+10점 · 자연수 n \displaystyle n n f ( x ) = 0 \displaystyle f(x)=0 f ( x ) = 0 α n \displaystyle \alpha_n α n β n \displaystyle \beta_n β n α n = n ( a − a 2 + 4 b / n ) 2 , β n = n ( a + a 2 + 4 b / n ) 2 \displaystyle \alpha_n=\frac{n(a-\sqrt{a^2+4b/n})}2,\quad\beta_n=\frac{n(a+\sqrt{a^2+4b/n})}2 α n = 2 n ( a − a 2 + 4 b / n ) , β n = 2 n ( a + a 2 + 4 b / n ) 임을 알 수 있다. 자연수 n \displaystyle n n f ( x ) = 0 \displaystyle f(x)=0 f ( x ) = 0 α n \displaystyle \alpha_n α n β n \displaystyle \beta_n β n α n = n ( a − a 2 + 4 b / n ) 2 , β n = n ( a + a 2 + 4 b / n ) 2 \displaystyle \alpha_n=\frac{n(a-\sqrt{a^2+4b/n})}2,\quad\beta_n=\frac{n(a+\sqrt{a^2+4b/n})}2 α n = 2 n ( a − a 2 + 4 b / n ) , β n = 2 n ( a + a 2 + 4 b / n ) 임을 알 수 있다.
+10점 · A n = ∫ α n 0 ( 1 n x 3 − a x 2 − b x ) d x = − ( 1 4 n α n 4 − a 3 α n 3 − b 2 α n 2 ) \displaystyle \begin{aligned}A_n&=\int_{\alpha_n}^0\left(\frac1nx^3-ax^2-bx\right)dx\\&=-\left(\frac1{4n}\alpha_n^4-\frac a3\alpha_n^3-\frac b2\alpha_n^2\right)\end{aligned} A n = ∫ α n 0 ( n 1 x 3 − a x 2 − b x ) d x = − ( 4 n 1 α n 4 − 3 a α n 3 − 2 b α n 2 ) A n = ∫ α n 0 ( 1 n x 3 − a x 2 − b x ) d x = − ( 1 4 n α n 4 − a 3 α n 3 − b 2 α n 2 ) \displaystyle \begin{aligned}A_n&=\int_{\alpha_n}^0\left(\frac1nx^3-ax^2-bx\right)dx\\&=-\left(\frac1{4n}\alpha_n^4-\frac a3\alpha_n^3-\frac b2\alpha_n^2\right)\end{aligned} A n = ∫ α n 0 ( n 1 x 3 − a x 2 − b x ) d x = − ( 4 n 1 α n 4 − 3 a α n 3 − 2 b α n 2 )
+30점 · lim n → ∞ α n = lim n → ∞ n ( a 2 − ( a 2 + 4 b / n ) ) 2 ( a + a 2 + 4 b / n ) = − 4 b 4 a = − b a \displaystyle \lim_{n\to\infty}\alpha_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n(a^2-(a^2+4b/n))}{2(a+\sqrt{a^2+4b/n})}=-\frac{4b}{4a}=-\frac ba n → ∞ lim α n = n → ∞ lim 2 ( a + a 2 + 4 b / n ) n ( a 2 − ( a 2 + 4 b / n )) = − 4 a 4 b = − a b lim n → ∞ α n = lim n → ∞ n ( a 2 − ( a 2 + 4 b / n ) ) 2 ( a + a 2 + 4 b / n ) = − 4 b 4 a = − b a \displaystyle \lim_{n\to\infty}\alpha_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n(a^2-(a^2+4b/n))}{2(a+\sqrt{a^2+4b/n})}=-\frac{4b}{4a}=-\frac ba n → ∞ lim α n = n → ∞ lim 2 ( a + a 2 + 4 b / n ) n ( a 2 − ( a 2 + 4 b / n )) = − 4 a 4 b = − a b
+20점 · lim n → ∞ A n = − ( − a 3 ( − b a ) 3 − b 2 ( − b a ) 2 ) = b 3 6 a 2 \displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n=-\left(-\frac a3\left(-\frac ba\right)^3-\frac b2\left(-\frac ba\right)^2\right)=\frac{b^3}{6a^2} n → ∞ lim A n = − ( − 3 a ( − a b ) 3 − 2 b ( − a b ) 2 ) = 6 a 2 b 3 lim n → ∞ A n = − ( − a 3 ( − b a ) 3 − b 2 ( − b a ) 2 ) = b 3 6 a 2 \displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n=-\left(-\frac a3\left(-\frac ba\right)^3-\frac b2\left(-\frac ba\right)^2\right)=\frac{b^3}{6a^2} n → ∞ lim A n = − ( − 3 a ( − a b ) 3 − 2 b ( − a b ) 2 ) = 6 a 2 b 3
+10점 · B n = − ∫ 0 β n ( 1 n x 3 − a x 2 − b x ) d x = − ( 1 4 n β n 4 − a 3 β n 3 − b 2 β n 2 ) = − 1 4 n β n 4 + a 3 β n 3 + b 2 β n 2 \displaystyle \begin{aligned}B_n&=-\int_0^{\beta_n}\left(\frac1nx^3-ax^2-bx\right)dx\\&=-\left(\frac1{4n}\beta_n^4-\frac a3\beta_n^3-\frac b2\beta_n^2\right)\\&=-\frac1{4n}\beta_n^4+\frac a3\beta_n^3+\frac b2\beta_n^2\end{aligned} B n = − ∫ 0 β n ( n 1 x 3 − a x 2 − b x ) d x = − ( 4 n 1 β n 4 − 3 a β n 3 − 2 b β n 2 ) = − 4 n 1 β n 4 + 3 a β n 3 + 2 b β n 2 B n = − ∫ 0 β n ( 1 n x 3 − a x 2 − b x ) d x = − ( 1 4 n β n 4 − a 3 β n 3 − b 2 β n 2 ) = − 1 4 n β n 4 + a 3 β n 3 + b 2 β n 2 \displaystyle \begin{aligned}B_n&=-\int_0^{\beta_n}\left(\frac1nx^3-ax^2-bx\right)dx\\&=-\left(\frac1{4n}\beta_n^4-\frac a3\beta_n^3-\frac b2\beta_n^2\right)\\&=-\frac1{4n}\beta_n^4+\frac a3\beta_n^3+\frac b2\beta_n^2\end{aligned} B n = − ∫ 0 β n ( n 1 x 3 − a x 2 − b x ) d x = − ( 4 n 1 β n 4 − 3 a β n 3 − 2 b β n 2 ) = − 4 n 1 β n 4 + 3 a β n 3 + 2 b β n 2
+20점 · 마지막 식의 첫째항과 두 번째 항의 최고차항은 n 3 \displaystyle n^3 n 3 n 2 \displaystyle n^2 n 2 마지막 식의 첫째항과 두 번째 항의 최고차항은 n 3 \displaystyle n^3 n 3 n 2 \displaystyle n^2 n 2
+40점 · lim n → ∞ B n n 3 = − 1 4 ( a + a 2 2 ) 4 + a 3 ( a + a 2 2 ) 3 = − a 4 4 + a 4 3 = a 4 12 \displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{B_n}{n^3}&=-\frac14\left(\frac{a+\sqrt{a^2}}2\right)^4+\frac a3\left(\frac{a+\sqrt{a^2}}2\right)^3\\&=-\frac{a^4}4+\frac{a^4}3\\&=\frac{a^4}{12}\end{aligned} n → ∞ lim n 3 B n = − 4 1 ( 2 a + a 2 ) 4 + 3 a ( 2 a + a 2 ) 3 = − 4 a 4 + 3 a 4 = 12 a 4 lim n → ∞ B n n 3 = − 1 4 ( a + a 2 2 ) 4 + a 3 ( a + a 2 2 ) 3 = − a 4 4 + a 4 3 = a 4 12 \displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{B_n}{n^3}&=-\frac14\left(\frac{a+\sqrt{a^2}}2\right)^4+\frac a3\left(\frac{a+\sqrt{a^2}}2\right)^3\\&=-\frac{a^4}4+\frac{a^4}3\\&=\frac{a^4}{12}\end{aligned} n → ∞ lim n 3 B n = − 4 1 ( 2 a + a 2 ) 4 + 3 a ( 2 a + a 2 ) 3 = − 4 a 4 + 3 a 4 = 12 a 4
+10점 · 따라서 k \displaystyle k k 2 \displaystyle 2 2 k \displaystyle k k 3 \displaystyle 3 3 a 4 12 \displaystyle \frac{a^4}{12} 12 a 4 따라서 k \displaystyle k k 2 \displaystyle 2 2 k \displaystyle k k 3 \displaystyle 3 3 a 4 12 \displaystyle \frac{a^4}{12} 12 a 4
1. 기본 사항
1) 각 논제를 각각 가중치를 가지고 채점하되 총점으로 환산하여 총괄 평가. 수리논술에서는 배당된 점수 범위 내에서 등급이 아닌 점수로 표기하여 환산함.
2) 채점위원 2인이 1조가 되어 한 답안지를 1차와 2차로 나누어 채점하고, 1차 채점의 결과가 만점의 25% 이상의 차이가 날 경우 채점위원이 공동 협의로 2차 채점을 진행하고, 2차 채점에서 위원간의 조정이 이루어지지 않을 경우 3차 채점을 실시한다. 3차 채점은 출제위원을 포함한 새로운 채점위원 2인이 채점하되 1차 채점의 상위와 하위 점수 사이의 점수를 부여한다.
3) 논술 답안에 수험생의 신원을 알릴 만한 요소가 있을 때는 다음과 같이 처리한다.
① 이름이 본문 내용과 별도로 표기된 경우 : 내용, 형식 모두 0점으로 채점
② 이름이 본문 중에 자연스럽게 노출된 경우 : 형식 부분에서 5점 감점
③ 제목이 표기된 경우 : 형식 부분에서 5점 감점
④ 기타 의도적으로 수험생의 신원을 알리는 기호로 판단되는 요소가 있는 경우 : 사안의 경중에 따라 형식 부분에서 5점 이상 감점
2. 세부 사항
1) 문제의 의도에서 완전히 이탈했거나 각 논제와 전혀 다른 내용을 서술한 경우는 0점으로 채점한다.
2) 각 문항 별 채점 기준은 다음과 같다.
수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.