqrt{\frac2\pi}$ 이므로 신뢰도 50%이하인 경우 $\displaystyle R_1$ 이 더 나은 신뢰범위이다.

+15점

$\displaystyle 0.36\le\alpha\le0.5$ 인 $\displaystyle \alpha$ 에 대해 $\displaystyle z_{\alpha/2}\le z_{0.18}<0.92$ 이고, $\displaystyle \sqrt2z_{\sqrt\alpha/2}+\sqrt{\frac2\pi}>\sqrt2z_{\sqrt{0.64}/2}+\sqrt{\frac2\pi}>1.4\times0.25+0.79=1.14$ 이므로 신뢰도가 50%이상이고 64%이하인 경우 $\displaystyle R_1$ 이 더 나은 신뢰범위이다. 따라서 신뢰도가 64%이하인 경우 신뢰범위 $\displaystyle R_1$ 이 항상 더 나은 신뢰범위이다.

1. 기본 사항

1) 각 논제를 각각 가중치를 가지고 채점하되 총점으로 환산하여 총괄 평가. 수리논술에서는 배당된 점수 범위 내에서 등급이 아닌 점수로 표기하여 합산함.

2) 채점위원 2인이 1조가 되어 한 답안지를 1차와 2차로 나누어 채점하고, 1차 채점의 결과가 만점의 25% 이상의 차이가 날 경우 채점위원이 공동 협의로 2차 채점을 진행하고, 2차 채점에서 위원간의 조정이 이루어지지 않을 경우 3차 채점을 실시한다. 3차 채점은 출제위원을 포함한 새로운 채점위원 2인이 채점하되 1차 채점의 상위와 하위 점수 사이의 점수를 부여한다.

3) 논술 답안에 수험생의 신원을 알릴 만한 요소가 있을 때는 다음과 같이 처리한다.

① 이름이 본문 내용과 별도로 표기된 경우 : 내용, 형식 모두 0점으로 채점

② 이름이 본문 중에 자연스럽게 노출된 경우 : 형식 부분에서 5점 감점

③ 제목이 표기된 경우 : 형식 부분에서 5점 감점

④ 기타 의도적으로 수험생의 신원을 알리는 기호로 판단되는 요소가 있는 경우 : 사안의 경중에 따라 형식 부분에서 5점 이상 감점

2. 세부 사항

1) 문제의 의도에서 완전히 이탈했거나 각 논제와 전혀 다른 내용을 서술한 경우는 0점으로 채점한다.

2) 각 문항 별 채점 기준은 다음과 같다.

첨삭 사례

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