자연계열 3번

확률변수 $\displaystyle X_4$가 가질 수 있는 값은 $\displaystyle 1,2,3,4$이고 확률실험의 모든 경우의 수는 $\displaystyle 16$가지이다. 또한 $\displaystyle X_4=k,\;(k=1,2,3,4)$이기 위한 시행의 결과는 아래와 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|l}X_4=k&\text{결과}\\\hline1&(1,1)\\2&(1,2)\quad(2,1)\quad(2,2)\\3&(1,3)\quad(2,3)\quad(3,3)\quad(3,2)\quad(3,1)\\4&(1,4)\quad(2,4)\quad(3,4)\quad(4,4)\quad(4,3)\quad(4,2)\quad(4,1)\end{array}$

따라서 $\displaystyle X_4$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c}X_4&1&2&3&4&\text{합계}\\\hline P(X_4=x)&1/16&3/16&5/16&7/16&1\end{array}$

확률변수 $\displaystyle X_n$이 가질 수 있는 값은 $\displaystyle 1,2,\cdots,n$이고 이 시행의 모든 경우의 수는 $\displaystyle n^2$가지이다. 또한 $\displaystyle X_n=k$이기 위해서는 꺼낸 카드의 숫자가 $\displaystyle (1,k),\;(2,k),\;\cdots,\;(k,k),\;(k,k-1),\;\cdots,\;(k,1)$의 $\displaystyle (2k-1)$가지 이므로 $\displaystyle P(X_n=k)=\frac{2k-1}{n^2},\;(k=1,2,\cdots,n)$이다.

따라서$\displaystyle E(X_n)=\sum_{k=1}^nkP(X_n=k)=\sum_{k=1}^nk\cdot\frac{2k-1}{n^2}=\frac{(n+1)(4n-1)}{6n}$$\displaystyle E(X_n^2)=\sum_{k=1}^nk^2P(X_n=k)=\sum_{k=1}^nk^2\cdot\frac{2k-1}{n^2}=\frac{(n+1)(3n^2+n-1)}{6n}$,$\displaystyle \begin{aligned}Var(X_n)&=E(X_n^2)-\{E(X_n)\}^2=\frac{(n+1)(3n^2+n-1)}{6n}-\left\{\frac{(n+1)(4n-1)}{6n}\right\}^2\\&=\frac{(n+1)(n-1)(2n^2+1)}{36n^2}\end{aligned}$이다.

그러므로$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{E(X_n)}{\sqrt{V(X_n)}}&=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+1)(4n-1)}{6n}}{\sqrt{\frac{(n+1)(n-1)(2n^2+1)}{36n^2}}}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)(4n-1)}{\sqrt{(n+1)(n-1)(2n^2+1)}}=\frac4{\sqrt2}=2\sqrt2\end{aligned}$