인문계열 Ⅲ-2번

(1)

50원 짜리 동전과 100원 짜리 동전으로 500원을 만드는 방법에 대한 경우의 수는 다음과 같다.

(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1) : 1가지(1,1,1,1,1,1,1,1,2) : $\displaystyle {}_{9}\mathrm{C}_{1}=9$가지(1,1,1,1,1,1,2,2) : $\displaystyle {}_{8}\mathrm{C}_{2}=28$가지(1,1,1,1,2,2,2) : $\displaystyle {}_{7}\mathrm{C}_{3}=35$가지(1,1,2,2,2,2) : $\displaystyle {}_{6}\mathrm{C}_{4}=15$가지(2,2,2,2,2) : 1가지

이므로 총합은 89가지이다.

답 : 89가지

(2)

50원 짜리 동전을 1, 100원 짜리 동전을 2라고 하라 $\displaystyle n$에 대응되는 $\displaystyle f(n)$을 나열해 가면 다음과 같다.

이런 방법으로 전개를 해 나가면 방법 수는 피보나치 수열을 형성함을 알 수 있다. 즉, $\displaystyle n$에 대응되는 $\displaystyle f(n)$을 나열해 가면서 $\displaystyle f(n+2)=f(n+1)+f(n)$ ($\displaystyle n\ge0$)의 관계를 확인할 수 있다.

답 : $\displaystyle f(n+2)=f(n+1)+f(n)$, ($\displaystyle n=0,1,\cdots,$)

(3)

(2)에서 얻은 $\displaystyle f(n+2)=f(n+1)+f(n)$ ($\displaystyle n\ge0$)로부터 이 식을 다음과 같이 변형한다.

$\displaystyle f(n+2)-af(n+1)=b[f(n+1)-af(n)].$ ①

(2)에서 얻은 식과 ①이 같은 식이므로 $\displaystyle a+b=1$, $\displaystyle ab=-1$임을 알 수 있고 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용하면 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$는 $\displaystyle x^2-x-1=0$의 근임을, 그리고 이 들 값은 $\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$임을 쉽게 알 수 있다.

여기서 $\displaystyle g(n)=f(n+1)-af(n)$이라고 하면 $\displaystyle g(n+1)=bg(n)$이므로 이는 공비가 $\displaystyle b$인 등비수열이 된다. 초항 $\displaystyle g(0)=f(1)-af(0)=1-a=b$이므로 수열

$\displaystyle g(n)=f(n+1)-af(n)=b^{n+1}$, ($\displaystyle n\ge0$) ②

이다.

여기서 $\displaystyle a$의 역할과 $\displaystyle b$의 역할이 서로 바뀔 수 있으므로 다음 식도 얻어 낼 수 있다.

$\displaystyle g(n)=f(n+1)-bf(n)=a^{n+1}$, ($\displaystyle n\ge0$) ③

식 ②와 ③을 빼면 다음 식이 얻어진다.

$\displaystyle (b-a)f(n)=b^{n+1}-a^{n+1}$,

$\displaystyle f(n)=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b-a}.$ ④

식 ④는 $\displaystyle a$와$\displaystyle b$가 $\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$의 어떤 값을 갖더라도 항상 다음과 같다.

답 : $\displaystyle f(n)=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}}{\sqrt{5}}$, ($\displaystyle n\ge0$)