의예과 1번

자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle f(x)=0$의 음의 실근 $\displaystyle \alpha_n$, 양의 실근 $\displaystyle \beta_n$은 근의 공식에 의해$\displaystyle \alpha_n=\frac{n(a-\sqrt{a^2+4b/n})}2,\quad\beta_n=\frac{n(a+\sqrt{a^2+4b/n})}2$임을 알 수 있다.

$\displaystyle \begin{aligned}A_n&=\int_{\alpha_n}^0\left(\frac1nx^3-ax^2-bx\right)dx\\&=-\left(\frac1{4n}\alpha_n^4-\frac a3\alpha_n^3-\frac b2\alpha_n^2\right)\end{aligned}$

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\alpha_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n(a^2-(a^2+4b/n))}{2(a+\sqrt{a^2+4b/n})}=-\frac{4b}{4a}=-\frac ba$이므로

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n=-\left(-\frac a3\left(-\frac ba\right)^3-\frac b2\left(-\frac ba\right)^2\right)=\frac{b^3}{6a^2}$

$\displaystyle \begin{aligned}B_n&=-\int_0^{\beta_n}\left(\frac1nx^3-ax^2-bx\right)dx\\&=-\left(\frac1{4n}\beta_n^4-\frac a3\beta_n^3-\frac b2\beta_n^2\right)\\&=-\frac1{4n}\beta_n^4+\frac a3\beta_n^3+\frac b2\beta_n^2\end{aligned}$

마지막 식의 첫째항과 두 번째 항의 최고차항은 $\displaystyle n^3$이고 세 번째 항의 최고차항은 $\displaystyle n^2$이므로

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{B_n}{n^3}&=-\frac14\left(\frac{a+\sqrt{a^2}}2\right)^4+\frac a3\left(\frac{a+\sqrt{a^2}}2\right)^3\\&=-\frac{a^4}4+\frac{a^4}3\\&=\frac{a^4}{12}\end{aligned}$

따라서 $\displaystyle k$가 $\displaystyle 2$이하인 경우는 발산하므로 자연수 $\displaystyle k$의 최솟값은 $\displaystyle 3$이고, 그때의 극한값은 $\displaystyle \frac{a^4}{12}$이다.