의예과 2번

어떤 함수 $\displaystyle g:B\to A$에 대해서 $\displaystyle f\circ g=L$이면 $\displaystyle 1\le k\le n$인 각각의 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle f(g(k))=k$이므로 함수 $\displaystyle f$의 치역은 $\displaystyle B$가 된다.

역으로 함수 $\displaystyle f:A\to B$의 치역이 $\displaystyle B$라고 하면 $\displaystyle 1\le k\le n$인 각각의 $\displaystyle k$에 대하여 어떤 $\displaystyle x(1\le x\le m)$의 함숫값 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle f(x)=k$이다. $\displaystyle k$에 이러한 $\displaystyle x$를 대응하는 함수를 $\displaystyle g:B\to A$라고 하면 각각의 $\displaystyle 1\le k\le n$에 대해 $\displaystyle f(g(k))=f(x)=k$를 만족하므로 $\displaystyle f\circ g=L$이다.

그러므로 제시문 (ㄴ)에서 정의된 개수 $\displaystyle N$는 $\displaystyle A$에서 $\displaystyle B$로의 함수 중 치역이 $\displaystyle B$인 함수의 개수와 같다.

그런데 $\displaystyle m\ge n$이므로 경우 그러한 함수의 개수는 정의역 $\displaystyle A$를 $\displaystyle n$개(치역의 원소의 개수)의 부분집합으로 분할하는 방법의 수인 $\displaystyle S(m,n)$과 $\displaystyle n$개의 부분집합을 나열하는 순열의 수인 $\displaystyle n!$의 곱이 된다. 즉,$\displaystyle N=n!S(m,n)$이다.

$\displaystyle f\circ g=h$이고 $\displaystyle h$는 집합 $\displaystyle Y$에서의 항등함수이므로 $\displaystyle 0\le y\le2$인 $\displaystyle y$에 대해$\displaystyle f(g(y))=h(y)=y$이 성립한다. 그런데 $\displaystyle f(x)=|x-1|$이므로 $\displaystyle |g(y)-1|=y$이다.즉, $\displaystyle 0\le y\le2$에 대해 $\displaystyle g(y)=1\pm y$이다.

그런데 $\displaystyle 1<y\le2$인 $\displaystyle y$에 대해서는 $\displaystyle 1-y<0$이고함수 $\displaystyle g$의 공역이 $\displaystyle X=\{x|0\le x\le3\}$이므로 $\displaystyle g(y)=1+y$이다.

$\displaystyle 0\le y\le1$인 $\displaystyle y$에 대해서는 $\displaystyle 0\le1-y\le1,\;1\le1+y\le2$이므로$\displaystyle g(y)=1-y$또는 $\displaystyle g(y)=1+y$모두 가능하다.

따라서 다음과 같은 함수 $\displaystyle g$가 $\displaystyle f\circ g=h$를 만족한다.1. $\displaystyle g(y)=1+y\;(0\le y\le2)$2. $\displaystyle g(y)=\begin{cases}1-y&(0\le y\le1)\\1+y&(1<y\le2)\end{cases}$3. $\displaystyle g(y)=\begin{cases}1-y&\left(0\le y\le\frac12\right)\\1+y&\left(\frac12<y\le2\right)\end{cases}$